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Matemáticas para las Biociencias. Curso 2019-
Fernando Castañeda.
1. Resumen 1
1.1. Los conjuntos N y Z
El conjunto de los números naturales N es:
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , · · · }
se puede construir a partir de los axiomas de Peano. En este conjunto tiene especial relevancia el denominado principio de inducción matemática, que dice: Sea A un subconjunto de N tal que: i) 1 ∈ A. ii) Si n ∈ A, se cumple que n + 1 ∈ A. Entonces A = N. El principio de inducción tiene muchas aplicaciones dentro de las matemáticas.
1.1.1. Ejemplo
La suma de los números impares satisface:
1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 3) + (2n − 1) = n^2 (1)
El conjunto de los números enteros Z está formado por los números naturales, el cero y los negativos; es decir, el conjunto es:
Z = { 0 , 1 , − 1 , 2 , − 2 , 3 , − 3 , · · · }
1.2. Los números racionales. Las fracciones. Q
El conjunto de los números racionales está formado por las fracciones; es decir, un número x pertenece al conjunto Q si es el cociente x = p/q de dos números enteros; p es el numerador, q es el denominador y q 6 = 0.
Teorema 1 No existe ningún número racional cuyo cuadrado sea igual a 2. En otras palabras, la ecuación x^2 = 2 no tiene solución en Q. Demostración Sea x = p/q escrito en forma irreducible, es decir, p y q son primos entre si. Si suponemos que su cuadrado es igual a 2 , resulta que p^2 = 2q^2 , luego p^2 es par y, por lo tanto, también lo es p (el cuadrado de un número impar es impar). Podemos escribir p = 2k, luego (2k)^2 = 4k^2 = 2q^2 , es decir, 2 k^2 = q^2 y, de nuevo, q^2 es par, con lo que también lo es q, en contra de la hipótesis de que p y q eran primos entre si. En definitiva, (p/q)^2 no puede ser igual a 2.
1.2.1. Expansión decimal de una fracción
Los números racionales se pueden escribir mediante una expansión decimal; es de- cir, como un número entero seguido de una coma y de cifras (números entre 0 y 9 ) decimales. Por ejemplo, el número 3 / 8 es igual a 0 , 375. El número 100 / 7 es igual a 14 , 287514287514... Todo número racional se puede expresar mediante una expan- sión decimal últimamente periódica (es decir, es periódica a partir de una cifra deci- mal). El ejemplo anterior se escribe 14 , 287514. Otro ejemplo es 7 , 01269. La primera se dice periódica pura, el periodo comienza inmediatamente después de la coma; la segunda se dice periódica mixta. Como caso particular, la expansión puede ser finita. Recíprocamente, cualquier expansión decimal últimamente periódica corresponde a un número racional.
1.2.2. Ejercicio
Encontrar el número racional representado por la expansión decimal últimamente periódica 3 , 65.
1.2.3. Nota
La expansión 0 , 9 corresponde al número 1. Y, en general, si an 6 = 9, la expansión 0 , a 1 a 2... an 9 corresponde a 0 , a 1 a 2... (an + 1)0. Por ejemplo, la expansión decimal 0 , 349 = 0, 349999... corresponde al número 0 , 35.
1.2.4. El binomio de Newton
El factorial de un número natural n, que escribimos n!, es el producto de todos los números naturales menores o iguales que n; es decir, n! = n · (n − 1) · · · 3 · 2 · 1. Convenimos en que 0! = 1. Se llama número combinatorio n sobre r a:
( n r
n! (n − r)! · r!
Los números combinatorios satisfacen las siguientes propiedades:
a)
n r
n n − r
b)
n + 1 r
n r − 1
n r
El conocido triángulo de Tartaglia (también denominado de Pascal) recoge éstas y otras propiedades de los números combinatorios.
Dado que 0 < t < 1 se puede escribir t = 1/(1 + α), siendo α > 0. Entonces, usando el desarrollo del binomio (1 + α)n^ del denominador, tenemos que:
tn^ =
(1 + α)n^
1 + nα + · · · (términos positivos)
nα
y el último término es pequeño cuando n es grande.
1.2.7. Nota
En el lenguaje de límites de sucesiones, el resultado anterior significa que, si 0 < t < 1 , la sucesión tn^ converge a 0 (tiene límite igual a 0 ), cuando n tiende hacia infinito. Escrito simbólicamente:
l´ım n→∞ tn^ = 0 , si 0 < t < 1.
1.2.8. Ejercicio
Demostrar que n^5 / 2 n^ es pequeño cuando n es grande.
1.3. Los números reales. R
A partir del conjunto de los números racionales se construye (se pueden utilizar diversos procedimientos: cortaduras de Dedekind, sucesiones de Cauchy, intervalos encajados) el conjunto R de los números reales. Como hemos visto (Teorema 1) el número
2 no es racional; es un primer ejemplo de número real no racional. Nos en- contraremos con otros bien conocidos, como π, e, ... En el conjunto de los números reales consideraremos algunos conjuntos importan- tes. Llamamos intervalo abierto de extremos a y b, lo representamos (a, b), al conjunto de todos los números reales comprendidos estrictamente entre a y b. Es decir
(a, b) = {x ∈ R|a < x < b}
De la misma forma hablamos de intervalo cerrado [a, b] = {x ∈ R|a ≤ x ≤ b}, o de intervalos semi-abiertos (semi-cerrados), (a, b] = {x ∈ R|a < x ≤ b}. Considerare- mos igualmente intervalos no acotados como, por ejemplo, (−∞, b] = {x ∈ R|x ≤ b} o el intervalo (a, ∞) = {x ∈ R|a < x}, que también se denominan semi-rectas. Todo R también es un intervalo: R = (−∞, +∞).
1.4. Notación exponencial
Cuando trabajamos con números muy grandes o muy pequeños utilizamos la nota- ción exponencial para representarlos y operar con ellos. Ejemplos de números muy grandes o muy pequeños pueden ser: el diámetro del sol es aproximadamente de 1.400.000 Km. y lo escribimos 1 , 4 · 106 km. En 1 centí- metro cúbico de la vacuna de la tosferina se inyectan unas 1.200.000.000 de bacterias; lo escribimos 1 , 2 · 109 bacterias. El tamaño medio del virus del resfriado común es
0 , 0000000022 metros, que escribimos 2 , 2 · 10 −^9 m. El peso de un estafilococo es 0 , 000000000010 gramos y lo escribimos 1 , 0 · 10 −^11 gr. En cuanto a las operaciones con números escritos de esta forma, para la multipli- cación (o división) es sencillo: se operan las mantisas y las potencias, recordando que para multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes. Por ejemplo,
(1, 84467 · 1019 ) · (1, 23 · 10 −^7 ) = (1, 84467 · 1 , 23) · (10^19 · 10 −^7 ) = 2, 2689441 · 1012
Para las sumas (o restas) primero hay que escribir todos los números usando una misma potencia de 10, para luego operar:
1 , 84467021 · 1019 + 4, 5678 · 1012 = 18446702, 1 · 1012 + 4, 5678 · 1012 = 18446706 , 6678 · 1012 = 1, 84467066678 · 1019
Observemos que el resultado de la suma se parece al primer sumando dado que el segundo sumando es muy pequeño respecto del primero.
1.5. Desigualdades. Valor absoluto
Se define el valor absoluto de un número x como:
|x| =
x , si x > 0 0 , si x = 0 −x , si x < 0
El valor absoluto tiene las siguientes propiedades:
|x + y| ≤ |x| + |y| , |x · y| = |x| · |y|
cualesquiera que sean los números x e y. Además de la desigualdad anterior, que se denomina desigualdad triangular, son notables las siguientes: | 2 xy| ≤ x^2 + y^2
√ xy ≤
x + y 2 En realidad se trata de la misma desigualdad. En el primer caso está escrita en términos de producto escalar, norma y distancia (geometría) y en el segundo relacionamos la denominadas medias geométrica y aritmética de dos números.
1.5.1. Ejercicio
Sean a, b ∈ R y r > 0 , entonces se cumple: i) |a| ≤ r si y sólo si − r ≤ a ≤ r. ii) |a − b| < r si y sólo si a ∈ (b − r, b + r). iii) ||a| − |b|| ≤ |a − b|.
inflexión inflexión
inflexión
mínimo
máximo
inflexión
mínimo
máximo
Figura 2: Todas las cúbicas
Las dos de la izquierda correspon- den a cúbicas con coeficiente del término principal x^3 positivo y las de la derecha con a < 0. Las dos de arriba son cúbicas sin extremos, es decir, su derivada prime- ra no se anula (o, el caso excepcional, tie- ne una solución doble, que será también solución de la derivada segunda y será el punto de inflexión). Las dos de abajo co- rresponden a cúbicas con extremos, en concreto con un máximo y un mínimo. Observemos que el dibujo final quedará completo cuando coloquemos los ejes, es decir, cuando fijemos las escalas. Dado que podemos determinar sin ningún pro- blema las coordenadas de los puntos de inflexión y, cuando los haya, de los extre- mos, podemos completar perfectamente el dibujo. Un problema que se presenta muchas veces en este tipo de representacio- nes, el corte de la gráfica con el eje horizontal, es decir, las soluciones de la ecuación ax^3 + bx^2 + cx + d = 0, que, en algunos casos (cuando no podamos usar Rufini), lo resolvemos indirectamente de esta forma (más adelante veremos, por ejemplo, el mé- todo de Newton). No podemos calcular las raíces exactas, pero sí podemos situar cada una de ellas (las que existan) en un intervalo.
1.6.1. Ejemplo
Hacer la representación gráfica de y = x^3 − 3 x − 3.
1.7. Funciones radicales
Consideramos en este apartado las funciones f (x) =
g(x), siendo g(x) una fun- ción polinómica. Al final mencionaremos brevemente otras funciones radicales: raíces cúbicas, cuartas o de otro orden.
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Figura 3: Raíz cuadrada
La función radical más sencilla es y =
x, que está definida en la semi-recta [0, +∞) y que es simétrica, respecto de la diagonal principal de la función polinómica y = x^2. En la Figura 3 podemos ver sus características principales. Cre- ciente, cóncava, pasa por el punto (1, 1) y tiende a +∞ cuando x → +∞. Las funciones radica- les y =
g(x) son compuestas de t = g(x) e y =
t, por lo tanto, las gráficas de estas funcio- nes nos dan la información necesaria para hacer su representación gráfica. En este caso es funda- mental determinar el conjunto de puntos donde el
radicando g(x) ≥ 0 , que es el dominio de la fun- ción. Las propiedades de simetría o de crecimiento de la función g se mantendrán en el dibujo final. En la Figura 4 podemos ver una parábola (la parte en la que es positiva) y su raíz cuadrada. Es interesante observar que se mantiene la simetría y el crecimiento (decre- cimiento). También vemos que cambia la concavidad. Esto se debe, en este caso, al cambio de signo de la derivada segunda de y =
g(x) con respecto al signo de la derivada segunda de y = g(x). Estas cuestiones habrá que estudiarlas en cada caso.
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Figura 4: Una parábola y su raíz cuadrada
Otra cuestión interesante que pone de mani- fiesto el dibujo es que para los valores de x en los cuales g(x) ≥ 1 se tiene que
g(x) ≤ g(x), pero, si g(x) ≤ 1 entonces la desigualdad se in- vierte, es decir,
g(x) ≥ g(x). La raíz cuadrada de un número menor que 1 es mayor que dicho número. También nos plantearemos la representación gráfica de funciones radicales con raíces de orden 3 o superior. Utilizaremos este mismo método, es decir, por un lado haremos la representación del radicando g(x) y por otro la raíz, para después hacer la composición.
1.7.1. Ejercicio
Hacer la representación gráfica de y = n
x, para distintos valores de n. Comprobar que para números 0 < a < 1 , se verifica que a <
a < 3
a <....
1.8. Funciones racionales
Las funciones racionales son las funciones cocientes de dos funciones polinómicas. La más sencilla de ellas es la función de proporcionalidad inversa y = 1/x. Lo más importante para hacer la representación gráfica de estas funciones es encajar bien las diferentes asíntotas, que todas ellas presentan.
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Figura 5: Una función racional
Por ejemplo, la gráfica de la función y = x/(x − 1) se obtiene a partir de la de proporcio- nalidad inversa. Teniendo en cuenta que
y = x x − 1
x − 1
resulta que a partir de la gráfica de y = 1/x pa- samos a la de y = 1/(x − 1) simplemente trasla- dando el eje vertical una unidad hacia la derecha (pasamos de x a x − 1 ). A continuación tenemos que sumar una unidad (de 1 /(x − 1) pasamos a 1 + 1/(x − 1)) y para ello basta otra traslación, ahora vertical; bajamos el eje de las x una unidad,
coinciden (valen 1 ) en x = 0 y, si x < 0 , las desigualdades son las contrarias, esto es, cx^ < bx^ < ax. En cuanto a las funciones logarítmicas y = loga x, inversas de las exponenciales, sus principales propiedades son: sólo están definidas en la semi-recta x > 0 , si la base a > 1 son crecientes (y si la base es menor que 1 son decrecientes), tiene una asíntota vertical en x = 0, por la derecha, siendo el límite −∞ si a > 1 (+∞ cuando la base es menor que 1 ).
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Figura 7: Funciones logarítmicas
Cuando x tiende a +∞ la función logarítmo tiende a +∞ si la base a es mayor que 1 y a −∞ cuando la base es menor que 1. El logarítmo de base el número e lo escribi- mos log x (en algunos casos, también se utiliza la notación ln x) y se denomina logarítmo nepe- riano. En la Figura 7 la función creciente es la gráfica de y = log x. Observemos la simetría con respecto a la diagonal principal, y = x, de las grá- ficas de las funciones y = ex^ e y = log x, pues cada una de ellas es la función inversa de la otra. Lo mismo ocurre con las funciones exponenciales y logarítmicas en cualquier otra base.
1.10. Funciones trigonométricas
Las funciones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente y sus inversas tienen entre sus características principales la de ser periódicas y presentar muchas si- metrías. Las funciones y = sin x e y = cos x son 2 π-periódicas, están acotadas en valor absoluto por 1. La derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es igual a menos el seno: (sin x)′^ = cos x y (cos x)′^ = − sin x. Se cumple la relación fundamen- tal sin^2 x + cos^2 x = 1 y también serán útiles otras relaciones, como las del seno y el coseno del ángulo doble: sin (2x) = 2 sin x cos x y cos (2x) = cos^2 x − sin^2 x.
Π 2 Π 3 2 Π 2 Π
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Figura 8: Funciones seno y coseno
Para hacer su representación gráfica comen- zamos por los valores de estas funciones en los puntos: 0 , π/ 2 , π, 3 π/ 2 y 2 π. Todos estos datos quedan reflejados en las gráficas que vemos en la Figura 8. Observemos las simetrías, la relación entre ambas gráficas: sin x = cos (x − (π/2)), luego cada gráfica es la trasladada, en sentido ho- rizontal, de la otra una cantidad igual a π/ 2. En fin, los extemos (máximos o mínimos) de cada una coinciden, claro, con los puntos en los que se anula la otra. En cuanto a los intervalos de concavidad y los puntos de inflexión se determi- nan al estudiar el signo de la derivada segunda que, por ejemplo, para la función y = sin x es y′′^ = − sin x, y para el coseno, y = cos x es
y′′^ = − cos x; por lo tanto, como vemos en el propio dibujo es fácil obtener los distin- tos intervalos de concavidad, así como los puntos de inflexión.
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Figura 9: La tangente
En cuanto a la función y = tan x teniendo en cuenta que es el cociente de las funciones seno y coseno, a partir de las gráficas de éstas podemos disponer de la información necesaria para obte- ner su gráfica. En la Figura 9 podemos ver las propiedades fundamentales de esta función que al ser π-periódica hemos dibujado en el interva- lo (−π/ 2 , π/2) de longitud π: es antisimétrica (tan(−x) = − tan x); es creciente, ya que su de- rivada es y′^ = 1 + tan^2 x, luego siempre posi- tiva; tiene muchas asíntotas verticales (las rectas x = −π/ 2 , x = π/ 2 , x = 3π/ 2 , ...). Su derivada segunda es y′′^ = 2 tan x(1 + tan^2 x), por lo tanto tiene el mismo signo que la propia función tan x, así pues, es cóncava en (−π/ 2 , 0] y convexa en [0, π/2) y tiene un punto de inflexión en x = 0 (por lo tanto, también en x = π, −π, 2 π, ...).
1.10.1. Ejemplo
En este ejemplo vamos a ver cómo son las gráficas de las funciones y = sin (x + 2), y = cos (x/2), y = 3 − cos x e y = 2 sin x.
1.10.2. Ejercicio
Hacer la representación gráfica de la función y = sin^2 x.
