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FUNCIONES Y ESCALAS
4.1. Relaciones matemáticas
Muchas de las leyes de la ciencia física son mas útiles cuando se expresan mediante relaciones matemáticas, las cuales muestran como una cosa que podemos medir depende de otras cosas que, así mismo, pueden ser medidas. En esta sección estudiaremos algunas de estas relaciones.
Proporción directa
Una de las relaciones más simples entre dos cantidades es llamada proporción directa. Observemos, por ejemplo, la relación entre el volumen de un pedazo de hierro y su peso. Si efectuamos mediciones en varios pedazos de hierro, hallamos que un pie cúbico pesa 440 lbs, dos pies cúbicos pesan 880 lbs, tres pies cúbicos pesan 1320 lbs, y así sucesivamente. Esta clase de relación, en la cual al doblar el volumen se dobla de peso, al triplicar el volumen se triplica el peso, etc., es conocida con el nombre de proporción directa. Usted encontrará muchos casos de proporción directa en física. Por tanto, es necesario entender las distintas maneras de escribir esta relación. Podemos decir que el peso “es proporcional” al volumen del hierro, o que el peso “varía directamente con” el volumen del hierro. Ambas expresiones significan la misma cosa: a doble volumen, doble el peso por diez veces el volumen, diez veces el peso, así sucesivamente. Podemos escribir esta relación en la forma más concisa
W α V
Donde W es el peso del pedazo del hierro, V su volumen, y el símbolo α significa: “es proporcional a”. Si tenemos dos volúmenes diferentes de hierro V y V ´, el hecho de que su peso W y W ´sean proporcionales a sus volúmenes puede ser también expresado como:
V
V
W
W ´ = ´
W α V es exactamente otra manera de escribir este principio.
Otra formula útil de esta relación expresa el hecho de que cuando el peso y el volumen están relacionados por proporción directa, ellos tienen una razón constante. Si dividimos el peso de una muestra de hierro por su volumen, el resultado será el mismo que el obtenido al dividir el peso de cualquier otra muestra por su volumen.
WV WV k deunamuestra deotramuestra
´´ = ^ =
La razón constante se denomina “constante de proporcionalidad”. En nuestro ejemplo del hierro, k = 440 lbs. porpiecubico. Esta razón la podemos expresar con una ecuación
valida para cualquier pedazo de hierro:
WV (^) = k o W ´ = kV ´
Observe que esta expresión es muy semejante a la relación W α V. En realidad, si no
conocemos el valor numérico de k las dos quieren decir exactamente la misma cosa. Pero cuando k es conocido, W = kV nos dice más; ella es la ecuación que nos da la relación numérica entre W y V..
Esta relación entre peso y el volumen del hierro puede ser ilustrada mediante una gráfica. Debemos escoger escalas: una para la dirección vertical, en el cual se indicará algún número de libras por cada división vertical del papel; y una para la dirección horizontal en el cual se indicará el volumen en pies cúbicos. Podemos marcar ahora en un punto sobre la gráfica para cada uno de los pares de valores que conocemos.
Volumen Peso 1 pie³. 440 lbs. 2 pies³. 880 lbs. 3 pies³. 1320 lbs.
La gráfica resultante es la línea recta que aparece en la figura 4.1. En ella se muestran dos valores de V y los correspondientes de W. Mediante la semejanza de triángulos usted
puede ver que la razón WV^ es la misma en ambos casos. Una gráfica así presenta
hacerse en copias aumentadas o reducidas. Las dos áreas de forma irregular de la fig. 4.2. son semejantes. Una de ellas fue hecha aumentado la otra hasta que cada dimensión lineal resultó triplicada. Usted puede comprobar este hecho viendo que los lados de cada cuadrado del área mayor son exactamente tres veces más grandes que los lados de los cuadrados correspondientes del área pequeña. Esto significa que cada cuadrado del área grande tiene exactamente nueve veces el área del cuadrado pequeño correspondiente. El área total de la figura grande es, por consiguiente, también nueve veces más grande que la pequeña. Exactamente como en el caso de los círculos y los cuadrados, las áreas de cualesquiera figuras semejantes varían como el cuadrado de una dimensión lineal. Cuando la dimensión lineal se multiplica por tres, el área multiplicada por nueve. Por consiguiente, para figuras semejantes se tiene en general,
A α L^2
Figura 4.2. Estas dos figuras son semejantes; cada dimensión lineal de la figura más grande es un múltiplode la dimensión correspondiente de la más pequeña. En este caso las dimensiones de la figura más grande son tres veces las de la más pequeña. Usted puede comprobar esto midiendo cuadrados correspondientes Nótese que no importa que dimensión lineal tome usted para L , siempre y cuando usted use la medida correspondiente para todas las figuras semejantes que esta comparando. Por ejemplo, para un cuadrado puede usar la diagonal, lo mismo que el lado de un cuadrado es n veces más largo que el de otro, las diagonales están en la misma razón. El área del
primer cuadrado es n^2 veces más grande que la del segundo. La misma cosa se aplica a las longitudes correspondientes en cualquier par de figuras semejantes. (Vea la figura 4.3).
Figura 4.3. Puesto que estas dos figuras son semejantes, la razón de sus áreas es igual a la razón de los cuadrados de dos dimensiones cualesquiera correspondientes. Aquí, puesto que L´ es el doble de L (M´ también es el doble de M). El área de la figura más grande es cuatro veces el área de la más pequeña.
Algunas figuras que tienen el mismo nombre pueden no ser semejantes. Por ejemplo no todos los rectángulos son semejantes. Podemos tener dos rectángulos con la misma base b pero diferentes alturas h. El área esta dada por el producto A = bh. Aunque tales ejemplos son diferentes de los de figuras semejantes, ellos tienen en común el hecho el hecho de que el área está siempre medida en unidades del cuadrado de una longitud. Si usamos el metro como la medida de todas las longitudes, las áreas estarán especificadas en metros cuadrados.
Así como todas las áreas son el producto de dos longitudes, todos los volúmenes son el producto de tres dimensiones lineales. De nuevo debemos distinguir entre figuras sólidas como los cilindros, que pueden tener la misma base y diferentes alturas, y conjuntos de figuras semejantes, como esferas y cubos, en las cuales cada dimensión lineal está aumentada o disminuida por el mismo factor. Para figuras sólidas semejantes, cuando las dimensiones lineales se multiplican por el factor n , los volúmenes son multiplicados por el
factor n^3 , una n para cada dimensión lineal. Por ejemplo el volumen de una esfera es
3 3 V =^4 π R
Donde R es su radio. De aquí que una esfera de radio R ´= nR tenga un volumen:
Figura 4.4. Representación gráfica del área de un cuadrado en función de la longitud de un lado.¿Cómo puede usted utilizar esta gráfica para hallar el área de un cuadrado si conoce la longitud de un lado? ¿Cómo podría utilizarla para hallar la longitud de un lado conociendo el área?
Podemos hacer la misma clase de representación gráfica para los volúmenes de las figuras semejantes. La tabla muestra unos pocos valores de la relación para el volumen de un cubo,
V = L^3. Longitud de una arista Volumen. 1 metro 1 metro³ 2 metros 8 metros³ 3 metros 27 metros³ Hemos usado estos valores para construir la gráfica de la fig. 4.5. De nuevo podemos usar esta figura para todos los conjuntos de volúmenes semejantes ajustando la escala vertical
para el valor de k en V = kL^3. Por ejemplo, si leemos el radio de una esfera sobre la escala
horizontal, el volumen es 34 π veces el número de la escala vertical.
Estas relaciones en las cuales una cantidad es proporcional a una potencia de otra, tal como el cuadrado, cubo, etc., ocurren frecuentemente en física, ellas se denominan leyes de potenciación. Además de la primera, segunda y tercera leyes de la potenciación , tales
como W = kV , A = kL^2 , V = kL^3 , las cuales hemos estudiado aquí, también hallamos leyes
del inverso de las potencias tales como I = (^) Lk 2 , en donde vemos que la intensidad de la luz
es inversamente proporcional a la segunda potencia de la distancia a la fuente luminosa. Discutiremos la relación del inverso de los cuadrados en la sección 4.3.
Figura 4.5. Representación gráfica del volumen de un cubo en función de la longitud de su lado Siempre que tengamos una relación entre los valores de una cantidad, en términos de los valores de otra, tenemos lo que se denomina una función matemática. El área de un cuadro es una función de la longitud de su lado, y el volumen de una esfera es una función de su radio.
La idea de relación de funciones es muy general. Por ejemplo, la hora de llegada de un tren a cualquier estación a lo largo de su ruta es una función de la posición de la estación a lo largo de la línea. Un horario de trenes representa un conjunto de tales funciones para varios trenes y rutas. Ecuaciones, tablas y gráficos, como lo hemos visto son todas ellas maneras útiles de representar las funciones matemáticas. Los matemáticos han extendido las ideas de función y relación mucho más allá de lo que hemos indicado aquí. Si usted esta interesado, puede leer algunos de los libros de referencia citados al final del capitulo.
4.2 Interpolación y extrapolación.
Supongamos que medimos los volúmenes y los radios correspondientes de un número de esferas y hacemos una gráfica con los resultados (volumen y radio). Mediante las mediciones, estamos seguros de las posiciones de un número de puntos sobre está gráfica, uno por cada esfera. Si a continuación unimos estos puntos por una línea de curvatura suave, obtendremos una curva mediante la cual podemos hallar el volumen de una esfera de cualquier radio, y no únicamente para los valores de los radios que hayamos medido. El
distancias de las galaxias. Y, ciertamente, los físicos teóricos han inventado proposiciones para cambiar las leyes de Euclides siempre que se trate de distancias enormes. Desde el punto de vista de la física, la Geometría del Espacio está sujeta a experimentación. La
Geometría de Euclides puede nos ser una descripción exacta de nuestras mediciones si las formas que estudiamos alcanzan en el tamaño muchos órdenes de magnitud. Naturalmente, no cambiaremos nuestras descripciones a menos que ellos nos ofrezcan demasiados problemas. En este curso nos servirá bastante bien la Geometría de Euclides.
4.3 Relación del inverso de los cuadrados.
Observe una hilera de las luces que iluminan las calles y que se extiende lejos de usted en la distancia. Las lámparas son todas iguales –o sea que cada uno emite la misma cantidad de la luz cada segundo -, pero la más cercana es para usted la que aparece más intensa. Si la luz se extiende igualmente en todas las direcciones (lo cual es casi verdadero para una lámpara de la calle, una estrella, y muchas otras fuentes), puede ser representada como se muestra en la figura 4.6. aquí consideramos precisamente una porción de la luz que sale a través de una especie de “pirámide” desde el punto P. A medida que la distancia de la fuente aumenta, la luz se extiende sobre un área mayor y la luz aparece menos intensa. Esto sugiere que la intensidad de la luz es inversamente proporcional al área sobre la cual incide
Figura 4.6. Relación del inverso del cuadrado. La luz procedente de un punto (P) se irradia en todas lasdirecciones. Puesto que al duplicar la distancia, la luz se dispersa para cubrir un área cuatro veces mayor, se deduce que ella tiene únicamente un cuarto de su intensidad. Así pues, cuando la distancia se duplica, laintensidad decrece a un cuarto, o la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
I A
α^1
Donde I representa la intensidad y A el área. Por el momento vamos a suponer que esta representación es valida para la luz. Más tarde estudiaremos las intensidades luminosas experimentales.
Cada uno de los lados de los cuadrados en la fig. 4.6 es proporcional a su distancia a P. Por consiguiente, el área de cada cuadrado es proporcional al cuadrado de esta distancia. Si designamos tal distancia por d esto puede expresarse como
A α d^2
Combinando esta relación con I α (^) A^1 hallamos que I α d^12
Esta es la relación del inverso de los cuadrados, la cual indica para la luz, que la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la fuente.
En detalle, usted puede ver que I α (^) d^12 si recuerda que I α (^) A^1 significa que II ´^ = (^) AA ´ (1)
y que A α d^2 significa que
( )^2
2 ´ (^) d ´
d A
A = (2)
Así, combinando (1) y (2) da
( )^2
2 ´
d
d I
I = (3)
Esto es lo mismo que I α d^12
Observe que la relación (3) es valida para una sola fuente a las distancias d ´ y d. También es válida para las dos fuente idénticas, una a la distancia d ´ y otra a la distancia d. Por ejemplo, supongamos que tenemos dos lámparas, las cuales denominamos 1 y 2, a distancias diferentes d 1 y d (^) 2 de un muro pintado de blanco, al cual ellas iluminan. Por
consiguiente sus intensidades en el muro están en la razón
A. Juzgando por su color y su masa calculada, esta estrella es muy semejante al sol. Pero la
intensidad de iluminación del sol aquí en la tierra es 10 11 veces mayor que la de Alfa de Centauro A. Mediante la relación del inverso de los cuadrados obtenemos que la estrella
Alfa del Centauro A debe estar alrededor de 1011 = 3 × 105 veces más lejos de nosotros
que el sol. Este se encuentra a 1 , 5 × 1011 metros metros de distancia, así que la estrella debe
estar a una distancia de alrededor de 4 , 5 × 10 16 metros. Y estos es casi exactamente lo que
también nos indica una medición geométrica. En este caso la relación de los inversos de los cuadrados se justifica por si misma como un método para medir las distancias. Cuando aplicamos la relación de los inversos de los cuadrados a la medición de distancias de las estrellas muy lejanas, nuestra confianza en el método se confirma porque concuerda con otros métodos indirectos de medición.
Hemos sido capaces de hallar la distancia a una estrella mediante dos métodos, pero no tengamos mucha esperanza de hallar el tamaño geométricamente. El ángulo subtendido a nuestros ojos es demasiado pequeño para ser medido visualmente aún cuando se usen los mejores instrumentos. Si la estrella es del mismo tamaño que el Sol, este ángulo es aproximadamente de la misma magnitud que el ángulo que podía subtender una moneda de 10 centavos a una distancia de 300 kilómetros. Esta es casi la distancia de New York a Washington. No tenemos por qué sorprendernos de que no puedan ser medidos directamente los tamaños de las estrellas, aún a través de los telescopios más grandes.
La relación del inverso del cuadrado nos proporciona un medio nuevo y eficaz para medir grandes distancias. Muchas otras relaciones matemáticas pueden ser utilizadas en física para indicarnos hechos acerca del mundo físico. Con frecuencia éstos no aparecen muy relacionados con los experimentos que dieron origen a tales funciones matemáticas. Hemos introducido aquí la del cuadrado inverso para ilustrar el uso de esas relaciones en física, no para discutir la naturaleza de la luz. Este será nuestro tema un poco más tarde.
Debemos admitir, sin embargo, que el método del inverso del cuadrado para la medición de distancias tiene sus limitaciones. Dicha relación no se aplicará ciertamente si hay cualquier cosa entre el ojo y la fuente que haga que la luz se desvíe de una trayectoria recta o absorba parte de ella. Lógicamente, un manto de niebla podría reducir la intensidad procedente de
una lámpara distante y trastornar cualquier cálculo basado en la ley del cuadrado inverso. También, la distancia entre el ojo y la fuente debe tener un significado especifico. Esto parece obvio, y lo es, si pensamos en una lámpara de la calle situada en la siguiente cuadra. Medimos desde donde estamos a cualquier punto de la lámpara. Como ella está bastante lejos, todas estas mediciones dan esencialmente la misma distancia d. Así usted puede ver que la relación del inverso del cuadrado será verdadera o válida si las dimensiones de la fuente luminosa son pequeñas (digamos que menos del cinco por ciento) comparadas con la distancia entre el ojo y la fuente. La relación del inverso del cuadrado describe muchas situaciones de la naturaleza donde algo –luz, partículas, o líneas de fuerza eléctrica- irradia uniformemente desde un punto, en línea recta y en todas direcciones. Muchos resultados experimentales de esta ley para la luz y otros efectos, han probado su validez y verificado las deducciones que hemos hecho por geometría.
4.4 La física de Liliput. Comparación de escalas.
El viajero de ficción Lemuel Gulliver pasó un ocupadísimo tiempo en el reino denominado Liliput, donde todos los seres vivientes - hombres, ganado, arboles, pasto - eran exactamente semejantes a los de nuestro mundo, excepto en que estaban todos hechos a una escala de una pulgada por un pie. Los liliputienses tenían un poco menos de 6 pulgadas de altura en promedio, y estaban formados proporcionalmente como nosotros. Gulliver también visito a Brobdingnag, el país de lo gigantes, quienes eran exactamente como los hombres, pero 12 veces más altos, como Swift describió, la vida diaria en ambos reinos era poco más o menos como la nuestra (en el siglo XVIII). Sus comentarios sobre el comportamiento humano son aún dignos de leerse, pero, como veremos, gente de tales tamaños no podía haber sido precisamente como él la describió.
Mucho tiempo antes de haber vivido Swift, Galileo entendió porque tipos de hombres muy pequeños o muy grandes no podían ser como nosotros; pero aparentemente Dean Swift nunca leyó lo que Galileo escribió. Un personaje de la obra “dos nuevas ciencias” de Galileo, dice “Ahora puesto que … en geometría … La limitación del tamaño no destruye la figura, yo no veo que las propiedades de círculos, triángulo, cilindros, conos, y otras
Naturalmente, en realidad, Liliput y Brobdingnag no existen. Pero podemos ver efectos reales de diferencia en las escalas si comparamos animales parecidos de muy diferentes tamaños. Los pequeños no son modelos a escala de los más grandes. La fig. 4.7 muestra los huesos de las piernas de dos animales estrechamente relacionados, de la familia de los ciervos: uno de una pequeña gacela y otro de un bisonte. Observe que el hueso del animal grande no es en absoluto, geométricamente semejante al del pequeño; es mucho más grande con respecto a su longitud, contrarrestando así el cambio a escala, de la cual se obtendría un hueso estrictamente semejante, pero demasiado débil.
Figuras 4.7.ay una gacela. Los animales son del mismo género, pero la Huesos de las patas delanteras de un bisonte gacela es mucho más pequeña. La fotografía muestra eltamaño relativo aproximado de los huesos.
4.7.b. Hueso de la pata de una gacela aumentado hasta lalongitud del hueso del bisonte. Observe que el hueso del animal más grande, es mucho más grueso en comparacióncon su longitud que el de la gacela. El cervatillo tiene generalmente, una conformación mas ligera y elegante.¿Puede usted imaginarse cuán diferentes deben haber sido los liliputienes de los hombres de tamaño normal?
Galileo escribió muy claramente sobre este punto. Impugnado la posibilidad de un Brobdingnag, o de cualquier otro gigante semejante: “si uno desea mantener un gran gigante la misma proporción hallada en los miembros de un hombre ordinario aquel debe tener un material más fuerte y resistente para la formación de sus huesos, o debe admitir una disminución de fuerza en comparación con los hombres de estatura mediana: porque si su altura es aumentada desordenadamente, caerá y se aplastará bajo su propio peso. Mientras que, si el tamaño de un cuerpo es disminuido, la fuerza de este cuerpo no es disminuida en la misma proporción; indudablemente, mientras más pequeño sea el cuerpo, mayor es su fuerza relativa. Así pues, un perro pequeño podría probablemente llevar sobre su lomo dos o tres perros de su propio tamaño, pero yo creo que un caballo no podría ni aún llevar uno de su propio peso”. El esquema de la fig. 4.8 es tomado de Galileo, quien lo dibujo para ilustrar el parágrafo aquí citado.
Un elefante es ya tan grande que sus miembros están groseramente engrosados. Sin embargo, una ballena, el más grande de todos lo animales puede tener 40 veces el peso de un elefante; y, aun así, los huesos de la ballena no son engrosados proporcionalmente. Ellos son suficientemente fuertes, porque la ballena es soportada por el agua. ¿Cuál es el porvenir de una ballena que ha encallado?. Sus costillas se rompen, algunos de lo dinosaurios de la edad prehistórica fueron animales de tamaño semejante al de la ballena. ¿Cómo hicieron ellos par mantenerse erguidos?.
Figura 1.9. dibujo hecho por Galileo como ilustración de las escalas. Hace más de 300 años Galileo escribió que un hueso de mayor longitud debe ser aumentado en espesor en proporción mucho más grande a fin de que los dos modelos tengan comparativamente la misma resistencia. El hueso más grande en esta ilustración tomada de su libro es alrededor de tres veces más largo que el hueso pequeño y casi nueve veces más grueso. El hueso grande sólo debe tener un espesor de 5,2 veces el de el pequeño. ¿Está usted de acuerdo? ¿Por qué?
Siguiendo a Galileo, hemos investigado los problemas de escala, hasta incluir los gigantes. Vamos ahora a dar una mirada a algunos de los problemas que nacen cuando descendemos en la escala.
Cuando usted sale de una piscina, mojado y goteando, hay una pequeña película de agua sobre su piel. Sus dedos no están menos mojados que su antebrazo; el espesor de la película es casi igual sobre todo su cuerpo. Aproximadamente, por lo menos, la cantidad de agua que usted saca es proporcional a la superficie de su cuerpo. Usted puede expresar esto con la relación
Cantidad de agua αL²
Donde L es su altura. La carga original sobre su esqueleto es, como antes, proporcional a
su volumen. Así pues, la razón (^) cargacargaoriginal^ extra es proporcional a (^3)
2 L
L (^) , o sea L
(^1). Quizás
no podrían recoger, no aun digerir, tan enorme cantidad. Indudablemente la agricultura de los Liliputienses no podría sostener un reino como el descrito por Gulliver.
Ahora vemos por que ni Brobdingnag ni Liliput pueden ser realmente modelos a escala de nuestro mundo. Pero ¿Qué tienen estas conclusiones que ver con la física?.
Vamos a partir de nuevo de lo muy grande. A medida que agrandamos a escala cualquier sistema, la carga eventualmente se hace mucho más grande que la resistencia de la estructura. Este efecto se aplica, naturalmente, no solo a los animales: si no a todos los sistemas físicos. Los edificios pueden ser muy grandes porque sus materiales son mas fuertes que lo huesos, sus formas son diferentes, y ellas no se mueven. Estos efectos determinan las constates como k en la ecuación
Resistencia = k L²
Pero rigen las mismas leyes. No puede construirse ninguna edificación que se asemeje al “Empire State”, pero que sea tan alto como una montaña, digamos 10.000 metros. Las montañas son estructuras sólidas, en su mayor parte, sin cavidades interiores. Exactamente como los huesos de un gigante deben ser gruesos, un objeto del tamaño de una montaña sobre la tierra debe ser todo sólido o construído de materiales nuevos a un desconocidos.
Nuestros argumentos no están restringidos a la superficie de la tierra. Podemos imaginarnos la construcción de una tremenda estructura en el espacio remoto alejada de la fuerza gravitacional terrestre. El peso no esta dado, por consiguiente, por la fuerza gravitatoria terrestre; pero a medida que la estructura se hace más y más grande, cada una de las partes atrae gravitacionalmente a la otra y pronto la parte externa de la estructura es atraída hacia el centro con gran fuerza. El interior construido con materiales ordinarios es comprimido, grandes protuberancias asoman a la superficie y grandes porciones se hunden. Como resultado, cualquier estructura grande como un planeta tiene una forma simple y, si es suficientemente grande, la forma se acerca a la de una esfera. Cualquier otra forma será incapaz de soportarse por sí misma. Esta es la razón esencial por la cual los planetas y el sol tienden a ser esféricos. La fuerza de gravedad es importante para nosotros sobre la tierra pero, a medida que extendemos el alcance de las dimensiones que estudiamos, ella viene a
ser absolutamente dominante en lo muy grande. Unicamente el movimiento puede cambiar este resultado. Las grandes masas de gas, como las nebulosas, por ejemplo están cambiando con el tiempo, y ello modifica la ley de que los grandes objetos deben ser de forma simple.
Cuando pasamos de nuestro tamaño normal a lo muy pequeño, los efectos gravitacionales dejan de ser importantes. Pero, como, lo vimos al estudiar a Liliput, los efectos de superficie vienen a ser importantes. Si vamos suficientemente lejos hacia lo muy pequeño, las superficies no aparecen ya suaves, si no que son tan abruptas, que tendremos dificultad para definir una superficie. Deben usarse otras descripciones. En todo caso, no será una completa sorpresa el encontrar que en el dominio del átomo, lo muy pequeño, los factores de comparación a escala demuestran que la atracción dominante es una fuerza que no es fácilmente observada en la experiencia diaria.
Argumentos como éstos se encuentran a través de toda la física. Como las mediciones por el sistema de ordenes de magnitud, ellos son extremadamente valiosos cuando empezamos el estudio de cualquier sistema físico. Con frecuencia la mejor guía para un análisis detallado, es saber cómo cambiará el comportamiento de un sistema al variarse la escala de sus dimensiones, su movimiento, etc.
Aún más, es debido al estudio de sistemas construidos sobre muchas escalas poco comunes, como los físicos han podido descubrir relaciones físicas insospechadas. Cuando se cambia la escala, un aspecto del mundo físico puede ser realzado, mientras que otro puede hacerse mínimo. En esta forma podemos descubrir o al menos adquirir una visión más clara de las cosas que son menos obvias en nuestra acostumbrada escala experimental. Esta es principalmente la razón por la cual los físicos examinan dentro y fuera de sus laboratorios, lo muy grande y lo muy pequeño, lo lento y lo rápido, lo caliente y lo frío, y todas las otras circunstancias inusitadas que ellos pueden imaginar. Al examinar lo que sucede en estas circunstancias usamos instrumentos, tanto para producir las situaciones poco comunes, como, para extender nuestros sentidos al efectuar las mediciones.
Es difícil resistirnos a indicar cuanto afecta la escala del tamaño del hombre la manera como él ve el mundo. Por mucho tiempo ha sido tarea de la física tratar de formar un cuadro del mundo que no dependa de la manera cómo nosotros hemos sido formados. Pero
