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TEMA 8 : GEOMETRÍA AFÍN
1. Dada la recta 𝑟(𝐴; 𝑣
𝑟
) con 𝐴 = ( 3 , 1 , − 2 ) y 𝑣
𝑟
a. Determina sus distintas ecuaciones.
b. Determina dos puntos de r distintos de A y un vector distinto de 𝑣
𝑟
c. Determina si el punto 𝐵
pertenece a r.
2. Dados los puntos 𝐴
se pide:
a. Determina las distintas ecuaciones de la recta que pasa por A y B.
b. Determina, utilizando la ecuación en forma continua, si el punto 𝐶
pertenece a dicha recta.
3. Determina las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos 𝐴
4. Escribe la ecuación vectorial, paramétricas e implícita del plano que pasa por el punto
𝐴( 2 , − 1 , 3 ) y con vectores directores: 𝑢⃗ ( 2 , 1 , − 1 ) y 𝑣(− 1 , 0 , 3 )
5. Averigua si los dos sistemas de ecuaciones siguientes representan sendos planos y, en
caso que así sea, indica un punto y dos vectores directores de cada uno.
a.
b.
6. Averigua si los puntos 𝑃( 0 , − 3 , 2 ) 𝑦 𝑄( 53 , 1 ) pertenecen al plano dado por las
ecuaciones paramétricas siguientes:
7. Determina la ecuación general del plano que contiene el punto 𝐴( 1 , 0 , 3 ) y con vectores
directores 𝑢⃗
8. Dada la ecuación general del plano 𝜋: 𝑥 − 2 𝑦 + 3 𝑧 − 1 = 0 , determina tres puntos del
plano y una ecuación vectorial.
9. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto 𝐴
y es paralelo a las rectas:
𝑥− 1
1
𝑦
2
𝑧+ 2
3
𝑥− 2
2
𝑦+ 1
1
𝑧− 3
− 1
10. Halla la ecuación del plano que pasa por el punto 𝐴( 1 , 0 , 0 ) y contiene a la recta:
11. Determina el vector normal al plano 𝜋: 2 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 2 = 0 12. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos 𝐴
13. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos 𝐴( 1 , 0 , 0 ), 𝐵( 0 , 1 , 0 ) 𝑦 𝐶( 0 , 0 , 0 , ) 14. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos 𝐴( 1 , 0 , 3 ), 𝐵( 2 , 1 , − 1 ) 𝑦 𝐶( 3 , 1 , 0 , ) 15. Calcular la ecuación del plano que pasa por el punto 𝑃( 3 , 7 , − 2 ) siendo el vector
normal al plano
16. Determina la ecuación del plano 𝜋 que pasa por el origen y es perpendicular a la recta:
𝑥− 1
1
𝑦
2
𝑧+ 2
3
17. Determina la posición relativa de los siguientes pares de rectas:
a. r: (x, y, z) = ( 2 , 1 , − 3 ) + λ( 1 , − 3 , 1 ) λ ∈ R
s:
x − 2
y + 3
z + 1
b. r:
x, y, z
λ ∈ R
s:
x, y, z
λ ∈ R
c. r: {
x = 2 − 3 λ
y = 3 + 5λ
z = λ
s: {
x = 1 − μ
y = μ
z = 5
d. r: {
x = 3 − 5 λ
y = 2 + 3λ
z = 4 − λ
s: {
x = − 17 + 5μ
y = 14 − 3μ
z = μ
18. Estudia la posición relativa de los siguientes planos:
1
2
19. Halla el vector director de la recta dada por las siguientes ecuaciones implícitas:
20. Estudia la posición relativa de los siguientes planos:
1
2
21. Halla el valor de A, B y C para que los siguientes planos sean coincidentes:
1
2
22. Averigua la posición relativa de la recta 𝑟: {
y el plano 𝜋: 2 𝑥 +
𝑦 + 𝑧 − 9 = 0. En caso de que sean secantes, halla el punto de corte.
23. Determina la posición relativa de la recta 𝑟:
; λ ∈ R y el
plano: 𝜋:
; λ, μ ∈ R
24. Estudia la posición relativa de la recta r y el plano 𝜋:
25. Estudia la posición de la recta r y el plano 𝜋:
26. Estudia la posición relativa de los siguientes planos:
1
2
3
27. Estudia la posición relativa de los siguientes planos:
1
2
𝑥 = 2 + λ − 3μ
𝑦 = − 1 − λ + 2μ
𝑧 = 2 λ − μ
28. Halla el haz de planos secantes a la recta: 𝑟:
𝑥+ 2
5
𝑦− 1
4
29. Halla el plano del haz de planos anterior que pasa por el punto 𝑃
¿Tienen los tres planos algún punto común?
41. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto 𝐴
y es paralela al eje OZ
42. Escribe las ecuaciones de la recta que pasa por el punto 𝑃
y es paralela al
vector 𝑢⃗ 𝑥𝑣 siendo 𝑢⃗
y 𝑣
43. Estudia la posición relativa de las siguientes rectas y halla el punto de corte, cuando sea
posible:
a. 𝑟:
𝑥− 1
3
𝑦+ 2
2
𝑧− 1
4
𝑥+ 2
− 1
𝑦− 3
2
𝑧− 2
3
b. 𝑟:
𝑥
2
𝑧+ 1
3
c. 𝑟:
𝑥− 1
2
𝑦
3
𝑧
4
𝑥 = 3 + 4 λ
𝑦 = 3 + 6 λ
𝑧 = 4 + 8 λ
44. Obtén el valor de a para el cual las rectas r y s se cortan:
Calcula el punto de corte de r y s para el valor de a que has calculado.
(En s, divide por 2 el numerador y el denominador de la primera fracción)
45. Halla los valores de m y n para que las rectas r y s sean paralelas:
𝑥 = 5 + 4 λ
𝑦 = 3 + λ
𝑧 = −λ
46. A. Halla el vector director de la recta determonada por los planos:
B. Escribe las ecuaciones paramétricas de la recta anterior.
47. ¿Se puede construir un triángulo que tenga dos de sus lados sobre las rectas r y s?
𝑥 = 2 λ
𝑦 = − 1 + λ
𝑧 = λ
48. Halla la ecuación implícita de cada uno de los siguientes planos:
a. Determinado por el punto 𝐴( 1 , − 3 , 2 ) y por los vectores 𝑢⃗ ( 2 , 1 , 0 ) y 𝑣 (− 1 , 0 , 3 )
b. Pasa por el punto 𝑃( 2 , − 3 , 1 ) y su vector normal es 𝑛⃗ ( 5 , − 3 , − 4 )
c. Perpendicular a la recta
𝑥
2
𝑦+ 1
− 1
𝑧
3
y que pasa por el punto ( 1 , 0 , 1 )
49. Halla las ecuaciones paramétricas e implícitas de los planos OXY, OYZ, OXZ 50. Escribe las ecuaciones paramétricas de los planos:
a. 𝑧 = 3
b. 𝑥 = − 1
c. 𝑦 = 2
51. ¿Cuál es el vector normal del plano 𝑥 = − 1? Escribe las ecuaciones de una recta
perpendicular a ese plano que pase por 𝐴( 2 , 3 , 0 )
52. Calcula m y n para que los planos siguientes sean paralelos:
¿Pueden ser 𝛼 𝑦 𝛽 coincidentes?
53. Escribe la ecuación del plano que pasa por los puntos siguientes:
54. Estudia la posición relativa de la recta y el plan siguiente:
𝑥− 3
2
𝑦+ 1
1
𝑧
− 1
55. Determina las ecuaciones paramétricas del plano que contiene al punto 𝑃
y la
recta siguiente: 𝑟: 𝑥 − 2 =
𝑦− 3
− 1
𝑧− 4
− 3
56. Considera las rectas siguientes: 𝑟:
𝑥− 1
2
a. Comprueba que r y s son paralelas.
b. Hallla la ecuación implícita del plano que contiene a r y a s.
57. Estudia la posición relativa de los tres planos en cada un de los siguientes casos:
a. {
b. {
58. Calcula la ecuación del plano que determinan el punto 𝐴
y la recta:
