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Ejercicios resueltos
I. Determinar los siguientes límites, aplicando las propiedades
- lim 𝑥→ 2 𝑥^3 + 2𝑥^2 − 𝑥 − 4 = lim 𝑥→ 2 𝑥^3 + lim 𝑥→ 2 2 𝑥^2 − (^) 𝑥→lim 2 𝑥 − lim 𝑥→ 2 4
= (2)^3 + 2 (2)^2 - (2) - 4 Sustituir la “x” por el 2
= 8 + 8 - 2 - 4
= 10
- lim →𝑜
^2 − 7 + 1 =
lim → 0 lim → 0 ^2 − 7 + 1 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜^ 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒^ 𝑑𝑒^ 𝑢𝑛^ 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
02 − 7 0 + 1 = 0^ 𝑆𝑒^ 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒^ ^ 𝑝𝑜𝑟^ 𝑒𝑙^ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜^ 𝑐𝑒𝑟𝑜
- (^) 𝑥→−lim 5 3 𝑥^2 + 2 = (^3) 𝑥→−lim 5 𝑥 2 + 2 𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑟𝑎í𝑧
= 3 − 5 2 + 2 𝑆𝑒 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 "x" por el número 5
= 3 27 = 3 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑟 𝑜𝑝𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑦 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟
- lim 𝑥→ 2
𝑥^2 + 3𝑥 − 10
𝑥 − 2 = lim^ 𝑥→^2
= lim 𝑥→ 2 𝑥 + 5 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 (𝑥 − 2)
= 2 + 5 = 7 𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 𝑙𝑎 𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 2
.
La sustitución directa hace cero a (x-2), en este caso se debe factorizar el numerador
Aplicar límite a cada término del polinomio.
- Lim ∆𝑥 → 0 𝑥^ +^ ∆𝑥^
(^3) − 𝑥 3 ∆𝑥 = lim ∆𝑥→𝑜
𝑥^3 + 3𝑥^2 ∆𝑥 + 3𝑥 ∆𝑥 2 + (∆𝑥)^3 − 𝑥^3 ∆𝑥
= lim ∆𝑥→ 0
3 𝑥^2 ∆𝑥 + 3𝑥 ∆𝑥 2 + ∆𝑥 3
∆𝑥 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟^ 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠^ 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
= (^) ∆𝑥→lim 0
∆𝑥 3 𝑥^2 + 3𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥 2
∆𝑥 𝑆𝑎𝑐𝑎𝑟^ 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟^ 𝑐𝑜𝑚ú𝑛^ ∆𝑥 = (^) ∆𝑥→𝑜lim 3 𝑥^2 + 3𝑥 ∆𝑥 + ∆𝑥 𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 ∆𝑥
= 3𝑥^2 + 3𝑥 0 + (0)^2 𝐸𝑣𝑎𝑙𝑢𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 ∆𝑥 = 0
= 3𝑥^2
Nota: La fórmula que se aplica: (x+y)^3 = x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 en donde Y se sustituye por ∆x.
II. Hallar el límite de las siguientes expresiones, cuando X tiende al infinito.
1) 𝑥→lim+∞
4 𝑥^3 + 𝑥
2 𝑥^3 + 3
= 𝑥→lim+∞
4 𝑥 3 + 𝑥 𝑥 3 2 𝑥 3 + 3 𝑥 3
= lim
𝑥→+∞
1 𝑥 2
2 + 𝑥^3
2) lim
𝑥→+∞
𝑥^2 − 1
7 − 2 𝑥 + 8𝑥^2
= lim
𝑥→+∞
𝑥 2 − 1 𝑥 2 7 − 2 𝑥+8𝑥 2 𝑥 2
= 𝑥→lim+∞
1 − 𝑥^1
7
𝑥 2 −^
2
∆x no puede ser cero. Desarrollar (x + ∆x)^3
Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia que aparece en el denominador: X^3
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar los términos comunes
𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝. ∶ (^) 𝑥lim→∞
𝑥𝑝^ =^0
Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia que aparece en el denominador: X^2
Efectuar las operaciones indicadas y simplificar los términos comunes
4) lim
𝑥→ − ∞
9 𝑥^2 + 1
= lim
𝑥→ − ∞
9 𝑥 2
𝑥 2 +^
1 𝑥 2 𝑥
𝑥 −^
1 𝑥
= 𝑥→lim − ∞
− 9 − 𝑥^1
III. Encontrar las Asíntotas verticales y horizontales de las graficas de las siguientes funciones y trazar sus graficas:
1) 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 + 8^5 𝑥+
Solución: Primero igualar a cero el denominador de la función para hallar la asíntota vertical x = a
X^2 + 8X + 15 = 0 → (X + 5) (X + 3) = 0 → X + 5 = 0 v X + 3 = 0
Por lo tanto X = -5 ʌ X = - 3 son las asíntotas verticales
Hallar los limites unilaterales correspondientes:
𝑥→^ lim − 5 +
𝑥^2 + 8𝑥 + 15 =
0 =^ −^ ∞
𝑥→^ lim − 5 −
𝑥^2 + 8𝑥 + 15 =
0 = +^ ∞
El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores negativos
El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores positivos
Cuando 𝑋 → − ∞, dividir numerador entre − 𝑥^2 y denominador entre X o bien dividir numerador entre 𝑥^2 y denominador entre - X
Simplificar los términos semejantes
𝑥→lim − 3 +
𝑥^2 + 8𝑥 + 15 =
0 = +^ ∞
𝑥→^ lim − 3 −
𝑥^2 + 8𝑥 + 15 =
0 =^ −^ ∞
Ahora calcular los límites al infinito para determinar las asíntotas horizontales.
𝑥→^ lim+∞
𝑥^2 + 8𝑥 + 15 =^ 𝑥→lim +∞
5 𝑥^2 𝑥^2
𝑥^2 +^
8 𝑥
𝑥^2 +^
15 𝑥^2
= 𝑥→lim +∞
5 𝑥^2
𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑛𝑒𝑠
= 0 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝. ∶ 𝑥→∞lim
𝑥𝑝^
𝐷𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑚𝑎𝑛𝑒𝑟𝑎: 𝑥→lim −∞
𝑥^2 + 8𝑥 + 15
El límite cuando X→−∞ también es cero dado que X^2 se vuelve positiva
Por lo tanto se puede concluir que la recta Y = 0 es una asíntota horizontal
El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores positivos
El numerador es positivo y el denominador tiende a cero a través de valores negativos
Se divide el numerador y el denominador entre la mayor potencia del denominador: X^2
Asíntota horizontal
𝑋→^ lim +∞
𝑥^2 − 1
= 𝑋→lim +∞
2 𝑥 𝑥 𝑥^2
𝑥^2 −^
1 𝑥^2
= 𝑋→lim +∞
1 − 𝑥^12
= 2 Aplican propiedades de los limites
Conclusión y = 2 es una asíntota horizontal.
𝑋→^ lim −∞
𝑥^2 − 1
= 𝑋→lim −∞
2 𝑥 − 𝑥 𝑥^2
𝑥^2 −^
1 𝑥^2
= 𝑋→lim −∞
1 − 𝑥^2
Se concluye que y = - 2 es una asíntota horizontal
La gráfica sería la siguiente:
Dado que X = 𝑥^2 se divide el término sin radical entre X y el término con radical entre 𝑥^2
Dado que X = 𝑥^2 se divide el término sin radical entre X y el término con radical entre 𝑥^2
Dado que 𝑋 → −∞ , dividir el numerador entre – X y el denominador entre 𝑥^2 o bien el numerador entre X y el denominador entre − 𝑥^2
y
- 1 1 X
Ejercicios propuestos:
Hallar las asíntotas de las graficas de las siguientes funciones y dibujar la grafica:
2 𝑥^2
𝑥^2 − 4
𝑥^2 + 5𝑥 − 6
𝑥^2
𝑥^2 − 1
𝑥^2 − 2 𝑥 − 3
𝑥^2 − 1
𝑥^2 − 4
Nota: Realizar los ejercicios solo en su cuaderno como práctica
para el examen.
