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EJERCICIOS – Tema 1.
- Sean las matrices A, B, C y D dadas por: A =
, B^ =
C =
(^) y D =
Calcule los resultados de las siguientes operaciones si est´an definidos.
Si no est´an definidos indique por qu´e: (a) AB (b) − 3 B (c) AC (d) CD (e) − 2 AC + 5B
- Calcule las matrices traspuestas de las siguientes matrices: A =
, B =
C =
- Decir si la matriz C =
es la inversa de la matriz A=
- Indique si las siguientes matrices son elementales: E =
, A =
, B^ =
- Dadas la matrices cuadradas A y B: A =
(^) y B =
Calcular sus inversas A−^1 y B−^1 usando las matrices aumentadas [A I] y [B I] respectivamente, donde I es la matriz identidad de la misma dimensi´on que ambas
- Responda y razone las respuestas a las siguientes preguntas:
a) ¿Puede una matriz cuadrada con dos columnas iguales ser invertible? b) ¿Puede una matriz cuadrada con una fila de ceros ser invertible? c) ¿Puede ser invertible una matriz 4x4 cuando sus columnas no generan a R^4?
- Calcule la inversa de la matriz cuadrada A =
- De acuerdo con el resultado obtenido en ejercicio anterior, comente c´omo ser´a la soluci´on del siguiente
sistema homog´eneo cuya matriz de coeficientes es la matriz A de dicho ejercicio:
−x 1 − x 2 = 0 2 x 1 + x 2 = 0 2 x 1 + x 2 + x 3 = 0
- Indicar para cada una de las siguientes ecuaciones si son o no lineales:
a) 3x + 4y = 24 b) x 1 − x 2 + 5x 3 + (
2)x 4 = 1 c) e^2 x 1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 = 0 d ) 3x^2 + 4y = 24 e) x 1 − x 2 + 5x 3 + 2
x 4 = 1
f ) e^2 x^1 − 3 x 2 + x 3 − x 4 = 0 g) x 1 x 2 + 5x 3 = 2
- Comente la soluci´on del sistema:
x 1 − x 2 = 1 x 1 − x 2 = 4
- Indique si las 3 rectas siguientes tienen un punto de intersecci´on com´un. Explique la respuesta
2 x 1 + 3x 2 = − 1 6 x 1 + 5x 2 = 0 2 x 1 − 5 x 2 = 7
- Conseguir un sistema escalonado mediante eliminaci´on (o reducci´on) gaussiana equivalente a
x 2 − 4 x 3 = 8 2 x 1 − 3 x 2 + 2x 3 = 1 5 x 1 − 8 x 2 + 7x 3 = 1
Indicar si tiene soluci´on.
- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el m´etodo de Gauss-Jordan, es decir obteniendo una
forma escalonada reducida de dicho sistema
x 1 − 4 x 2 + x 3 = 2 −x 1 + 3x 2 − x 3 = 1 x 1 + 2x 3 = 3
- Transforme la siguiente matriz ampliada, correspondiente a un sistema lineal, primero en su forma esca-
lonada y despu´es en su forma escalonada reducida. Resuelva dicho sistema.
- La matriz aumentada de un sistema lineal se transform´o, mediante operaciones de fila, en la forma que
se indica a continuaci´on. Determine si el sistema es compatible
- ¿Para qu´e valores de h y k es consistente el siguiente sistema?
2 x 1 − x 2 = h − 6 x 1 + 3x 2 = k
. Compruebe que el rango de la matriz de coeficientes A calculado por filas coincide con el rango calculado por columnas.
- Calcular el rango de la siguiente matriz:
Responda a las siguientes pre-
guntas:
- ¿Cu´antas filas linealmente independientes tiene la matriz? ¿y columnas?
- Si dicha matriz fuese la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones. ¿Cu´antas soluciones tendr´ıa el sistema seg´un el Teorema de Rouch´e-Frobenius?
- Indique el tipo de soluci´{ on que tiene el sistema deduci´endolo mediante el Teorema de Rouch´e-Frobenius x 1 − x 2 = 1 2 x 1 − 2 x 2 = 4
- Calcule los siguientes determinantes utilizando un desarrollo de adjuntos a lo largo de la primera fila:
A =
, B =
- Calcule el determinante de la siguiente matriz, aplicando un desarrollo por adjuntos y operaciones
elementales por filas: A =
