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CAPÍTULO
Aplicaciones de ED de orden superior
OBJETIVOS PARTICULARES
Aplicar los métodos de solución de ED lineales de segundo orden con coeficientes constantes para resolver problemas con condiciones iniciales asociados a modelos sobre
Vibraciones mecánicas: movimiento armónico simple, movimiento amortiguado libre y movi- miento amortiguado forzado. Circuitos eléctricos: RC, RL, LC y RLC.
5.1 Introducción
En este capítulo se presentarán dos tópicos en los cuales las ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden desempeñan un papel vital para su modelación, a saber, vibraciones mecánicas y circuitos eléctricos. Un principio fundamental de la física establece que los sistemas físicos tienden a estar en una posición de mínima energía potencial denominada posición de equilibrio y si, por alguna razón, el sistema es forzado a salir de ese equilibrio, entonces tenderá a regresar a él. Por ejemplo, piense por un momento en un péndulo estático; si golpea la masa del péndulo con una pequeña fuerza, el sistema saldrá de su posición de equilibrio y en algún momento posterior se detendrá, pero al no estar en equilibrio retornará buscando dicha posición. La teoría de oscilaciones pequeñas permite describir cuantitativa y cualitativamente el movimiento que ocurre en los sistemas físicos cuando están cerca de su posición de equilibrio estable. Muchos fenómenos (péndulos, terremotos, mareas, etc.) pueden ser analizados utilizando esta teoría. El modelo más sim- ple que permite describir cuantitativa y cualitativamente el fenómeno de vibración es el sistema masa- resorte, también llamado oscilador armónico, en el cual no hay pérdida de energía. Otro modelo es el de masa-resorte-amortiguador, donde además se consideran fuerzas disipativas; en este caso la energía no se conserva y las oscilaciones tienden a desaparecer en el tiempo. Un tercer modelo es el oscilador forzado que considera fuerzas de excitación que incrementan o reducen la energía del sistema. En algunos casos, esta fuente de energía puede llegar a ser la responsable de la destrucción del sistema. En la primera parte de este capítulo analizaremos los osciladores libre, amortiguado y forzado.
264 Ecuaciones diferenciales
La segunda parte la dedicaremos al estudio de los circuitos eléctricos RLC en serie que están formados por un resistor R, un inductor L y un capacitor C. Estos circuitos encuentran su aplicación más práctica en el sistema eléctrico de una instalación ya sea doméstica o industrial y en todos los aparatos eléctricos que utilizamos en nuestra vida cotidiana. En nuestro análisis describiremos cómo se comportan la carga y la corriente en circuitos RLC. Finalmente, estableceremos una relación electromecánica entre las vibraciones mecánicas y los circuitos eléctricos.
5.2 Vibraciones mecánicas
Comenzamos el estudio de los fenómenos oscilatorios presentando algunos ejemplos en que estos fenó- menos ocurren además del que se mencionó en la introducción.
Otro ejemplo puede ocurrir cuando se realiza un viaje en avión. En condiciones normales el avión per- manece estable en gran parte del recorrido; sin embargo, una turbulencia puede provocar la pérdida mo- mentánea de la estabilidad y el equilibrio; cuando esto ocurre, el avión empieza a vibrar intentando regresar a su posición de equilibrio. Afortunadamente el avión cuenta con diversos aparatos que permiten la disi- pación de la vibración de forma rápida y segura.
Un tercer ejemplo lo podemos observar cuando se viaja en un auto y, sin reducir la velocidad, se pasa por un tope o bache. Inmediatamente el auto empieza a vibrar verticalmente y sólo la acción de los amortiguadores permite reducir y desaparecer las vibraciones del auto.
En general, las vibraciones aparecen cuando se aplica una pequeña fuerza a un sistema físico que se en- cuentra inicialmente en un estado de equilibrio estable. Cuando esta fuerza desaparece, el sistema tiende a regresar a su posición de equilibrio. Para entender el proceso físico que ocurre, recordemos que un sistema físico está en una posición de equilibrio estable cuando se encuentra en un mínimo de energía potencial.
x
V (energía potencial)
3
xe
Ve
Un sistema se encuentra en una posición de equilibrio estable si está en un mínimo de energía potencial. Si se mueve de esta posición, entonces el sistema tenderá a oscilar.
Para que abandone esa posición es necesario proporcionarle energía mediante la acción de una fuerza. Cuando se deja de aplicar la fuerza, el sistema ha adquirido energía potencial, que al intentar retornar a la posición de equilibrio, se transforma en energía cinética. Es decir, cuando pasa la posición de equilibrio tendrá energía cinética y no se detendrá; continuará su movimiento transformando ahora, hasta que de- saparezca, su energía cinética en potencial. Esta transferencia entre energía cinética y potencial se repetirá indefinidamente a menos que algún mecanismo permita la disipación de energía mecánica.
266 Ecuaciones diferenciales
Derivando la ecuación (5.2), se obtiene la velocidad del cuerpo, ésta es
x 0 .t/ D v.t/ D c 1 w sen wt C c 2 w cos wt: (5.3)
Las constantes c 1 & c 2 que aparecen en las ecuaciones (5.2) y (5.3) se deben determinar a partir de las condi- ciones iniciales de movimiento. Como la masa se encuentra inicialmente (t D 0/ a una distancia x 0 de la posición de equilibrio, y se suelta con velocidad inicial v 0 ; entonces se debe cumplir que
x 0 D x.0/ D c 1 cos .0/ C c 2 sen .0/ D c 1 .1/ C c 2 .0/ D c 1 : v 0 D v.0/ D c 1 w sen .0/ C c 2 w cos .0/ D c 1 w.0/ C c 2 w.1/ D c 2 w;
de donde
c 1 D x 0 & c 2 D
v 0 w
Finalmente, integrando los resultados anteriores (5.4) a la ecuación (5.2), se obtiene la siguiente expresión para la posición instantánea de la masa en todo tiempo t:
x.t/ D x 0 cos wt C
v 0 w
sen wt: (5.5)
Por otra parte, para poder analizar la ecuación anterior conviene escribirla en cualquiera de las dos formas compactas equivalentes
x.t/ D A sen.wt C / o bien x.t/ D A cos.wt 1 /:
Equivalencia que se obtiene con recordar que las funciones seno y coseno estan desfasadas un ángulo
, es
decir: sen D cos
En consecuencia, si elegimos D wt C , se debe cumplir:
wt C
D wt 1 ;
de donde: 1 D
Queremos reescribir la posición de la masa en la forma x.t/ D A sen.wt C /. Se tiene x.t/ D c 1 cos wt C c 2 sen wt y se quiere x.t/ D A sen.wt C /. Lo que se tiene coincide con lo que se quiere cuando:
c 1 cos wt C c 2 sen wt D A sen.wt C / D AŒsen wt cos C sen cos wt• D D .A cos / sen wt C .A sen / cos wt D .A sen / cos wt C .A cos / sen wt:
Y esto sucede si
A sen D c 1 & A cos D c 2 : (5.6)
De estas igualdades se tiene que
c 12 C c^22 D A^2 sen 2 C A^2 cos 2 D A^2 .sen 2 C cos 2 / D A^2 .1/ D A^2 :
De donde:
A D
c 12 C c^22 ;
y además, con c 2 ¤ 0 , c 1 c 2
D
A sen A cos
D tan ) D arctan
c 1 c 2
Es útil recordar estas relaciones usando el triángulo:
5.2 Vibraciones mecánicas 267
c 2
c 1
A
Obtenemos así una fórmula simplificada de la posición de la masa, con respecto a su posición de equilibrio:
x.t/ D A sen .wt C /: (5.7)
En esta expresión, A y se definen respectivamente como la amplitud de la oscilación y el ángulo de fase. Veamos ahora el significado físico de estos conceptos, que se representan en la figura siguiente:
t
x
4 (^) w
A
5
5
5
5
T D 2=w
T D 2=w 6
2w (^) w^
2w5 (^) w^
2w9 (^) w^
x.t / D A sen .w t C /
Se tiene que la posición x.t/ toma valores en el intervalo Œ A; A• ya que
1 sen 1; con 2 R ) j sen j 1; con 2 R ) ) j sen.wt C / j 1 ) A j sen.wt C / j A; con A > 0 ) ) j A sen.wt C / j A ) j x.t/ j A ) A x.t/ A:
De forma que A es la máxima separación del cuerpo con respecto a la posición de equilibrio. De aquí que A es la amplitud (máxima) de la oscilación. Este desplazamiento máximo ocurre cuando:
j x.t/ j D A ) j sen.wt C / j D 1 ) sen.wt C / D ˙ 1 )
) wt C D
C n; con n entero )
) wt C D .2n C 1/
; con n entero )
) t D
.2n C 1/
w
; con n entero y con t 0 :
Mediante esta relación, se obtienen los instantes en que x.t/ D A (n par), así como los instantes en que x.t/ D A (n impar) y la condición t 0. A la diferencia entre dos tiempos consecutivos donde x.t/ D A se le denomina periodo de la función x.t/ y al movimiento realizado en dicho intervalo de tiempo se le conoce como una oscilación completa. Es decir, el periodo T es el (intervalo de) tiempo que tarda la masa m en dar una oscilación completa.
5.2 Vibraciones mecánicas 269
La función D arctan u es la inversa de la función u D tan para 2
y éste es el rango que obtenemos al usar una calculadora. Por esta razón una calculadora dará siempre un número c 2
, cuando se usan radianes y no grados.
¡Nunca se debe usar grados para funciones trigonométricas si hay derivadas o integrales en ellas!
Para 2
sabemos que cos > 0.
Por lo tanto, reconsiderando las igualdades
A sen D c 1 & A cos D c 2 :
a. Si c 2 > 0, entonces cos > 0, por lo cual 2
que coincide con c. Esto es, D c.
b. Si c 2 < 0, entonces cos < 0, por lo cual 2
que no coincide con c. En este caso ocurre que entre y c existe una diferencia de radianes, por lo que D c C . Esto es, al número c dado por una calculadora, se le debe sumar para así tener el ángulo de fase .
¿En qué instantes pasa la masa m por la posición de equilibrio?
x.t/ D 0 ) A sen.wt C / D 0 ) sen.wt C / D 0 ) ) wt C D n; con n-entero )
) t D
n w
; con n-entero y con t 0:
Es decir, mediante esta relación se obtienen los instantes t 0 en que x.t/ D 0 ; esto es, los instantes en que el cuerpo pasa por su posición de equilibrio. Por otra parte, si la posición y velocidad iniciales son x 0 y v 0 entonces, de acuerdo con las ecuaciones (5.4) y (5.6), la amplitud es
A D
x^20 C
v^20 w^2
Y el ángulo de fase satisface:
tan D
x 0 w v 0
Reuniendo estos resultados, es posible escribir la expresión (5.7) en la página 267 como
x.t/ D
x 02 C
v 02 w^2
sen
k m
t C
Hemos dicho que en un movimiento vibratorio es importante saber qué está pasando con la energía. Para ello necesitamos reescribir la ecuación diferencial (5.1) de la página 265 en una forma alternativa. Consideraremos entonces que
m
d 2 x dt^2
C kx D 0 )
) m
dv dt
C kx D 0; usando la definición de velocidad v D
dx dt
) m
dv dx
dx dt
C kx D 0; aplicando la regla de la Cadena
dv dt
D
dv dx
dx dt
) mv
dv dx
C kx D 0; aplicando de nueva cuenta la definición de velocidad )
) mvdv C kxdx D 0; separando las variables.
270 Ecuaciones diferenciales
Finalmente, integrando obtenemos E, la energía total del sistema:
E D
mv^2 C
kx^2 D C: (5.8)
En esta expresión identificamos los siguientes términos:
La energía cinética del sistema Ec D
mv^2 ; debida a que el cuerpo se mueve con velocidad v.
La energía potencial del resorte Ep D
kx^2 ; debida a que el resorte se comprime o elonga una canti- dad x.
La energía total del sistema E D Ec C Ep :
La ecuación (5.8) se conoce como la ley de Conservación de Energía para el caso de un sistema masa-resorte y señala que la suma de energía cinética más la energía potencial del resorte siempre es una constante. Esto significa que, cuando se pierde energía potencial, se gana energía cinética y viceversa, de tal suerte que el resultado de su suma no cambia. En consecuencia, cuando la distancia x de la masa a la posición de equilibrio disminuye, entonces aumenta la velocidad, y la máxima velocidad de la masa se obtiene justo cuando ésta pasa por la posición de equilibrio del sistema. Por otra parte, cuando la masa se aleja, aumenta la energía potencial del resorte y disminuye su energía cinética. Cuando ésta última finalmente se anula, se obtiene la mayor elongación o comprensión del resorte; a estos puntos se los conoce como puntos de retorno.
Ejemplo 5.2.1 Considere una masa de 10 kg que está unida a una pared por medio de un resorte de constante k D 10 N/m. Si se alarga el resorte una distancia de 0:02 m y se suelta a partir del reposo, determine la posi- ción y la velocidad de la masa en el tiempo, la frecuencia de oscilación, la amplitud, el ángulo de fase y las energías cinética y potencial en el tiempo t:
H El PVI que modela esta situación es
d 2 x dt^2
C 10x D 0; con x.0/ D 0:02 & x 0 .0/ D 0:
Proponiendo como solución x D er t^ ; derivando dos veces con respecto al tiempo, usando estos resultados en la ecuación diferencial y simplificando, obtenemos la ecuación característica
10r^2 C 10 D 0:
Las raíces de esta ecuación son r 1 ; 2 D ˙i: Como ambas son complejas, las dos funciones que resuelven la ecuación diferencial, y que son linealmente independientes, son cos t & sen t: De suerte que la solución general de la ecuación diferencial es la combinación lineal de ellas, es decir:
x.t/ D c 1 cos t C c 2 sen t:
Derivando obtenemos la velocidad de la masa:
x 0 .t/ D v.t/ D c 1 sen t C c 2 cos t:
Para determinar los coeficientes c 1 & c 2 utilizamos las condiciones iniciales. Para ello utilizamos en el tiempo t D 0 los valores x 0 D 0:02 y v 0 D 0: Así obtenemos:
0:02 D x.0/ D c 1 cos.0/ C c 2 sen.0/ D c 1 .1/ C c 2 .0/ D c 1 I 0 D v.0/ D c 1 sen.0/ C c 2 cos.0/ D c 1 .0/ C c 2 .1/ D c 2 :
272 Ecuaciones diferenciales
La ecuación característica en este caso es
2r^2 C 200 D 0 ) r^2 C 100 D 0;
cuyas soluciones son r D ˙10i: En consecuencia, dos soluciones linealmente independientes son
x 1 .t/ D cos 10t & x 2 .t/ D sen 10t:
De forma que la solución general es la combinación lineal de ellas
x.t/ D c 1 cos 10t C c 2 sen 10t:
Al derivar con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad de la masa, ésta es
v.t/ D 10c 1 sen 10t C 10c 2 cos 10t:
Utilizando las condiciones iniciales tenemos:
0:03 D x.0/ D c 1 cos.0/ C c 2 sen.0/ D c 1 I 0:4 D v.0/ D 10c 1 sen.0/ C 10c 2 cos.0/ D 10c 2 :
De donde resulta:
c 1 D 0:03; c 2 D 0:04:
Usando estos valores en la función posición x.t/:
x.t/ D 0:03 cos 10t C 0:04 sen 10t:
Expresamos x.t/ en la forma x.t/ D A sen.10t C /. Para esto consideramos que
A D
. 0:03/^2 C .0:04/^2 D 0:05 :
Y además que
x.t/ D 0:03 cos 10t C 0:04 sen 10t D A sen.10t C / D D A.sen 10t cos C sen cos 10t/ D D .A cos / sen 10t C .A sen / cos 10t;
siempre y cuando
A sen D 0:03 & A cos D 0:04 )
) sen D
A
D
D 0:6 & cos D
A
D
D 0:8 ;
de donde
tan D
sen cos
D
D 0:75 )
) c D arctan. 0:75/ D 0:6435 rad:
Como cos D 0:8 > 0, entonces D c D 0:6435 rad. Por lo tanto, la posición de la masa con respecto a su posición de equilibrio es
x.t/ D 0:05 sen.10t 0:6435/ m.
5.2 Vibraciones mecánicas 273
La amplitud es A D 0:05 m.
El periodo es T D
s D
s 0.6283 s.
La frecuencia de oscilación es f D
T
HD
H.
El ángulo de fase es D 0:6435.
El desfasamiento es
w
D 0:06444 rad.
La velocidad instantánea de la masa es
v.t/ D x 0 .t/ D 0:5 cos.10t 0:6435/ m/s.
Considerando lo anterior construimos la gráfica de la posición, que se muestra en la siguiente figura:
t
x
A D 0:
0:
0:
7
0:
8
1:
T D 0:
x.0/ D 0:03 9
:
Ejemplo 5.2.3 Cuando se aplica a un resorte una fuerza de 28:8 N, éste se estira 0:2 m. Un cuerpo de masa 9 kg se une al extremo libre de dicho resorte y es puesto en movimiento con posición inicial x.0/ D 0:1 m y velocidad inicial v.0/ D 0:4 m/s. Encuentre la amplitud, la frecuencia natural, la frecuencia de oscilación y el periodo del movimiento resultante.
H En este caso, primero se determina la constante del resorte. Para ello basta con utilizar la ley de Hooke, FR D kx, con los datos F D 28:8 N y con x D 0:2 m; tenemos entonces que
F C FR D 0 ) 28:8 k.0:2/ D 0; de donde k D 144 N/m:
La ecuación diferencial del movimiento es
d 2 x dt^2
C 144x D 0;
cuya ecuación característica es r^2 C 16 D 0. Las soluciones de esta ecuación algebraica son r D ˙4i. Entonces, dos soluciones linealmente independientes son
x 1 .t/ D cos 4t & x 2 .t/ D sen 4t:
Y la solución general es x.t/ D c 1 cos 4t C c 2 sen 4t:
La velocidad de la masa es, derivando la ecuación anterior,
v.t/ D 4c 1 sen 4t C 4c 2 cos 4t:
5.2 Vibraciones mecánicas 275
Supongamos que se tiene un resorte colocado verticalmente con su extremo superior fijo. Al colocar un cuerpo de masa m en su extremo libre, el resorte sufre una deformación en su longitud . Sea • la longitud de la deformación del resorte al quedar la masa m en reposo, esto es, al estar m en su posición de equilibrio. En esta posición ocurre que k•` C mg D 0 , de donde se puede determinar el valor de la constante del
resorte, a saber: k D
mg •`
Al colocar m en una posición inicial x 0 e imprimirle una velocidad inicial v 0 , m tiende a oscilar en torno a su posición de equilibrio. En la siguiente figura se muestra un esquema del resorte vertical.
`
•` m
m x 0 < 0
v 0
m
x.t / > 0 mg
FR
Las dos fuerzas que en todo momento actúan sobre la masa m son la fuerza del resorte FR y la fuerza de la gravedad mg. Cuando el resorte está alargado, ambas fuerzas apuntan en sentidos diferentes; y cuando el resorte está comprimido, apuntan en el mismo sentido. Si tomamos como origen de coordenadas a la posición de equilibrio y la dirección positiva del eje vertical hacia abajo, entonces, de acuerdo con la segunda ley de Newton, la fuerza total es
mx 00 .t/ D mg kŒx.t/ C •l• ) mx 00 .t/ D mg kx.t/ k•) ) mx 00 .t/ C kx.t/ D mg k• ) mx 00 .t/ C kx.t/ D 0; ya que mg D k•`:
Luego, la posición x.t/ de m con respecto a su posición de equilibrio está dada, de nuevo, por la solución del PVI:
mx 00 .t/ C kx.t/ D 0 I con x.0/ D x 0 & x 0 .0/ D v 0 :
Ejemplo 5.2.4 Un resorte cuelga verticalmente de un techo, el resorte se elonga un centímetro cuando se coloca una masa de 1:5 kg y después el sistema queda en equilibrio. Posteriormente se elonga el resorte una cantidad adicional de 1:5 cm y se suelta a partir del reposo. Determine la constante del resorte, la posición y la velocidad de la masa en el tiempo t 0. ¿Cuál es la frecuencia de oscilaciones de la masa y la amplitud del movimiento?
H Cuando el resorte se elonga 0:01 m, el sistema está en equilibrio; esto significa que
k•` D mg; de donde k D
mg •`
D
1:5 kg 9:8 m/s^2 0:01 m
D 1 470 N/m:
La posición x.t/ de la masa m, con respecto a su posición de equilibrio, está dada por la solución del PVI
1:5x 00 .t/ C 1 470x D 0 con x.0/ D 0:015 & x 0 .0/ D 0:
La ecuación característica de la ED es, en este caso,
1:5r^2 C 1 470 D 0 ) r^2 C 980 D 0;
276 Ecuaciones diferenciales
cuyas raíces son, aproximadamente, r D ˙31:305i. Entonces la solución general de la ED y su derivada están dadas por
x.t/ D c 1 cos.31:305t/ C c 2 sen.31:305t/I v.t/ D 31:305c 1 sen.31:305t/ C 31:305c 2 cos.31:305t/:
Calculemos ahora los coeficientes c 1 & c 2 utilizando para ello las condiciones iniciales x 0 D 0:015 y v 0 D 0: Sustituyendo en las ecuaciones anteriores se tiene:
0:015 D x.0/ D c 1 cos.0/ C c 2 sen.0/ D c 1 I 0 D v.0/ D 31:305c 1 sen.0/ C 31:305c 2 cos.0/ D 31:305c 2 :
Finalmente, usando los valores de los coeficientes c 1 D 0:015 & c 2 D 0 en las expresiones para la posición y la velocidad obtenemos:
x.t/ D 0:015 cos.31:305t/ & v.t/ D 0:4695 sen.31:305t/:
Esta función x.t/ tiene frecuencia natural w D 31:305 rad/s y periodo T D
w
D
D 0:2007 s. Es
decir, la masa realizará aproximadamente f D
T
D
4:9823 5 oscilaciones en un segundo y la
amplitud es A D 0:015 m.
Ejemplo 5.2.5 Un sistema masa-resorte está colocado en forma vertical. La masa del cuerpo es de 9 kg y la constante del resorte es 25 N/m. Al inicio la masa se libera desde un punto que está a 4 cm arriba de la posición de equilibrio imprimiéndole una velocidad hacia abajo de 2 m/s.
- ¿Cuántos ciclos completos habrá completado la masa al final de 20 s?
- ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por segunda vez? ¿Cuál es su velocidad instantánea en ese momento?
- ¿En qué instante la masa alcanza sus desplazamientos extremos ya sea arriba o abajo de la posición de equilibrio?
- ¿Cuál es la posición, la velocidad y la aceleración de la masa a los 10 s?
H Los datos en el problema son: m D 9 kg; k D 25 N/m; x 0 D 4 cm y v 0 D 2 m/s. Si x.t/ es la posición instantánea (en metros) de la masa m, con respecto a su posición de equilibrio, al cabo de t segundos, entonces x.t/ está dada por la solución del PVI
mx 00 .t/ C kx.t/ D 0 I con x.0/ D x 0 ; & x 0 .0/ D v 0 I
9x 00 .t/ C 25x.t/ D 0 I con x.0/ D 0:04; & x 0 .0/ D 2:
Para resolver el problema proponemos x.t/ D er t^ como solución de la ED, así se obtiene:
9x 00 .t/ C 25x.t/ D 0 ) 9r^2 C 25 D 0 ) r^2 D
) r D ˙
) r D ˙
i:
La solución general de la ecuación diferencial es
x.t/ D c 1 cos
t
C c 2 sen
t
y la velocidad instantánea es
v.t/ D x 0 .t/ D
c 1 sen
t
C
c 2 cos
t
278 Ecuaciones diferenciales
- La masa m pasa por la posición de equilibrio cuando:
x.t/ D 0 ) 1:201 sen
t 0:
D 0 ) sen
t 0:
D 0 )
t 0:0333 D n; con n entero )
) t D
.n C 0:0333/; con n entero y con t 0 )
) t D
.n C 0:0333/; con n D 0; 1; 2; 3; : : :
Considerando la posición inicial x 0 de m se tiene que
m t D 0
n D 0
n D 1
n D 2
n D 3
n D 4
n D 5
La masa m pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo cuando:
n D 0 ) t D
.0 C 0:0333/ s D 0:01999 s 0:02 s.
n D 2 ) t D
.2 C 0:0333/ s D 3:7899 s 3:79 s.
n D 4 ) t D
.4 C 0:0333/ s D 7:5598 s 7:56 s.
y así sucesivamente. La masa m pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia arriba cuando:
n D 1 ) t D
. C 0:0333/ s D 1:9049 s 1:90 s.
n D 3 ) t D
.3 C 0:0333/ s D 5:6749 s 5:67 s.
n D 5 ) t D
.5 C 0:0333/ s D 9:4448 s 9:44 s.
y así sucesivamente. Entonces, la masa m pasa por la posición de equilibrio con dirección hacia abajo por segunda vez en el instante t 3:79 s y su velocidad en ese momento es v.3:79/ D 0:5968 m/s.
- Por otra parte, la masa m alcanza sus desplazamientos extremos cuando:
j x.t/ j D A ) x.t/ D ˙A ) A sen
t 0:
D ˙A )
) sen
t 0:
D ˙ 1 )
t 0:0333 D
C n; con n entero )
)
t D .2n C 1/
C 0:0333; con n entero y con t 0 )
) t D
[
.2n C 1/
C 0:
]
; con n D 0; 1; 2;
5.2 Vibraciones mecánicas 279
De aquí que la masa m alcanza sus desplazamientos extremos cuando:
n D 0 ) t D
[
.0 C 1/
C 0:
]
s 0:96 s.
n D 1 ) t D
[
.2 C 1/
C 0:
]
s 2:85 s.
n D 2 ) t D
[
.4 C 1/
C 0:
]
s 4:73 s.
n D 3 ) t D
[
.6 C 1/
C 0:
]
s 6:62 s.
y así sucesivamente.
- Finalmente, la posición, la velocidad y la aceleración a los 10 s se obtienen evaluando x.t/, v.t/ D x 0 .t/ & a.t/ D x 00 .t/ en t D 10. Obtenemos:
x.t/ D 1:201 sen
t 0:
; v.t/ D 2:002 cos
t 0:
& a.t/ D 3:3367 sen
t 0:
Entonces:
x.10/ D 1:201 sen
m D 0:9594 m.
v.10/ D 2:002 cos
m/s D 1:2043 m/s.
a.10/ D 3:3367 sen
m/s^2 D 2:6656 m/s^2 :
Esto es, x.10/ 0:96 m ; v.10/ 1:2 m/s & a.10/ 2:67 m/s^2 I lo que significa que a los 10 s la masa m está a 0:96 m arriba de la posición de equilibrio, dirigiéndose hacia arriba con una rapidez de 1:2 m/s y con una aceleración dirigida hacia abajo de 2:67 m/s^2.
Los siguientes ejemplos tratan con sistemas que no son exactamente masa-resorte, pero su análisis es similar y las respuestas que obtendremos también.
Ejemplo 5.2.6 Una boya cilíndrica de radio r, altura h y densidad boya se encuentra flotando en la superficie de un lago, como se muestra en la figura. Inicialmente la boya se encuentra en equilibrio; de repente se sumerge una distancia x 0 y se suelta con velocidad igual a cero. Determine la ecuación diferencial que modela el sistema y su solución. Si la boya tiene dimensiones h D 1 m, r D 0:5 m, y su densidad es D 500 kg/m^3 , determine la posición y la velocidad de la boya en todo tiempo si se sumerge una profundidad de x 0 D 0:01 m, a partir de la posición en equilibrio. Recuerde que g D 9:8 m/s^2 y que agua D 1 000 kg/m^3.
h
r
5.2 Vibraciones mecánicas 281
De acuerdo con la segunda ley de Newton, F D ma; el movimiento de la boya se describe, a partir de la posición en equilibrio, por medio de
mboya
d 2 x dt^2
D agua r^2 xg ) boya r^2 h
d 2 x dt^2
D agua r^2 xg ) boyah
d 2 x dt^2
D aguaxg:
Que se puede reescribir como
d 2 x dt^2
C
aguag boyah
x D 0:
Esta ecuación diferencial es del tipo masa-oscilador que hemos estado estudiando. La frecuencia natural es
w D
aguag boyah
La solución general es, entonces:
x.t/ D c 1 cos wt C c 2 sen wt:
Y la velocidad con la que mueve la boya es
v.t/ D c 1 w sen wt C c 2 w cos wt:
Finalmente, si suponemos que x.0/ D x 0 y que v.0/ D 0 , obtenemos c 1 D x 0 así como c 2 D 0: Utilizando estos dos resultados, se obtiene la forma de la oscilación de la boya.
x.t/ D x 0 cos wt:
Para el caso en que h D 1 m, r D 0:5 m, D 500 kg/m^3 , x 0 D 0:01 m y considerando que agua D 1 000 kg/m^3 , se tiene que
w D
D 4:4272:
Por lo que la posición de la boya dada las condiciones iniciales es
x.t/ D 0:01 cos.4:4272t/;
y la velocidad es
v.t/ D x 0 .t/ D 0:0443 sen.4:4272t/:
Ejemplo 5.2.7 Un péndulo de masa m D 2 kg y de longitud ` igual a 2:45 m está suspendido sobre un marco horizontal, como se ilustra en la figura. El péndulo se levanta un ángulo de 10 ı^ y se suelta con una velocidad angular de 0:4 rad/s.
- ¿Cuántos ciclos (oscilaciones) completos habrá completado el péndulo después de 10 s?
- ¿En qué momento la masa pasa por la posición de equilibrio con velocidad angular positiva por tercera vez?
- ¿En qué instantes la masa alcanza sus desplazamientos extremos?
- ¿Cuál es la posición de la masa del péndulo en cualquier tiempo?
- ¿Cuál es la posición de la masa a los 10 s?
282 Ecuaciones diferenciales
`
`
T
mg mg sen
`
`
H Primero se determina la ecuación diferencial del movimiento; para ello se considera el diagrama de fuerzas que se muestra en la figura. Las dos únicas fuerzas que actúan sobre la masa son la tensión T de la cuerda que se considera rígida y el peso mg del cuerpo. En la dirección del segmento que une el punto de soporte del péndulo con la masa (dirección radial), la fuerza neta es cero, ya que en esa dirección la masa está en equilibrio. Por otra parte, en la dirección del movimiento del péndulo (dirección tangencial) sólo actúa la componente tangencial del peso, que es mg sen . De acuerdo con la segunda ley de Newton, tenemos en la dirección tangencial:
mat an D mg sen ;
donde la aceleración at an se relaciona con el ángulo de acuerdo con
at an D ˛ D
d 2 dt^2
donde ˛ es la aceleración angular. Reuniendo estos dos últimos resultados:
m`
d 2 dt^2
D mg sen ;
de donde: d 2 dt^2
C
g `
sen D 0:
Para ángulos pequeños, donde es posible suponer que sen , obtenemos la ecuación diferencial
d 2 dt^2
C
g `
D 0:
Observe que no importa el valor de la masa m, ya que la ecuación diferencial no depende de ella. Al usar los valores de la longitud de la cuerda ` D 2:45 m y de la constante g D 9:8 m/s^2 , obtenemos:
d 2 dt^2
C 4 D 0:
La solución de esta ecuación diferencial es
.t/ D c 1 cos 2t C c 2 sen 2t:
La velocidad angular 0 .t/ se obtiene derivando esta expresión. Tenemos entonces que
0 .t/ D 2c 1 sen 2t C 2c 2 cos 2t:
Las condiciones iniciales del problema son
.0/ D 10 ı^ D 10
rad D
rad 0:1745 rad & 0 .0/ D 0:4 rad/s.
