¡Descarga Ejercicios mates 2 y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matem`atiques 2. Curs 2013-2014/P
Grau en Enginyeria
Exercicis Algebra
- Considera F = {(x, y, z) ∈ R
3 |x − y + z = 0}.
(a) Calcula una base i la dimensi´o de F.
(b) ¿Pertany el vector u = (5, 3 , −2) a F? Justifica la teva resposta.
(c) Considera el subespai G = 〈(1, 1 , 1), (− 1 , 1 , 1)〉. Calcula una
base de F
G, intersecci´o de F i G.
- Considera el subconjunt generat per V = 〈(1, 2 , 1), (0, 5 , −2), (1, − 3 , 3)〉.
a) Calcula una base de V. Quina ´es la seva dimensi´o?
b) Sigui el vector u = (2, 9 , 0) expresat en base can`onica. Verifica
que pertany a V.
c) Quines s´on les components de u en la base que has definit en
l’apartat a)?
- Sigui l’endomorfisme f : R
3 → R
3 definit per
f (x, y, z) = (x, x + y, x + y + z)
a) Per qu`e es tracta d’un endomorfisme? Demostra-ho. Quina di-
mensi´o tindr`a la seva matriu associada, independentment de la
base escollida?
b) Calcula la matriu de f en base can`onica de R, tant de sortida
com d’arribada.
c) Calcula la matriu de f amb base can`onica de sortida i base
B = {(1, 0 , 0), (1, 0 , 1), (0, 1 , 1)} d’arribada.
d ) Calcula una base i dimensi´o del nucli.
- Sigui l’endomorfisme f : R
3 → R
3 definit per
f (x, y, z) = (x, x + y, x + y + z)
a) Calcula els seus valors propis (vaps).
b) Calcula els vectors propis (veps) associats a aquests vaps. For-
men base de R
3 ?
c) Defineix la matriu de f en la base de veps, tant de sortida com
d’arribada. Calcula la matriu P tal que Mf = P DP
− 1 , on D
´es la matriu diagonal.
SOLUCIONS
- (a) Cal buscar primer una base de generadors de F. Per aix`o, des-
composem un vector (x, y, z) de F usant que y = x + z:
(x, y, z) = (x, x + z, z) = x(1, 1 , 0) + z(0, 1 , 1)
Per tant, els vectors (1, 1 , 0) i (0, 1 , 1) generen F. I s´on linealment
independents, ja que el rang de la matriu que formen ´es 2:
∣ ∣ ∣ ∣
∣ = 1^6 = 0^.
Per tant, {(1, 1 , 0) , (0, 1 , 1)} formen base i la dimensi´o de F ´es 2.
(b) El vector u verifica la condici´o y = x + z i per tant pertany a F.
(c) Primer busquem quina (o quines) equaci´o verifica un vector (x, y, z)
per ser de G. Cal imposar que els dos generadors de G i (x, y, z) s´on
l.d.: (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
1 − 1 x
1 1 y
1 1 z
= − 2 y + 2z = 0 ⇒ y = z
Per tant, G = {(x, y, z)|y = z}. La intersecci´o verifica que
F
G = {(x, y, z) | y = x + z, y = z}
Simplifiquem les condicions de la intersecci´o i obtenim una base:
F
G = {(x, y, z) | x = 0, y = z} = 〈(0, 1 , 1)〉.
- (a) Cal verificar, entre els generadors de V , quin s´on l.i., i aix´ı n’obtindrem
una base. Per aix`o, calculem el rang de la matriu que formen:
∣ ∣ ∣ ∣
= 0 ⇒ rang ≥ 2
= 0 ⇒ rang = 2
Per tant, {(1, 2 , 1), (0, 5 , −2)} formen base de V i la dimensi´o ´es 2.
(b) Per veure si el vector u = (2, 9 , 0) pertany a V , cal verificar que
s´on l.d.: (^) ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣
