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1. EJERCICIO 1 (1 PUNTO) Definan cada uno de los siguientes elementos: Curvas de nivel, conjunto factible, restricción de no negatividad, criterio de decisión, función objetivo, variable de gestión. Creen un ejemplo numérico en donde se evidencien todos estos elementos. Curvas de Nivel: La definición más simple para curvas de nivel (también conocido como conjunto de nivel) es la combinación de todos los valores de las variables de gestión que generan un valor K en la función objetivo. Descrito de otro modo, se puede decir que para todos los valores del conjunto de nivel K , la función F da como resultado K Importante: Las curvas de nivel se evalúan para la función objetivo. De forma matemática se puede describir como: CN (^) K ={( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : F ( x 1 , x 2 )= k } Conjunto Factible: Se define conjunto factible B del problema, el conjunto de todos los puntos ( x 1 , x 2 ) que cumplen con todas las restricciones del problema de optimización planteado. De forma matemática y general para este caso, se puede escribir como: Max f ( x 1 , x 2 ) ( x 1 , x 2 ) s. a g ( x 1 , x 2 ) ≥ R 1
h ( x 1 , x 2 ) ≤ R 2
Donde g y h son función del dominio (^) R^2 El conjunto factible entonces, está determinado por: B ={( x 1 , x 2 ) ∈ R 2 : g ( x 1 , x 2 ) ≥ R 1 ; h ( x 1 , x 2 ) ≤ R 2 } Restricción de no negatividad: Esta es una restricción que indica que los valores de las variables de gestión no pueden ser negativos; Ya que cuando evaluamos dichas variables, nos referimos a recursos los cuales seria incoherente tener valores negativos, y se denota de la siguiente manera: X ≥ 0 Criterio de decisión: Se basa en la asignación de recursos para tener el consumo óptimo, con el fin de realizar x actividad; dicho recurso pueden ser materiales, personas, dinero, entre otros. El criterio de decisión se usa para proporcionar el resultado más conveniente como puede ser obtener mayores ganancias o tener el menor costo posible, por tanto, el criterio de decisión se subdivide en dos partes, las cuales son máximizar y
minimizar, cada una usada según la necesidad del problema, y se denota de la siguiente manera: MAX ( X 1 , X 2 , … , Xn ) MIN ( X 1 , X 2 , … , Xn ) Función objetivo: la función objetivo indica lo que se debe lograr para cumplir con un criterio de decisión, así mismo esta función va a depender de unas variables; la función objetivo se representa con una ecuación que puede contener n variables. Variable de gestión: son aquellas variables que van a sufrir cambios de acuerdo con unas restricciones y que van a permitir que la función objetivo cumpla con el criterio de decisión, en pocas palabras son las variables que podemos modificar cumpliendo con unas restricciones; las variables de gestión por lo general se representan en la formulación con la letra X y un subíndice n, donde n representa el número de variables de gestión que contiene el problema. X (^) n Ejemplo numérico: Se tiene el siguiente modelo de programación, se pide maximizar las utilidades mediante la siguiente función: 5 x 1 +^4 x 1 que debe cumplir con las siguientes restricciones: 5 x 1 + 4 x 2 ≤ (^100) ; x 1 − x 2 ≤ (^40) ; − x 1 + x 2 ≤ (^20) ; x 1 ≥ (^0) y x 2 ≥ (^0). Criterio de decisión: maximizar Función objetivo: utilidades Función: 5 x 1 +^4 x 2 Variables de gestión: Unidades de A = x 1 Unidades de B = x 2 Restricciones: x 1 + x 2 ≤ 80 (^) x 1 − x 2 ≤ 40 − x 1 + x 2 ≤ 20 Restricción de no negatividad: (^) x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 Conjunto factible:
2. EJERCICIO 2 (1 PUNTO) Mediante el método gráfico y utilizando la herramienta solver de Excel, encuentren los valores de las variables de gestión necesarios para solucionar los siguientes problemas de optimización, recuerden especificar el valor de la función objetivo en el óptimo. Contrasten las respuestas obtenidas por los dos métodos de evaluación. a. Max 4 − x 1 2 −
2 α x 2 2 ( x 1 , x 2 ) s. a x 1 + x 2 ≤ 2 α ( x 1 , x 2 ) ≥ 0 El valor de α es 15. Se tiene como solución mediante la herramienta Solver lo siguiente: Esto significa que ambas variables de gestión deben ser 0 para que la función objetivo tenga el valor máximo. Como se aprecia en el siguiente gráfico realizado mediante Geogebra, se tiene que el punto (0,0) que maximiza el valor de la función objetivo está dentro del conjunto factible, por lo tanto, se comprueba el resultado dado mediante Solver.
b. Min 4 − x 1 2 −
2 α x 2 2 ( x 1 , x 2 ) s. a x 1 + x 2 ≤ 2 α ( x 1 , x 2 ) ≥ 0 El valor de α es 15. Se tiene como solución mediante la herramienta Solver lo siguiente: Esto significa que la variable de gestión x 1 =^30 y x 2 =^0 para que la función objetivo tenga el valor minimo.
Esto significa que la variable de gestión x 1 =1.33^ y x 2 =^0 causan que la función objetivo objetivo tenga el valor máximo. Como se aprecia en el siguiente gráfico realizado mediante Geogebra, se tiene que el punto (^) (1.33,0) que maximiza el valor de la función objetivo está dentro del conjunto factible, por lo tanto se comprueba el resultado dado mediante Solver. b. Min α x 1 − 6 x 2 ( x 1 , x 2 ) s. a − 2 x 1 + α x 2 ≤ 20 2 x 1 + α x 2 ≤ 60 α x 1 ≤ 20 ( x 1 , x 2 ) ≥ 0 El valor de α es 15.
Se tiene como solución mediante la herramienta Solver lo siguiente: Esto significa que la variable de gestión x 1 =^0 y x 2 =1.33causan que la función objetivo objetivo tenga el valor minimo Como se aprecia en el siguiente gráfico realizado mediante Geogebra, se tiene que el punto (0,1.33) que minimiza el valor de la función objetivo está dentro del conjunto factible, por lo tanto se comprueba el resultado dado mediante Solver.
4. EJERCICIO 4 (1 PUNTO) De los ejercicios de las fotografías taller enviado hace unos días, seleccionen cinco de ellos y denles solución. 4.1. La Smith Motors, Inc., vende automóviles normales y vagonetas. La compañía obtiene $300 de utilidad sobre cada automóvil que vende y $400 por cada vagoneta. El fabricante no puede proveer, más de 300 automóviles ni más de 200 vagonetas por mes. El tiempo de preparación para los distribuidores es de 2 horas para cada automóvil y 3 horas para cada vagoneta. La compañía
Mediante el método gráfico, se puede evidenciar que en el conjunto factible, los valores máximos son : x 1 = 300 x 2 = 100 4.2. La EZ Company fabrica tres productos de última moda, a los cuales el departamento de mercadotecnia ha denominado Mad, Mud y Mod. Estos tres productos se fabrican a partir de tres ingredientes los cuales, por razones de seguridad, se han designado con nombres en código que son Alpha, Baker y Charlie. Las libras de cada ingrediente que se requieren para fabricar una libre de producto final se muestran en la tabla. Ingrediente Producto Alpha Baker Charlie Mad 4 7 8 Mud 3 9 7 Mod 2 2 12
La empresa cuenta respectivamente con 400, 800 y 1000 libras de los ingredientes Alpha, Baker y Charlie. Bajo las condiciones actuales del mercado, las contribuciones a las utilidades para los productos son $18 para Mad, $10 para Mud y $12 para Mod. Plantee un problema de PL para determinar la cantidad de cada uno de los productos de última moda que deben fabricarse. Solución Criterio Decisión: Maximizar Función Objetivo: Utilidad Variables de Gestión: x 1 =¿ (^) Cantidad de productos Mad a producir x 2 =¿ (^) Cantidad de productos Mud a producir x 3 =¿ (^) Cantidad de productos Mod a producir Restricciones: 4 x 1 +^3 x 2 +^2 x 3 ≤^^400 7 x 1 +^9 +^2 x 3 ≤^^800 8 x 1 +^7 x 2 +^12 x 3 ≤^1000 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ≥ 0 Max 18 x 1 + 10 x 2 + 12 x 3 ( x 1 , x 2 , x 3 ) s. a 4 x 1 +^3 x 2 +^2 x 3 ≤^^400 7 x 1 +^9 x 2 +^2 x 3 ≤^^800 8 x 1 +^7 x 2 +^12 x 3 ≤^1000 ( x 1 , x 2 , x 3 ) ≥ 0 Utilizando la función de Excel – SOLVER, se llega al resultado:
Criterio de decisión MAX ( X 1 , X 2 ) 500 X 1 + 1000 X 2 SA X 1 ≤ 200 X 1 + X 2 ≤ 500 2,5 X 1 +5,5 X 2 ≤ 1200 X 1 ≥ 0 X 2 ≥ 0 Se tiene como solución mediante la herramienta Solver lo siguiente: Max 500 X 1 + 1000 X 2 Función objetivo 227. Max ( X 1 , X 2 ) Variables de gestión X1 200 X2 127 Restricción Ecuación Dirección Termino independiente R1 X 1 ≤ 200 R2 X^^1 +^ X^^2 ≤^500 R3 2,5 X 1 +5,5 X 2 ≤ 1200 R4 ( X 1 , X 2 ) ≥ 0 Esto significa que las variables X1 y X2 deben tener valores de 200 y 127 respectivamente para que la función objetivo tenga el valor máximo. Tal y como se observa en el siguiente grafico de geogebra se tiene que el punto (200,127) que maximiza el valor de la función objetivo, la cual se encuentra dentro del conjunto factible, por tanto, se comprueba el resultado dado mediante Solver.
4.4. La Clear-Tube Company fabrica parte electrónicas para aparatos de televisión y radio. La compañía ha decidido fabricar y vender radios AM/FM y tocacintas. Ha construido una planta que puede operar 48 horas semanales con gastos fijos de $ 10 000 por semana. La producción de un radio AM/FM requiere 2 horas de mano de obra y la producción de un tocacintas requiere 3 horas de mano de obra. Cada radio contribuye $ 20 a las utilidades y cada tocacintas con $ 25. El departamento de mercadotecnia de la Clear-Tube ha determinado que lo máximo que puede venderse por semana son 150 radios y 100 tocacintas. Plantee problema de PL para determinar la mezcla óptima de producción que maximice la contribución a las utilidades. Criterio de decisión: maximizar Función objetivo: contribución. Variables de gestión: Cantidad de radios a producir: X 1 Cantidad de tocacintas a producir: X 2 Restricciones: Restricciones de tiempo 48 horas semanales de operación. Capacidad de venta de radios, 150 semanales. Capacidad de vena de tocacintas, 100 semanales. Formulación del problema: max ( X 1 , X 2 ) 20 X 1 + 25 X 2 − 10000 S.A. 2 X 1 + 3 X 2 ≤ 48 X 1 ≤ 150 X 2 ≤ 100 X 1 , X 2 ≥ 0
Producto Contribución Diskettes $ Cassettes $ Paquete de limpieza $3. Cada uno de esos productos pasa a través de tres centros de manufactura y prueba como parte del proceso de producción. Los tiempos que se requieren en cada uno de los centros para fabricar una unidad de cada uno de los tres productos se muestran en la tabla: Horas por unidad Producto Centro 1 Centro 2 Centro 3 Diskettes 3 2 1 Cassettes 4 1 3 Paquete de limpieza 2 2 2 En la siguiente tabla de muestra el tiempo disponible para la siguiente semana y los costos fijo para cada uno de los centros. Tiempo Gastos fijos Centro 1 60 Hr $ Centro 2 40 Hr $ Centro 3 80 Hr $ Plantee un problema de programación lineal para programar la producción de manera que se maximice la contribución a las utilidades. Criterio de decisión: maximizar Función objetivo: contribución. Variables de gestión: Unidades a fabricar de Diskettes: X 1 Unidades a fabricar de Cassettes: X 2 Unidades a fabricar de paquetes de limpieza: X 3 Restricciones: Restricciones de tiempo de operación por cada centro de trabajo: centro 1, 60 horas; centro 2, 40 horas; centro 3, 80 horas. Formulación del problema: max ( X 1 , X 2 , X 3 ) 2 X 1 +^ X 2 +3.5^ X 3 −^4500 S.A. 3 X 1 + 4 X 2 + 2 X 3 ≤ 60 2 X 1 + X 2 + 2 X 3 ≤ 40 X 1 + 3 X 2 + 2 X 3 ≤ 80
X 1 , X 2 , X 3 ≥ 0
Solución por solver Excel La función objetivo se hace máxima cuando: 2 X 1 + X 2 +3.5 X 3 − 4500 X 1 = 0 X 2 = 0 X 3 = 20
5. Ejercicio 5 (1 punto) Escriban un ensayo, con longitud entre 700 y 900 palabras, relatando la toma de decisiones para la solución de problemas en industria. Para este hecho considere como recomendación que un ensayo puede estar compuesto de los siguientes elementos: Un contexto o motivación, una pregunta central, la inclusión de ideas de otros autores acerca del asunto en cuestión, el análisis realizado por ustedes y un cierre del ensayo que contiene la conclusión más relevante y, ¿por qué no?, un llamado a la acción. ¿Cuál sería la importancia de implementar modelos de optimización para solucionar problemas en la industria? La toma de decisiones es una actividad a la que nos vemos cara a cara, día por día, es posible que muchas de las acciones que realizamos son antecedidas por una decisión, pero la mayoría de las veces, las decisiones se toman con base en lo que creemos, sin embargo, para poder tomar una decisión asertiva y analizar las posibles alternativas, es necesario tener en cuenta todos los factores posibles que nos ayuden a tomar la decisión correcta. Algunas veces, cuando se toma una decisión equivocada, se tiene el miedo de tener que decidir nuevamente y es necesario ayudarse con alguna herramienta que permita escoger la mejor opción.
empresas necesitan recursos (financieros, humanos, técnicos, físicos, etc.) para poder generar un bien o servicio, pero el consumo de estos es limitado, las empresas grandes o pequeñas no se pueden dar el lujo de utilizar de forma inoficiosa sus recursos, siempre se busca producir más con menos, los modelos de optimización dan esa ventaja, pues se puede predecir cuanto producir minimizando costos o maximizando utilidades, esta ventaja seria ideal para las PYMES ya que aumentarían su competitividad y las harían mas atractivas para los inversionistas atrayendo mayores recursos financieros y promoviendo su crecimiento en el tiempo. Los modelos de optimización permiten encontrar soluciones más objetivas a los problemas, realmente los procesos productivos de las empresas tienen muchas restricciones y recurrir a estos modelos sería una opción acertada en búsqueda de la mejora continua. Se debería dar mayor relevancia a las PYMES capacitándolas en el uso de modelos de optimización, según datos del DANE las PYMES representan el 90% de las empresas del país, aportan el 30% del PIB y emplean a cerca del 65% de la población nacional apta para laborar. El llamado como futuros ingenieros financieros es utilizar y aplicar los modelos de optimización de forma responsable en las empresas y más aun en las PYMES ayudando al crecimiento del país pues es notable la cantidad de PYMES registradas y lo poco que pueden estar aportando al PIB del país. Referencias Narro, R. A. E. (1996). Aplicación de algunos modelos matemáticos a la toma de decisiones. Política y Cultura, 183–198. Recuperado dehttp://www.redalyc.org/pdf/267/26700614.pdf Díaz, G. (2007). Programación lineal como herramienta para toma de decisiones. Sotavento M.B.A. 10 (dic. 2007), 60-67. Alvarado, J. (2009). La programación lineal aplicación de la pequeñas y medianas empresas. Reflexiones, (88),89-105. https://revistas.ucr.ac.cr/index.php/reflexiones/article/view/
