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Resumen —El presente trabajo aborda el análisis y la resolución de problemas de cálculo diferencial, con un enfoque en la resolución de gráficas y las figuras de las cónicas. A lo largo de este estudio, se emplearán técnicas analíticas, numéricas y descriptivas para determinar los valores de los ejercicios planteados y a su vez de su forma gráfica mediante la implementación de aplicaciones de grafica como GeoGebra. Se inicia con una explicación de las fórmulas aplicadas dentro del trabajo planteado, tales como formulas generales, formulas específicas para encontrar cada figura, etc. Además, se presentan ejemplos que permitirán al lector saber cual fue el resultado de el ejercicio planteado de manera grafica y no solo teórica. EMarco teórico L siguiente marco teórico tendrá el objetivo de proveer al lector las fórmulas que fueron usadas dentro del documento las cuales variaran dependiendo de el ejercicio planteado La fórmula general de las cónicas se representa de la forma:
A x
2
+ C y
2
+ Bxy + Ey + f = 0 (1)
donde A, B, C, D, E, F son coeficientes que determinan la naturaleza de la cónica. Dependiendo de los valores de estos coeficientes, la ecuación puede representar una elipse, una hipérbola, una parábola o línea recta. La formula de distancia entre 2 puntos se calcula de la forma: √(^ x^2 −^ x^1 ) 2
+( y 2 − y 1 )
(^2) (2) Donde la formula es aplicada para determinar la distancia entre 2 puntos de una recta permitiéndonos usarlas para un ejercicio diferente La formula para encontrar la pendiente de una recta es
m =
y 2 − y 1
x 2 − x 1
Donde los valores de X y se darán por los puntos que pasará la recta y esto permitirá observar la inclinación de la recta *Trabajos Estudiantiles. Calculo Diferencial La formula para encontrar el punto medio
m =
x 2 + x 1
y 2 + y 1
(4) Donde los puntos X y serán de los puntos por los que pase la recta y el resultado será un punto medio entre los 2 puntos planteados La formula para encontrar el área de un triangulo A = BxH 2 (5) Donde B es base del triángulo, H la altura y 2 será el numero divisible para encontrar el área La formula para encontrarla distancia de un punto a una recta es: d =¿ A (^) ( x (^1) ) + B (^) ( y (^1) ) + C √^ A^ 2
Donde la formula anterior satisface la distancia entre dos puntos los cuales permitirán sacar la distancia entre A, B usando la ecuación principal La ecuación de la circunferencia:
( x − h )
2
+( y − k )
2
= r
(^2) (7) Donde k y h serán los lugares donde se moverá el centro de la circunferencia en el planto y r es el radio que tendrá la circunferencia Le ecuación normal u ordinaria de la recta es: y = mx + b (8) donde y es el valor de la variable dependiente en el eje vertical y x es el valor de la variable independiente en el eje horizontal. La pendiente m indica cómo cambia y en relación con x. 1) Ejercicio 1 Calculo Diferencial Circunferencias, Elipse, Hipérbola , Parábolas y rectas J. W. Autor, Senior Member, IEEE , y L. L. Autor, Fellow, IEEE Filiación Completa(Universidad Politécnica Salesiana , email)
Para el triángulo que pasa por los puntos (-1,0); ( 2 ,
); (5,0) determine los siguientes puntos: a) su perímetro y área 2) EJERCICIO 2 Grafique y encuentre todos los elementos de:
4 x
2
− y
2
− 4 y − 40 = 0
( x −
2
+ 4 ( y − 1 )
2 = 4 Ocupando la formula (1) identificaremos de que se trata los elementos de la primera gráfica, ahora identificada la posible grafica realizaremos agrupación de términos
4 x
2 −( y 2
4 x
2 −( ( y + 2 ) 2 − 4 )= 40
4 x
2
−( y + 2 )
2 = 36 Ahora dividiremos los 2 lados para despejar el derecho a 1 4 x 2 36
( y + 2 )
2 36
Despejamos x 2 9
( y + 2 )
2 36
Figura 2. Grafica del ejercicio numero 2 donde la grafica Es una hipérbole C (0,-2) Semieje mayor = 6 Semieje menor = 3 Vértices (0,4) (0,-8) Focos = 6, Foco (0,4.11) y (0, -8,71) Asíntota
y + 2 = × +¿
× ¿
y =− 2 +¿
x ¿
Ahora identificamos gracias a la formula (1) la segunda ecuación Observamos la grafica y despejamos el numeral 4 dividendo el otro lado con 4 quedándonos
( x −
2 4
1 ( y − 1 )
2 1
Ahora observamos que se trata de una Elipse, graficaremos y encontraremos sus elementos Figura 3. Grafica del ejercicio numero 2 donde la grafica Es una elipse 3) EJERCICIO 3 Encuentre la ecuación general de la circunferencia que tiene centro (-4,-1) y que es tangente a la recta 3x+4y-12=0.Grafique y compruebe el resultado Para encontrar la distancia entre los 2 puntos tendremos que aplicar la formula de la distancia de un punto a una recta (6) donde los valores de A y B serán A= 3 B= C= - Quedándonos
d =¿
√^3 2
Ahora resolveremos el ejercicio y nos quedara
Figura 6. Grafica del ejercicio numero 5 donde la grafica Es una circunferencia Figura 1- Graficamos la circunferencia y trazamos el punto. 2-) Usamos la siguiente formula (1) y utilizamos la siguiente fórmula para sacar el centro.
r
√ D 2
+ E
2 − 39 2
( 3 ) , centro (
− D
− E
) (4) y Aplicamos la resolución del sistema. D = - E = - Hacemos la regla de signos y sacamos el centro:
C =
(
2 )
3-) Utilizamos La fórmula (3) entre los siguientes valores (4,5), (1,1)
m =
m =
4-) Ahora con el resultado de (m) invertimos signos y valores. Y usamos la formula (8)
m = 1
Ahora multiplicamos el 4 x 1 dándonos un valor de:
3 m = 4
Una vez hay 3 está multiplicando y dividimos
, dándonos la pendiente: m =
( Pendiente ) 5-) Ahora como
satisface a (4,5) remplazamos en la ecuación (8) y realizamos.
y =
x + b
( 4 )+ b
Multiplicamos todo por 3 para eliminar el 3 de la fracción:
15 = 16 + 3 b
-1= 3 x b − 1 3 = b (5) Multiplicamos todo por 3 en el resultado de (5).
3. y =
x +
3 y = 4 x − 1
Este sería el resultado de la ecuación de la recta. Figura 7. Grafica del ejercicio numero 5 donde la grafica Es una circunferencia 6) EJERCICIO 6 Grafique el lugar geométrico y todos los elementos de
9 x
2
+ 24 x + 72 y + 16 = 0
De igual manera que con los otros ejemplos, ocuparemos la ecuación (1) para poder identificar de que se trata, identificamos que se trata de una parábola. De la ecuación dada buscaremos si podemos completar trinomios quedándonos de la siguiente manera
9 ( x
2
8 x
)+ 72 y + 16 = 0
(^9) ( x 2
8 x
9 )
+ 72 y =− 16
Ahora el lado que completamos en el trinomio tendremos que igualarlo para el lado opuesto respetando las divisiones quedándonos
(^9) ( x 2
8 x
9 )
+ 72 y =− 16 + 16
(^9) ( x 2
8 x
9 )
+ 72 y = 0
Para finalizar despejaremos al otro lado los términos con Y y despejaremos el cuadrado del trinomio 9 (
x
2 8 x
9 )
=+ 72 y
(
x +
3 ) 2
=+ 72 y
(
x +
3 ) 2
=+ 8 y
Graficaremos y encontraremos sus elementos Figura 8. Grafica del ejercicio numero 6 donde la grafica Es una circunferencia X
x 1 + x 2
y
y 1 + y 2
Datos: x1 =
x
Datos: y1 =
y
Aplicar la formula: x =
=
=
= 4 y =
=
=
= 3. RESULTADOS X = 4 Y = 3. EJERCICIO 3 (-8,2) m= y−y1=m(x−x1) sustituimos y−2=1(x−(−8)) y−2=x+ forma general y−x−2−8=0 −x+y−10= -x + y - 10 = 0−x+y−10= Intersección con el eje x (y=0) −x+0−10= −x= EJERCICIOS (CUADERNO)
- (6,2) (-5,7)
Grafica: Caso 3 punto pendiente Sustituimos: y−0=1(x−(−8)) y=1(x+8) simplificar la ecuación: y=x+ los puntos son : (3,1) m =
Y =
x (-5,7) , (6,2) Y =
x +
(-8,0) m = 1 Y = x + 8 Grafica: EJERCICIO 6 9x2 +16y2 = 144
x 2
y 2
= 1 Grafica:
Ejercicio 8 (x-6)^2 + 25 (^) ( y + 2 )^2 = 25
( x − 6 ) 2
( y + 2 ) 2
Una vez tenemos la ecuación de la elipse tenemos los siguientes datos. A = √25 = 5 B = √1 = 1 Grafica: Ejercicio 7 16x2 + 16y2 = 328.
16 x 2
y 2
x 2
y 2
= 1 Grafica: Ejercicio 9
Y = 4 px 2 y = 8 x 2
4p = 1 P =
4p = 8 P =
P = 2 1 8
y = x 2
4p =
p =
Grafica: Ejercicio 10
8y = x 2
4p = 8 8 (4 - 4) – (x – 4) P = 2 Lr = 8 8 (6 – 4) Grafica:
Ejercicio 14 X + 2y -5 = Y = -
x +
Y =
(0) +
= 2. X + 2(2) -5 = X +4 -5 = X+ 1 =
X = 1 ( x − 1 )^2 +( y − 2 )^2
√1 + 4= Grafico: Ejercicio 15 Pasa por ( -7, -3) Y es 3x - y – 1 = 0 M =
3(−7) −(−3) −1= −21+3−1= −19≠ GRAFICA: Grafica: Ejercicio Expresar el volumen de la caja en función de x A= 20-2x B=12-2x C=x Volumen será
V= a ∙ b ∙ c
V= ( 240 − 40 x − 24 x + 4 x 2 )
V= 4 x 3 ∙ 64 x 2 + 240 x
El dominio que tiene
0 < x < 6
Una persona cuenta con 100m de malla y busca cercar un terreno ¿Cuáles son las dimensiones del terreno rectangular para q la maya cierre con la mayor área posible?
A= x ∙ y
A=x(-x+50)
A=− x 2 + 50 x
A´=-2x+ X= P=2x+2y 100=2x+2y 2y=-2x+ Y=-x+ Buscamos un numero que se acerque a x por la derecha e izquierda X1=24, X2=25,
Máximo local (^) ¿
Area máxima=625 m 2
Ejercicio
X = sen ( t
2
dx
dt
=cos ( t
2
+ 1 )( 2 t )
Ejercicio X=In(x) Derivamos respecto a t dx dt
t ∙ dx dt Ejercicio
Y =− 3 x
2
dy
dt
=− 6 x ∙
dy
dt
Ejercicio
x
2
+ xy − y
2 Derivamos respecto a x
2 x +
x ∗ dy
dx
+ y − 2
y ∗ dy
dx
dy
dx
− 2 x + y
( x − 2 y )
Ejercicio Encuentra las relaciones entre dx dt
dy
dt
x
2
+ y
2 = 25 Derivamos respecto a t 2
x ∗ dx
dt
y ∗ dy
dt
Encuentre la relación con V Tratamos
dx
dt
dy
dt
como Vx y Vy Vy=
− 2 x
2 y
Vx
Vy==
− x
y
Vx
Ejercicio F(x)=√ x ( (^4) x 2 − 7 ) F´(x)=√ x ( 8 x ) + 4 x 2 − 7 (
(^2) √ x )
F´(x)= 8 x
2
3 + 2 x
2 (^3) − 7 (^2) √ x
F´(x)=10 x
2 (^3) − 7 (^2) √ x Ejercicio
Y= ℮^ x^ ∙ senx
Y´= ℮^ x^ ∙ senx + ℮^ x^ ∙ cosx
Y´= ℮^ x^ ∙ ( senx + cosx )
Ejercicio Y=
Inx
x
Y´= 1 − Inx x 2 Ejercicio Se requiere construir envases cilíndricos de un litro de capacidad encuentre las dimensiones que hagan que el costo de la materia sea mínimo
v = πr
2
∙ h
h =
v
π r
2
a= 2 πr 2 + 2 πrh
c=( (^2) πr 2 + 2 πrh ) (^) 0.
c= πr 2 + πrh
c=^ πr^ 2
r
c= 2 π (− 1000 )−^2 + 2 π 1000 −^1 ( 2 πr )
c´=3141. Ejercicio
Ejercicio 19 y =√ x Dominio
x / x ≥ 0
lim x → 0 +¿^ ( (^) √ x )¿
Hay asíntota vertical Se determina la asíntota cuando dentro de un limite que tienda a 0 la función valla hacia el infinito lim x → ∞ ( (^) √ x )=∞ No hay asíntota vertical Se determina la asíntota cuando dentro de un limite que tienda al infinito la función valla hacia cero Ejercicio 20 Y=√ x 2 + 1 − x Dominio
x / x ≥ − 1
Para sacar los limites usamos unos pasos dados en clases Multiplicamos por lo mismo y dividimos para sí mismo ( (^) √ x 2
+ 1 − x )
2 √^ x^ 2
+ 1 − x
= lim x → ∞
√^ x^ 2
+ 1 − x
Hay asíntota vertical lim x → 0
√^ x^ 2
+ 1 − x
Ejercicio 21
Y¿ tan x
Y=
sin x
cos x
Dominio
x
x
≠ nπ +
± Z
Asintota Vertical lim x → π 2
tanx
No tiene asíntota horizontal No tiene hasintota ya que varia entre – infinito y mas infinito Ejercicio 22
y =
√^ x^ −^ x Dominio
x / xϵ R ; x > 0 ; x ≠ 1
Asintota vertical lim x → 0 ( (^) √ x )= Asintota horizontal lim x → 1 ( (^) √ x )= Ejercicio 23
y =
√^2 x^ 2
3 x − 5
Dominio x / x ∈ R ≠
Asintota Vertical lim x → 0
√^2 x^ 2
3 x − 5
Asintota horizontal lim x → ∞
√^2 x^ 2
3 x − 5
)=^
√^2 3 Llegan las derivadas y cortes y puntos críticos Ejercicio 24
Y= 2 x 2 − 3 x + 7
Dominio
x / x ∈ R
Asintota Vertical lim x → 0
( 2 x
2
− 3 x + 7 )=
Asintota horizontal lim x → ∞
( 2 x
2
− 3 x + 7 = ∞
Cortes con los ejes x y Para x y=
0= 2 x 2 − 3 x + 7
0= x ( 2 x − 3 ) + 7
0= 2 x + 4
X=- Para y x= Y= Puntos críticos
dx
dy
= 4 x − 3
Igualar a 0 (^0) ¿ 4 x − 3 X=
Ejercicio 25 Y=
3 x
2
− x − 2
5 x
2
+ 4 x − 1
Cortes con los ejes x y y Cuando x y=
0= 3 x 2 − x − 2
0=x(3x-1)- 0=3x-1- X= Cuando y x= Y= Dominio No existe dominio ya que no hay numero real que haga que haya alguna indeterminación Puntos críticos F´(x)= F´(x)= ( 5 x 2
- 4 x + 1 ) ( 6 x − 1 )−( 10 x + 4 ) ( 3 x 2 − x − 2 ) ( 5 x 2
- 4 x + 1 ) 2
F´(x)=17 x 2 + 26 x + 7
Igualar a 0
17 x 2 + 26 x + 7 =
Sacar la ecuación general − 26 ± (^) √ 6 − 4 ( 16 )( 26 ) 34 X1=-0. X2=-1. Nos acercamos a 2 valores cercanos X1=-0. -0.35= - -0.24= + -1.19=+ -1.18= - Encontramos la segunda derivada F´´(x)= 10 ( 17 x 3
- 39 x 2
- 21 x + 3 ( 5 x 2
- 4 x + 1 ) 3 Ejercicio 26 Y=
x
sin ( x )
Dominio x∈R∖{kπ∣k∈Z} Asíntotas No existen asíntotas verticales o horizontales debido a que seno tiene una oscilación entre 1 y - Ejercicio 27
Y= e cosx
Donde x=
Y= e cos^ π 4 Y= 2. M=
dy
dx
= e cosx^ x (− senx )
y − y 1 = m ( x − x 1 )
y −2.02=−1.43( x − π / 4 )
Y=-1.43x+3. Ejercicio 28 Encuentre cual es la velocidad de cambio del lado x en el triángulo oblicuángulo mostrado cuando theta es 45 y sabiendo que el ángulo theta cambia a razón de 5rads/s además, se sabe que los lados a y b permanecen constantes
a
2
= b
2
+ x
2
− 2 bxcosθ
0 = 02 x
dx
dt
( 2 b
dx
dt
cosθ − 2 bxsenθ
dθ
dt
0 = x x˙ − bcosθ x˙ + bxsenθ x˙
Ejercicio 29 A partir de la gráfica mostrada escriba la función que descrine el comportamiento del móvil y encuentre las funciones definidas S= {
3
0 ≤ t < 6
1086 ≤ t < 10
Grafico
Grafica
32. f(x) = ( x 5 - x 3 + 3) 4
F’(x) = 4 ( x 5 - x 3 + 3)^3 ( 5 x 4 + 3x^2 )
Grafica.
33. f(x) ( x 2 - 2)^2
F’(x) = 2 (x^2 – 2) (2x) F’(x) 4x (x^2 – 2) F’(x) =3x^2 + 2x - Grafica
- f(x) = (x^5 – x^3 + 3)^4 F(x) = 4 (x^5 – x^3 + 3)^3 (5x^4 – 3x^2 ) Grafica
- f ( x )=ln (^) ( ( x − 2 )^9 ) Reescribimos la function como
f ( x )= 9 ln ( x − 2 )
Entonces podemos derivar una expresión un poco más sencilla. Primero utilizamos la linealidad de la derivada (sacamos la constante)
f
'
( x )= 9
ⅆx
[ x − 2 ]
x − 2
La dervida de x – 2 es 1 por lo tanto tenemos
f ( x )
' = 9
x − 2
x − 2
Grafica.
35. logx = log a t =
ln x
ln 0 Derivamos la expression:
[ log a x^ ]=
ⅆx [
Lnx
ln a ]
ln a
ⅆx
[ Lnx ]=
ln a
y
x
Asi, la derivada del logaritmo base a es
ⅆx
[ log a x^ ]=^
x ln a
Asiendo la regla de la cadena, entonces la derivada es
ⅆx
[ log a u^ (^ x^ )]=
u '
x ln a
Grafica
- El área de un círculo está incrementando a una razón de (4π) cm^2 /s. Encuentra la razón de cambio del radio cuando este radio es
cm. Cuando derivamos a esta ecuación con respecto a r, tenemos
dA
dr
= 2 A = 2 π r ❑
Tenemos que la razón de cambio del área del círculo con respecto al tiempo, es decir.
dA
dt
es (4 π ) cm^2 /s.
Ahora, para encontrar la razón de cambio del radio con respecto al tiempo
dr
dt
=
dA
dr
dr
dA
Observamos que
dr
dA
Entonces, tenemos: dr dt
= 4 π x
2 π r
❑ La razón de cambio del radio del círculo es = 4cm/s. Grafico.
- El área de un cuadrado está incrementando a una razón de 7 cm^2 /s. Encuentra la razón de cambio de la longitud de un lado cuando el área es 100 cm^2. Debemos resolver para x = (^) √ A. cuando derivamos, tenemos
dx
dA
=
(^2) √ A En este caso, tenemos que la razón de cambio del área del cuadrado con respecto al tiempo, es decir, tenemos
dA
dt
es 7 cm^2 /s. Derivamos con respecto al tiempo, usando la regla de la cadena dx tA =
dA
dt
dx
dA
= 7 x
(^2) √ A
dx
dt
=
(^2) √ A
Cuando el área es 100 cm^2 , la razón de cambio de un lado del cuadrado es =
(^2) √ 100
cm/s. Grafico.
- El lado de una pieza cuadrada de metal incrementa a una razón de 0.1 cm por segundo cuando es calentada. ¿Cuál es la razón de cambio del área de la superficie cuadrada del metal? Si es que representamos a los lados de la pieza de metal con x, su área es A = x^2 Tenemos que la razón de cambio de la longitud de un lado con respecto al tiempo, es decir,
dx
dt
ees 0. cm/s Queremos encontrar la razón de cambio del área con respecto al tiempo usando regla de la cadena ,
dA
dt
= ,
dA
dx
,
dx
dt
= 2x x 0. ,
dA
dt
= 0.2x La razón de cambio del área es 0.2x cm^2 /s. Grafica:
- Hallar las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas en cada uno F(x) =
x
2
x − 2
Sospechamos si tiene asíntota horizontal, para saberlo, procedemos a realizarla.
Calculamos los límites cuando x tiende a ± ∞
lim x → ∞ x 2
