FONAMENTS MATEM `
ATICS DE L’ENGINYERIA 2
Curs 2003-2004
Mec`anica - Professora: Yolanda Vidal
Examen Final 8/1/2004
[1,0 punts] 1. Troba les corbes de nivell (C=-4,0,4) de la superf´ıcie:
y2−x2=z
[1,5 punts] 2. Estudia la continu¨ıtat, exist`encia de derivades parcials i diferenciabi-
litat a l’origen de la funci´o:
f(x, y) =
xy2
x2+y4si (x, y)6= (0,0)
0 si (x, y) = (0,0)
[1,5 punts] 3. Es descriu la sup erf´ıcie d’una muntanya mitjan¸cant l’equaci´o:
h(x, y) = 4000 −0.001x2−0.004y2
Suposa que un alpinista est`a en el punt (500,300,3390). En quina
direcci´o s’ha de moure l’alpinista per tal d’ascendir el m´es r`apid pos-
sible?
[1,5 punts] 4. Troba els extrems de la funci´o,
f(x, y, z) = 4x2+y2+ 5z2
sobre el pla M={(x, y, z )∈R3/2x+ 3y+ 4z= 12}.
[1,5 punts] 5. Troba el volum de la regi´o limitada inferiorment pel con z2=x2+y2
i superiorment per l’esfera x2+y2+z2= 9.
[1,5 punts] 6. Calcula el treball realitzat per una persona que pesa 150 lliures al
pujar una volta completa d’una escala en forma d’h`elix circular de
radi 3 peus, si la persona ha pujat 10 peus.
[1,5 punts] 7. Mentre est`a sota l’acci´o d’una for¸ca F(x, y) = (y3, x3+ 3xy2) una
part´ıcula d´ona una volta a la circumfer`encia centrada a l’origen de
radi 3. Utilitza el Teorema de Green per trobar el treball fet per F.
Ajut: Per fer la integral utilitzeu que cos2θ=1 + cos(2θ)
2