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1. Página 123 – ejercicio 1
Q
'
∪ R ; P ∪ Q ;P ' ⇒ Q∩ R
q ∨ r ; p ∨ q ; ∼ p ⇒ q ∧ r Intercambio de operadores
Proposiciones Razones
- q^ ∨^ r^ Dato
- p^ ∨ q^ Dato
- ∼^ p^ Dato
- ∼ ( q ∧ r ) Suposición v ( T )=F
- q → r q → r ≡ q ∨ r en 3
- q MTP en 2 y 3
- r MTP en 1 y 6
- q^ ∧^ r^ AD en 6 y 7
- F complemento
- q ∧ r Reducción al absurdo 2. Página 123 – ejercicio 2
`
P ∪ Q ; P;
`
Q ∪ R ⇒ R
p ∨ q ; p ; ∼ q ∨ r ⇒ r Intercambio de operadores
Proposiciones Razones
- p ∨ q Dato
- p Dato
- ∼ q ∨ r Dato
- ∼ r (^) Suposición v ( T )=F
- q → r q → r ≡ q ∨ r en 3
- q MTT en 5 y 4
- p →q p →q ≡ p ∨ q en 1
- q MPP en 7 y 2
- q ∧ ∼ q AD 8 y 6
- F complemento
- q Reducción al absurdo 3. Página 127 – ejercicio 10
2
3
+…+ 2
n
= 2
n+ 1
−2. ∀ n ∈ Z
+¿¿
- La propiedad se cumple para n=
n
= 2
n+ 1
− 2
1
= 2
1 + 1
− 2
2
− 2
- Se supone que la propiedad es válida para n=k
2
3
+…+ 2
k
= 2
k+ 1
−2. ∀ k ∈ Z
+¿ ¿
- Se debe demostrar que la propiedad es válida para k+
2
3
+…+ 2
k
( k+ 1 )
= 2
(k + 1 )+ 1
−2. ∀ k ∈ Z
+¿ ¿
2
3
+…+ 2
k
( k+ 1 )
= 2
(k + 2 )
−2. ∀ k ∈ Z
+¿¿
Hay que demostrar que:
2
3
+…+ 2
k
= 2
k+ 1
− 2 ⇒ 2 + 2
2
3
k
(k + 1 )
= 2
(k+ 2 )
− 2
Proposiciones Razones
2
3
+…+ 2
k
= 2
k+ 1
− 2
Dato
2
3
+…+ 2
k
( k+ 1 )
= 2
(k + 1 )
− 2 + 2
( k+ 1 ) Axioma aditivo (=)
2
3
+…+ 2
k
( k+ 1 )
= 4
(k+ 1 )
− 2
Términos
semejantes
2
3
+…+ 2
k
( k+ 1 )
=2.
(k+ 1 )
− 2
Descomposición en
factores
2
3
+…+ 2
k
( k+ 1 )
= 2
( k+ 1 ) + 1
− 2 a
n
. a
m
=a
n+m
2
3
+…+ 2
k
( k+ 1 )
= 2
(k+ 2 )
− 2
Suma de
exponentes
4. Página 128 – ejercicio 2
[( P ∪ P) ∩Q ]' =Q ' ∪ P '
[( p ∨ p) ∧ q]= ∼ q ∨∼ p
Primera parte: [( p ∨ p) ∧ q] ⇒∼ q ∨∼ p
Proposiciones Razones
- [( p ∨ p) ∧ q] Dato
- ( p ∨ p) ∨∼ q De Morgan
- ( p ∧∼ p) ∨ ∼ q De Morgan
- ∼ p ∨∼ q Idempotencia
- ∼ q ∨ ∼ p Conmutativa en 4
Segunda parte: ∼ q ∨ ∼ p ⇒ [( p ∨ p) ∧ q]
Proposiciones Razones
- ∼ q ∨ ∼ p Dato
- ∼ ( q ∧ p) De Morgan
- ∼ ( q ∧ p) ∧ v Identidad
- ∼ ( q ∧ p) ∧ (p ∨ ∼ p) Complemento
- ∼ [( q ∧ p) ∨∼ ( p ∨∼ p) ] De Morgan
- ∼ [( q ∧ p) ∨ ( ∼ p ∧ p)] De Morgan
- [(^ p^ ∨^ p)^ ∧^ q]^ Distributiva 5. Página 143 – ejercicio 2
n= 252
U=
160
153
252
95
95
310
7
95
P
M N
