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1 Espacio afÌn
1.1 DeÖniciÛn de Espacio afÌn
Un espacio afÌn real es una terna (A; V; ) formada por un conjunto A, un espacio vectorial real V y una aplicaciÛn : A A ! V que cumple:
- 8 P 2 A y 8 ~u 2 V existe un ˙nico Q 2 A tal que
(P; Q) = ~u:
- (P; Q) + (Q; R) = (P; R) para todo P; Q; R 2 A.
NotaciÛn. Escribiremos (P; Q) =
P Q. A los elementos del conjunto A los llamamos puntos de A y diremos que V es el espacio vectorial asociado al espacio afÌn (A; V; ). DeÖnimos la dimensiÛn del espacio afÌn (A; V; ) como
dim A = dim V:
Ejemplo 1 Todo espacio vectorial V es un espacio afÌn con espacio vectorial asociado V. En efecto, la terna (A; V; ) donde A =V y la aplicaciÛn dada por: : A A ! V; (~u; ~v) = ~v ~u;
veriÖca las condiciones de la deÖniciÛn de espacio afÌn.
Ejemplo 2 Por el ejemplo anterior tenemos que (R^2 ; R^2 ; ) es un espacio afÌn de dimensiÛn 2 , (R^3 ; R^3 ; ) es un espacio afÌn de dimensiÛn 3. En general (Rn; Rn; ) es un espacio afÌn de dimensiÛn n.
1.1.1 Propiedades de los espacios aÖnes
Sea (A; V; ) un espacio afÌn real. Se veriÖca:
- (P; Q) = ~ 0 si y sÛlo si P = Q.
- (P; Q) = (Q; P ), 8 P; Q 2 A.
- (P; Q) = (R; S) si y sÛlo si (P; R) = (Q; S).
1.2 Referencia afÌn
Sea A un espacio afÌn de dimension n con espacio vectorial asociado V.
DeÖniciÛn de referencia afÌn Un conjunto de n + 1 puntos fP 0 ; P 1 ; : : : ; Png de un espacio afÌn (A; V; ) es un sistema de referencia afÌn de A si el conjunto
de vectores
n ! P 0 P 1 ; : : : ;
P 0 Pn
o es una base del espacio vectorial V.
DeÖniciÛn El punto P 0 2 A tal que
n ! P 0 P 1 ; : : : ;
P 0 Pn
o es una base de V , se
denomina origen del sistema de referencia fP 0 ; P 1 ; : : : ; Png.
ProposiciÛn Dado un punto P 0 2 A existe un sistema de referencia afÌn de A con origen el punto P 0.
DemostraciÛn Por el teorema de la base sabemos que todo espacio vectorial Önitamente generado admite al menos una base. Sea B = f~u 1 ; : : : ; ~ung una base
de V. Sean Pi los puntos de A tales que
P 0 Pi = ~ui, i = 1; : : : ; n. El conjunto de puntos fP 0 ; P 1 ; : : : ; Png de A es un sistema de referencia afÌn de A.
Corolario Dado un punto O 2 A y una base B de V , tenemos una referencia afÌn de A, que tambiÈn se denomina referencia cartesiana y se denota R = fO; Bg.
DeÖniciÛn de coordenadas Se llaman coordenadas de un punto P 2 A respecto a una referencia afÌn R = fO; Bg del espacio afÌn A a las coordenadas
del vector
OP respecto de la base B del espacio vectorial V ; esto es, a la n-upla ( 1 ; : : : ; (^) n) tal que ! OP = 1 ~u 1 + + (^) n~un
donde ~u 1 ; : : : ; ~un son los vectores de la base B. Escribiremos: P ( 1 ; : : : ; (^) n)R.
Ejemplo Sea R = fO; Bg un sistema de referencia afÌn de un espacio afÌn (A; V; ) de dimensiÛn 3. Consideramos el sistema de referencia R^0 = fO^0 ; B^0 g con O^0 (1; 2 ; 1)R y B^0 = (~u 1 ; ~u 2 ; ~u 3 ), donde
~u 1 = (1; 0 ; 0)B ; ~u 2 = (1; 1 ; 0)B ; ~u 3 = (1; 1 ; 1)B
Los vectores ~u 1 ; ~u 2 ; ~u 3 forman una base de V pues al ser
1 1 1 0 1 1 0 0 1
el sistema de vectores f~u 1 ; ~u 2 ; ~u 3 g es linealmente independiente (y como sabemos un sistema linealmente independiente formado por 3 vectores en un espacio vectorial V de dimensiÛn 3 es una base). Sea el punto P cuyas coordenadas respecto a la referencia R son (5; 5 ; 0), esto es, P (5; 5 ; 0)R ()
OP = 5~u 1 + 5~u 2 + 0~u 3 :
Vamos a calcular las coordenadas de P respecto de R^0 :
! O^0 P = (5 1 ; 5 2 ; 0 + 1) = (4; 3 ; 1); ! O^0 P = x 1 ~u 1 + x 2 ~u 2 + x 3 ~u 3 = x 1 (1; 0 ; 0) + x 2 (1; 1 ; 0) + x 3 (1; 1 ; 1) = (x 1 + x 2 + x 3 ; x 2 + x 3 ; x 3 );
Matricialmente, el sistema de ecuaciones anterior se escribe: 0 B B B @
x 1 .. . xn
C
C
C
A
B
B
B
a 1 a 11 a 1 n .. .
an an 1 ann
C
C
C
A
B
B
B
y 1 .. . yn
C
C
C
A
TambiÈn se puede escibir como sigue: 0 B @
x 1 .. . xn
C
A =
B
a 1 .. . an
C
A +^ MB^0 B
B
y 1 .. . yn
C
A
donde la matriz MB^0 B es la matriz del cambio de base de B^0 a B:
MB^0 B =
B
a 11 a 1 n .. .
an 1 ann
C
A
La matriz
MR 0 R =
1 ~ 0 t ~a MB^0 B
B
B
B
a 1 a 11 a 1 n .. .
an an 1 ann
C
C
C
A
es la matriz de cambio de referencia de R^0 a R.
Ejemplo En el espacio afÌn (A 2 ; V 2 ; ) se consideran las referencias R = fO; B = (~u 1 ; ~u 2 )g, R^0 = fO^0 ; B^0 = (~u^01 ; ~u^02 )g siendo
! OO^0 = 3 ~u 1 + 3~u 2 ; ~u^01 = 2 ~u 1 ~u 2 ; ~u^02 = ~u 1 + 2~u 2 :
Se pide:
- Determinar la matriz del cambio de referencia de R^0 a R. Tenemos ! OP =
OO^0 +
O^0 P = 3~u 1 + 3~u 2 + y 1 (2~u 1 ~u 2 ) + y 2 ( ~u 1 + 2~u 2 ) = (3 + 2y 1 y 2 ) ~u 1 + (3 y 1 + 2y 2 ) ~u 2
Luego (^) x 1 = 3 + 2y 1 y 2 x 2 = 3 y 1 + 2y 2
esto es,
MR 0 R =
A
- Determinar la matriz del cambio de referencia de R a R^0.
MR R 0 = M R 01 R =
A
1
A
- Si (3; 5) son las coordenadas de un punto P en la referencia R, determinar los coordenadas de P en R^0.
MR R 0
A =
A
A =
2 (^34) 3
A
- Si (2; 3) son las cooordenadas de un punto Q en la referencia R^0 , determi- nar los coordenadas de Q en R.
MR 0 R
A =
A
A =
A
MAPLE
restart: >with(linalg): M[RpR]:=concat([1,3,3],[0,2,-1],[0,-1,2]); M[RRp]:=inverse(M[RpR]); evalm(M[RRp]&[1,3,5]); evalm(M[RpR]&[1,2,3]);
ObservaciÛn Si L 1 \ L 2 6 = ; entonces ! L 1 + L 2 =
L 1 +
L 2 ;
y si L 1 \ L 2 = ; entonces ! L 1 + L 2 =
L 1 +
L 2 + L(
P 1 P 2 ); P 1 2 L 1 ; P 2 2 L 2 :
Dos subespacios aÖnes L 1 = P 1 +
L 1 y L 2 = P 2 +
L 2 se cortan si y sÛlo si ! P 1 P 2 2
L 1 +
L 2 :
1.3.2 Paralelismo
Decimos que dos subespacios aÖnes L 1 = P 1 +
L 1 y L 2 = P 2 +
L 2 de un espacio afÌn (A; V; ) son paralelos si
L 1
L 2 Û
L 2
L 1.
Se dice que dos subespacios aÖnes L 1 = P 1 +
L 1 y L 2 = P 2 +
L 2 se cruzan si ni son paralelos ni se cortan.
1.3.3 FÛrmulas de la dimensiÛn
Sean L 1 = P 1 +
L 1 y L 2 = P 2 +
L 2 dos subespacios aÖnes de un espacio afÌn (A; V; ). Se cumple lo siguiente:
- Si L 1 \ L 2 6 = ;, entonces dim(L 1 + L 2 ) = dim L 1 + dim L 2 dim(L 1 \ L 2 ):
- Si L 1 \ L 2 = ;, entonces
dim(L 1 + L 2 ) = dim L 1 + dim L 2 dim(
L 1 \
L 2 ) + 1:
DemostraciÛn Claramente,
dim(L 1 + L 2 ) = dim(
L 1 + L 2 ) = dim(
L 1 +
L 2 + L(
P 1 P 2 )):
Si L 1 \ L 2 6 = ; entonces
L 1 + L 2 =
L 1 +
L 2 y entonces dim(L 1 + L 2 ) = dim(
L 1 +
L 2 )
= dim
L 1 + dim
L 2 dim(
L 1 \
L 2 )
= dim
L 1 + dim
L 2 dim(
L 1 \ L 2 )
= dim L 1 + dim L 2 dim(L 1 \ L 2 ):
Si L 1 \ L 2 = ; entonces
P 1 P 2 2 =
L 1 +
L 2 (por tanto, (
L 1 +
L 2 ) \ L(
P 1 P 2 ) = f~ 0 g)
dim(L 1 + L 2 ) = dim(
L 1 +
L 2 + L(
P 1 P 2 ))
= dim(
L 1 +
L 2 ) + dim(L(
P 1 P 2 )) dim((
L 1 +
L 2 ) \ L(
P 1 P 2 ))
= dim(
L 1 +
L 2 ) + 1
= dim
L 1 + dim
L 2 dim(
L 1 \
L 2 ) + 1
= dim L 1 + dim L 2 dim(
L 1 \
L 2 ) + 1:
Ejemplo: Posiciones relativas de dos rectas aÖnes. Sean L 1 = P 1 +
L 1
y L 2 = P 2 +
L 2 dos rectas aÖnes en un espacio afÌn (A; V; ) de dimensiÛn n. Las posibles posiciones relativas de L 1 y L 2 son: Si L 1 \ L 2 6 = ; entonces o L 1 \ L 2 es una recta y entonces dim(L 1 \ L 2 ) = 1 Û L 1 \ L 2 es un punto y entonces dim(L 1 \ L 2 ) = 0. Se tiene:
dim(L 1 + L 2 ) = dim L 1 + dim L 2 dim(L 1 \ L 2 ) L 1 y L 2 son coincidentes L 1 y L 2 son secantes
Si L 1 \ L 2 = ; entonces
L 1 \
L 2 puede o ser una recta vectorial o ser el vector nulo ~ 0. Se tiene:
dim(L 1 + L 2 ) = dim L 1 + dim L 2 dim(
L 1 \
L 2 ) + 1
L 1 y L 2 son paralelas L 1 y L 2 se cruzan
DeÖniciÛn Sean L 1 = P 1 + L(~u 1 ) y L 2 = P 2 + L(~u 2 ) dos rectas aÖnes en un espacio afÌn (A; V; ) de dimensiÛn n. Se dice que:
- Las rectas L 1 y L 2 se cruzan si no hay un plano que contenga a ambas; esto es, si el sistema de vectores f~u 1 ; ~u 2 ;
P 1 P 2 g es linealmente independiente.
- Las rectas L 1 y L 2 son coplanarias si no se cruzan; esto es, si el sistema de vectores f~u 1 ; ~u 2 ;
P 1 P 2 g es linealmente dependiente.
- Las rectas L 1 y L 2 se cortan si L 1 \ L 2 6 = ;.
- Las rectas L 1 y L 2 son paralelas si
L 1 =
L 2 ; esto es, si ~u 1 y ~u 2 son propor- cionales. Si adem·s L 1 \ L 2 6 = ; entonces las dos rectas son coincidentes.
1.3.4 Ecuaciones de un subespacio afÌn
Sea (A; V; ) un espacio afÌn con sistema de referencia afÌn R = fO; Bg, B = (~e 1 ; : : : ; ~en). Y sea L A un subespacio afÌn de A de dimensiÛn k; esto es,
L = P +
L con
L = L(f~u 1 ; ~u 2 ; : : : ; ~ukg) y P (a 1 ; : : : ; an)R y 8
<
:
~u 1 = (a 11 ; : : : ; an 1 ) ~u 2 = (a 12 ; : : : ; an 2 ) .. . ~uk = (a 1 k; : : : ; ank)
~u 1 = a 11 ~e 1 + + an 1 ~en ~u 2 = a 12 ~e 1 + + an 2 ~en .. . ~uk = a 1 k~e 1 + + ank~en
Ecuaciones paramÈtricas Un punto X(x 1 ; : : : ; xn)R 2 L si y sÛlo si el vector
! P X = (x 1 a 1 ; : : : ; xn an) 2 L(f~u 1 ; : : : ; ~ukg):
DemostraciÛn Sean P (p 1 ; : : : ; pn)R, Q(q 1 ; : : : ; qn)R 2 L veamos que en- tonces ~u =
P Q = (q 1 p 1 ; : : : ; qn pn)
es soluciÛn del sistema homogÈneo 8
<
:
a 11 x 1 + + an 1 xn = 0 .. . a 1 r x 1 + + anr xn = 0
Para i = 1 : : : r cualquiera, se tiene
a 1 i(p 1 q 1 ) + + ani(pn qn) = (a 1 ip 1 + + anipn) (a 1 iq 1 + + aniqn)
= P;Q 2 L bi bi = 0 :
Por tanto, las ecuaciones del sistema vectorial asociado a L son:
~L
a 11 x 1 + + an 1 xn = 0 .. . a 1 r x 1 + + anr xn = 0
Ecuaciones de una recta Una recta afÌn r A es un subespacio afÌn de dimensiÛn 1 ; esto es, r = P + L(~u) con
P (a 1 ; : : : ; an)R y ~u = u 1 ~e 1 + + un~en:
Un punto X 2 r si y sÛlo ! P X = ~u;
esto es, si (x 1 ; : : : ; xn) son las coordenadas de X en la referencia R entonces,
(x 1 a 1 ; : : : ; xn an) = (u 1 ; : : : ; un)
o, equivalentemente (^8)
<
:
x 1 = a 1 + 1 u 1 .. . xn = an + 1 un
que son las ecuaciones paramÈtricas de la recta r. Si suponemos u 1 6 = 0 (alg˙n ui no se anula pues el vector ~u no es nulo), el sistema anterior se escribe:
x 1 a 1 u 1
xn an un
que son la ecuaciÛn en forma continua de la recta r.
Por ˙ltimo, X(x 1 ; : : : ; xn)R 2 r si y sÛlo si
XP 2 L(~u) ()
XP y ~u son
proporcionales. Por tanto,
XP 2 L(~u) si y sÛlo si
rg
B
x 1 a 1 u 1 .. .
xn an un
C
A = 1:
Al imponer que dicho rango sea 1 obtenemos n 1 menores de orden 2 que deben anularse. Esto es, obtenemos n 1 ecuaciones cartesianas de r.
EcuaciÛn cartesiana Un hiperplano afÌn H A es un subespacio afÌn de dimensiÛn n 1 ; por tanto viene dado por una ˙nica ecuaciÛn cartesiana
a 1 x 1 + + anxn = b:
Un subespacio afÌn L de dimensiÛn k es la intersecciÛn de n k hiperplanos independientes cada hiperplano viene dado por una ecuaciÛn lineal y L viene dado por un sistema de n k ecauciones lineales).
PosiciÛn relativa de subespacios El estudio de los sistemas de ecuaciones de dos subespacios permite estudiar de manera sencilla la posiciÛn relativa de dichos subespacios. Vamos a estudiar dos casos particularmente sencillos:
I. PosiciÛn relativa de dos hiperplanos Sean H 1 ; H 2 A dos hiper- planos de ecuaciones cartesianas:
H 1 a 1 x 1 + + anxn = b; H 2 a^01 x 1 + + a^0 nxn = b^0 :
Las ecuaciones de sus respectivos espacios vectoriales asociados son
H^ ~ 1 a 1 x 1 + + anxn = 0; H~ 2 a^01 x 1 + + a^0 nxn = 0:
Por tanto, si existe tal que (a^01 ; : : : ; a^0 n) = (a 1 ; : : : ; an) entonces H~ 1 = H~ 2 y los hiperplanos H 1 , H 2 son paralelos. Si adem·s, b^0 = b entonces los hiperplanos H 1 , H 2 son coincidentes. Si b^0 6 = b entonces los hiperplanos H 1 , H 2 no se cortan (H 1 \ H 2 = ;).
II. PosiciÛn relativa de recta e hiperplano Sea r = P + L(~u) una recta afÌn en A con P (a 1 ; : : : ; an)R y ~u = (u 1 ; : : : ; un). Y sea H un hiperplano afÌn con ecuaciÛn cartesiana
a 1 x 1 + + anxn = b:
La recta r y el hiperplano H son paralelos si el vector ~u 2 H~; esto es, si (u 1 ; : : : ; un) satisface la ecuaciÛn lineal homogÈnea del subespacio vectorial H~; es decir, si a 1 u 1 + + anun = 0:
esto es, si y sÛlo si
rg
x 1 1 1 2 x 2 2 2 1 x 3 + 1 1 1
A = 2 () 0 =
x 1 1 1 2 x 2 2 2 1 x 3 + 1 1 1
= 3x 1 3 x 2 3 x 3 :
Por tanto x 1 x 2 x 3 = 0 es la ecuaciÛn cartesiana de L.
MAPLE
restart; >with(linalg); X:=[x[1],x[2],x[3]]; P:=[1,2,-1]; u[1]:=[1,2,-1]; u[2]:=[2,1,1]; A:=concat(evalm(X-P),u[1],u[2]); 0=det(A);
Ejemplo 3 Se consideran las rectas r y s que tienen respecto de cierta refer- encia R = fO; Bg las siguientes ecuaciones cartesianas respectivamente:
r
x = 2z + p y = z + 3 s^
x = z + 1 y = 2z + q
Hallar la condiciÛn que deben cumplir los par·metros p y q para que las rectas r y s sean coplanarias. Determinar p y q para que dicho plano contenga al punto P (1; 1 ; 1)R.
SoluciÛn Unas ecuaciones paramÈtricas de las rectas r y s son
r
x = 2 + p y = + 3 z =
s
x = + 1 y = 2 + q z =
luego un vector director de la recta r es ~u = (2; 1 ; 1)B y un punto de r es R(p; 3 ; 0)R y un vector director de la recta s es w~ = ( 1 ; 2 ; 1)B y un punto de s
es S(1; q; 0)R. Las rectas r y s son coplanarias si
n ~u; ~w;
RS = (1 p; q 3 ; 0)
o
es linealmente dependiente; esto es, si
2 1 1 p 1 2 q 3 1 1 0
= 3p 3 q + 6
Por tanto, r y s son coplanarias si p q + 2 = 0. El plano que las contiene es: R+L (f~u; ~wg). Luego un punto X(x; y; z)R 2 si y sÛlo si
RX 2 L (f~u; ~wg); esto es, si
0 =
x p 2 1 y 3 1 2 z 1 1
= 3p 3 x 3 y + 3z + 9:
Imponemos ahora que P (1; 1 ; 1)R 2 :
0 = 3p 3 1 3 1 + 3 1 + 9 = 3p + 6;
luego p = 2 y q = p + 2 = 0.
Cuestiones teÛricas Demostrar las siguientes cuestiones teÛricas:
- Sean L, S dos subespacios aÖnes de un espacio afÌn A y tales que son paralelos y P 2 S \ L. Demostrar:
(a) Si dim L < dim S, entonces L S. (b) Si dim L = dim S, entonces L = S.
- Sean L, S dos subespacios aÖnes de un espacio afÌn (A; V; ) y tales que ~L y S~ son subespacios vectoriales complementarios (esto es, ~L S~ = V ) entonces L \ S consiste en un punto (esto es, dim(L \ S) = 0).
SoluciÛn.
- Como L y S son paralelos y estamos suponiendo dim L dim S entonces ~L S~. Por tanto, L = P + ~L P + S~. Luego L S. Si adem·s dim L = dim S, entonces L = S.
- Calculamos la dimensiÛn de la intersecciÛn L \ S. Como L~ S~ = V entonces ! S + L = ~L + S~ + L(
P Q) = V + L(
P Q) = V , con P 2 L y Q 2 S.
dim(L + S) = dim
L + S
= n
= dim ~L + dim S~ dim(L~ \ S~) = dim L + dim S
por tanto, dim(L \ S) = dim(L + S) dim L dim S = 0.
Supongamos ahora que f es sobreyectiva. Sea C 2 A^0 , consideremos un vector ~u =
f (A)C donde A es un punto arbitrario de A. Como f es sobreyectiva existe un vector ~v =
AB 2 V con f (
AB) = ~u entonces ! f (A)f (B) = f (
AB) = ~u =
f (A)C
luego f (B) = C. Por tanto, f es sobreyectiva.
ProposiciÛn Sean g : A ! A^0 y f : A^0 ! A^00 dos aplicaciones aÖnes la composiciÛn f g : A ! A^00 es tambiÈn una aplicaciÛn afÌn y su aplicaciÛn lineal asociada es f g = f g.
DemostraciÛn Dados P; Q 2 A, se tiene
! (f g)(P )(f g)(Q) =
f (g(P ))f (g(Q)) = f^ es afÌn
f^
g(P )g(Q)
g es afÌn f^
g(
P Q)
f g
P Q):
ProposiciÛn Sean f; g : A ! A^0 dos aplicaciones aÖnes que coinciden sobre un punto P , f (P ) = g(P ), y que tienen la misma aplicaciÛn lineal asociada f^ = g. Entonces f = g.
DemostraciÛn Para todo X 2 A, se cumple:
! f (P )f (X) = f (
P X) = g(
P X) =
g(P )g(X) =
f (P )g(X);
por tanto, f (X) = g(X).
2.2 Matriz asociada a una aplicaciÛn afÌn
Sean (A; V; ) y (A^0 ; V 0 ; ^0 ) dos espacios aÖnes y sea f : A ! A^0 una aplicaciÛn afÌn con aplicaciÛn lineal asociada f : V ! V 0. Se consideran referencias aÖnes R = fO; Bg, B = (~e 1 ; : : : ; ~en) y R^0 = fO^0 ; B^0 g, B^0 = (~e^01 ; : : : ; ~e^0 m) de los espacios A, A^0 respectivamente. Se sabe:
! O^0 f (O) = b 1 ~e^01 + + bm~e^0 m; 8
<
:
f^ (~e 1 ) = a 11 ~e^01 + + am 1 ~e^0 m .. . f^ (~en) = a 1 n~e^01 + + amn~e^0 m
Sea P (x 1 ; : : : ; xn)R y sea f (P ) 2 A^0 con f (P )(y 1 ; : : : ; ym)R^0 entonces se tiene:
0 B B B @
y 1 .. . ym
C
C
C
A
B
B
B
b 1 a 11 a 1 n .. .
bm am 1 amn
C
C
C
A
B
B
B
x 1 .. . xn
C
C
C
A
Escribiremos
MRR 0 (f ) =
1 ~ 0 t ~b MBB 0 ( f )
B
B
B
b 1 a 11 a 1 n .. .
bm am 1 amn
C
C
C
A
donde ~b son las coordenadas de f (O) en la referencia R^0 y MBB^0 ( f ) es la matriz asociada a la aplicaciÛn lineal f tomando en V la base B y en V 0 la base B^0.
Ejemplo 1 Sea (A; V; ) un espacio afÌn con sistema de referencia afÌn R = fO; B = (~e 1 ; ~e 2 ; ~e 3 )g, y sea (A^0 ; V 0 ; ^0 ) un espacio afÌn con sistema de referencia afÌn R^0 = fO^0 ; B^0 = (~e^01 ; ~e^02 )g. øEs la aplicaciÛn f : A ! A^0 , f (x; y; z) = (x 2 y + 5; x z + 1) una aplicaciÛn afÌn? Dar su aplicaciÛn lineal asociada y obtener la matriz asociada a f en las referencias R; R^0. SoluciÛn. Para ver si f es una aplicaciÛn afÌn tenemos que ver si existe una apli-
caciÛn lineal f : V ! V 0 tal que
f (P )f (Q) = f (
P Q) para todo par de puntos
P; Q 2 A. Tomamos P (x 1 ; y 1 ; z 1 ) y Q(x 2 ; y 2 ; z 2 ) entonces
P Q = Q P =
(x 2 x 1 ; y 2 y 1 ; z 2 z 1 ) y
! f (P )f (Q) = f (Q) f (P ) = f (x 2 ; y 2 ; z 2 ) f (x 1 ; y 1 ; z 1 ) = (x 2 2 y 2 + 5; x 2 z 2 + 1) (x 1 2 y 1 + 5; x 1 z 1 + 1) = ((x 2 x 1 ) 2 (y 2 y 1 ) ; (x 2 x 1 ) (z 2 z 1 )) = f (x 2 x 1 ; y 2 y 1 ; z 2 z 1 ) ;
por tanto, f sÌ es una aplicaciÛn afÌn y su aplicaciÛn lineal asociada es f (x; y; z) = (x 2 y; x z). Las coordenadas del origen O en la referencia R son las coordenadas del
vector
OO = (0; 0 ; 0) en la base B y ~e 1 = (1; 0 ; 0)B , ~e 2 = (0; 1 ; 0)B y ~e 3 = (0; 0 ; 1)B se tiene:
f (O) = f (0; 0 ; 0) = (5; 1); f^ (~e 1 ) = f (1; 0 ; 0) = (1; 1); f^ (~e 2 ) = f (0; 1 ; 0) = ( 2 ; 0); f^ (~e 3 ) = f (0; 0 ; 1) = (0; 1):
Como (^0)
B B @
C
C
A
x 1 x 2
A =
B
B
x 1 + x 2 2 4 x 1 x 2 x 2 + 1
C
C
A
se tiene: f (x 1 ; x 2 ) = (x 1 + x 2 2 ; 4 x 1 x 2 ; x 2 + 1) :
MAPLE
restart: >with(linalg): OP:=[1,2]; M_f_lineal:=concat([1,4,0],[1,-1,1]); evalm(M_f_lineal&[1,2]); evalm([1,2,3]-[3, 2, 2]); M_f:=stackmatrix(<1,0,0>, concat([-2, 0, 1],[1,4,0],[1,-1,1])); evalm(M_f&[1,x1,x2]);
Ejemplo 3 Sea (R^2 ; R^2 ; ) un espacio afÌn con sistema de referencia afÌn R = fO; Bg, B = (~e 1 ; ~e 2 ). Determinar la aplicaciÛn afÌn f : R^2 ! R^2 tal que
f (1; 1) = (7; 5); f (1; 2) = (11; 4); f (2; 1) = (8; 8):
Para dar una aplicaciÛn afÌn f : R^2 ! R^2 necesitamos tres puntos que sean referencia afÌn y sus transformados.
Primer camino Llamo P 0 (1; 1), P 1 (1; 2) y P 2 (2; 1). Tenemos
P 0 P 1 =
(0; 1) y
P 0 P 2 = (1; 0), entonces sabemos que
f^ (~e 1 ) = f (1; 0) = f ( P 0 P! 2 ) = f (P 2 ) f (P 0 ) = (1; 3); f^ (~e 2 ) = f (0; 1) = f ( P 0 P! 1 ) = f (P 1 ) f (P 0 ) = (4; 1):
Y como
OP 0 = (1; 1) = ~e 1 + ~e 2 tenemos:
f^ ( OP ! 0 ) = f (~e 1 + ~e 2 ) = f (~e 1 ) + f (~e 2 ) = (1; 3) + (4; 1) = (5; 2)
luego
f (O) = f (P 0 ) f (
OP 0 ) = (7; 5) (5; 2) = (2; 3):
Por tanto,
MRR(f ) =
A
y f (x 1 ; x 2 ) = (2 + x 1 + 4x 2 ; 3 + 3x 1 x 2 ).
Segundo camino El conjunto de puntos R^0 = fP 0 (1; 1); P 1 (1; 2); P 2 (2; 1)g
es una referencia afÌn pues
P 0 P 1 = (0; 1) y
P 0 P 2 = (1; 0) es una base de R^2. Y tenemos:
f (P 0 ) = f (1; 1) = (7; 5); f^ ( P 0 P! 1 ) = f ( P 0 ) f (P ! 1 ) = f (P 1 ) f (P 0 ) = (11; 4) (7; 5) = (4; 1); f^ ( P 0 P! 2 ) = f ( P 0 ) f (P ! 2 ) = f (P 2 ) f (P 0 ) = (8; 8) (7; 5) = (1; 3):
Por tanto,
MR (^0) R(f ) =
A
Como nosotros queremos calcular MRR(f ), vamos a hacer un cambio de refer- encia de R^0 a R:
MRR(f ) = MR^0 R(f )MRR^0 = MR^0 R(f )(MR^0 R) ^1
A
A
1
A
Por tanto, f (x 1 ; x 2 ) = (2 + x 1 + 4x 2 ; 3 + 3x 1 x 2 ).
MAPLE
restart: >with(linalg): P0:=[1,1]; P1:=[1,2]; P2:=[2,1]; Q0:=[7,5]; Q1:=[11,4]; Q2:=[8,8]; M[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0>, concat(P0,P1-P0,P2-P0)); det(M[RpR]); M[RRp]:=inverse(M[RpR]); Mf[RpR]:=stackmatrix(<1,0,0>, concat(Q0,Q1-Q0,Q2-Q0)); Mf[RR]:=evalm(Mf[RpR]&M[RRp]); X:=matrix(3,1,[1,x,y]); evalm(Mf[RR]&X); Comprobar que el resultado obtenido es correcto (Pista: evaluar la expresiÛn de f obtenida en los puntos dados en el enunciado).
Ejemplo 4 Determinar la aplicaciÛn afÌn f : A 3 ! A 3 que tansforma los puntos P 0 (0; 0 ; 0), P 1 (0; 1 ; 0), P 2 (1; 1 ; 1) y P 3 (1; 1 ; 4) en los puntos Q 0 (2; 0 ; 2), Q 1 (2; 1 ; 1), Q 2 (2; 1 ; 3) y Q 3 (5; 7 ; 6) respectivamente.
SoluciÛn Para dar una aplicaciÛn afÌn f : A 3 ! A 3 necesitamos cuatro puntos que sean referencia afÌn y sus transformados.
