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Matemáticas I Noviembre 2011 Grupo 01
1.-Hallar los valores de a para los que es continua en todo punto la función definida
por
2 2 2 2 4
x a , si x f x
a x , si x
−^ ≤
−^ +^ >
¿Es también derivable la función en todos los puntos, cuando es continua en ?
2.-Hallar el dominio de definición de las funciones
3 x
f x = ln e ( )
(^3 3) x^2 g x x e
− = +
Calcular f´ ( ) 1 y g´( 0 )
3.-Estudiar la función:
2
2
x y x
¿Cuál es su dominio de definición? ¿en qué intervalos es continua? ¿Por qué?
Calcular los l´mites en los extremos de los intervalos de continuidad,
¿En qué intervalos es derivable? Hallar la función derivada.
Escribir la ecuación de la recta tangente en el punto de la gráfica que corresponde a
x = 0
4.-Seguimos con la misma función:
Escribir los intervalos en que es creciente. ¿Dónde es decreciente?
Hallar puntos de máximo y de mínimo locales y globales.
Encontrar los intervalos de convexidady concavidad. ¿Hay puntos de inflexión?
Hacer un esquema de la gráfica indicando los puntos extremos y de inflexión, en su
caso.
Matemáticas I Noviembre 2011 Grupo 02
1.-Hallar los valores de a para los que es continua en todo punto la función definida
por
2
3
x , si x a f x x , si x a
−^ >
¿Es también derivable la función en todos los puntos, cuando es continua en ?
2.-Hallar el dominio de definición de las funciones
x ln x^2
f x = e ( )
5 3 x g x x e
− = +
Calcular f´^ ( )^1 y g´( 0 )
3.-Estudiar la función:
2
2
1
x y x
−
¿Cuál es su dominio de definición? ¿en qué intervalos es continua? ¿Por qué?
Calcular los l´mites en los extremos de los intervalos de continuidad,
¿En qué intervalos es derivable? Hallar la función derivada.
Escribir la ecuación de la recta tangente en el punto de la gráfica que corresponde a
x = 0
4.-Seguimos con la misma función:
Escribir los intervalos en que es creciente. ¿Dónde es decreciente?
Hallar puntos de máximo y de mínimo locales y globales.
Encontrar los intervalos de convexidady concavidad. ¿Hay puntos de inflexión?
Hacer un esquema de la gráfica indicando los puntos extremos y de inflexión, en su
caso.
Matemáticas I
Prueba de evaluación 3/11/
1. (5 puntos) Probar, aplicando el Teorema de Bolzano, que la ecuación
tiene al menos una solución en el intervalo
7 5 3
7 x − 5 x + 3 x − 1 = 0 ( −1,1^ ).
2. i)(7 puntos) Hallar el dominio de definición y calcular las derivadas de las siguientes
funciones:
- (^) ( ( )
2 f ( ) x = cos ln x (^) ) 2)
3
3
x e f x x
ii) (3 puntos) Aplicando la derivación logarítmica calcular la derivada de
3 ( ) x f x = x
3. (5 puntos) Hallar los intervalos de concavidad y convexidad de ( )
4 2 f x = x − 6 x + 8 x + 1
y los puntos de inflexión si los hay.
4. (10 puntos) Estudiar la función 2
x f x x
Hallar el dominio de definición. ¿Es continua? ¿Es derivable?
Hallar los límites cuando x → ∞ y cuando x → −∞
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los puntos de máximo y mínimo
locales (si los hay).
¿Tiene f extremos globales?
Representarla gráficamente.
Matemáticas I
Prueba de evaluación 4/11/
1. Sea
2 f ( ) x = x − 1
i) (4 puntos) Hallar el dominio de definición de f ( ) x y calcular la derivada de f ( ) x en
x = 2.
ii) (3 puntos) ¿Es el punto 2 un máximo o mínimo local de f en el intervalo (^) [? ¿Por
qué?
1, 2 ]
iii) (3 puntos) Hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función f ( ) x en el
punto x = 2.
2. i)(7 puntos) Hallar el dominio de definición y calcular las derivadas de las siguientes
funciones:
3 f ( ) x = cos (2 x − 1)
3 ln 2( ) ( ) 3
x f x =
ii) (3 puntos) Aplicando la derivación logarítmica calcular la derivada de
2 3
2
x f x x
3. (10 puntos) Estudiar la función ( )
2
x f x x 0
Hallar el dominio. ¿es continua? ¿ es derivable?
Hallar los límites cuando x → ∞ y cuando x → −∞
Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los puntos de máximo y
mínimo locales (si los hay).
¿Tiene f extremos globales?
Representarla gráficamente.
