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Ejercicios de potencias y raíces con soluciones
1 Sin realizar las potencias, indica el signo del resultado: 4 10 7 9
a) ( 3) b) ( 2) c) ( 1) d) ( 5)
Solución: a)b) Positivo por tener exponente par.Positivo por tener exponente par. c)d) Negativo por tener exponente impar.Negativo por tener exponente impar.
2 ¿Cuántos metros cuadrados ocupan dos jardines cuadrados de 15 y 20 metros de lado respectivamente? Solución: 152 + 20^2 = 225 + 400 = 625 m^2
(^3) Calcula: 2 3 3 5
a) ( 2) · 3 b) ( 4) : 2 c) ( 2) : ( 4)
Solución: 2 3 3 5
a) ( 2) · 3 = 4 · 3 = 12 b) ( 4) : 2 = 64 : 8 = 8 c) ( 2) : ( 4) = 32 : ( 4) = 8
4 En una papelería hay 4 estanterías con 8 baldas en cada una de ellas y sobre cada balda, 16 libros.Expresa en forma de potencia el total de libros que hay en la papelería.
Solución: 4 · 8 · 16 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 2^9 libros hay en la papelería.
Solución: a) Falsa porque un número negativo elevado a un exponente par da resultado positivo. b) Cierta porque un número negativo elevado a un exponente impar es negativo. c) Cierta porque un número negativo elevado a exponente par es positivo.
(^6) El balcón de la casa Marta es de 2 m. de ancho por 6 m. de largo. Calcula su superficie utilizando potencias. Solución: El balcón de la casa de Marta lo forman 3 cuadrados unidos de 2 m. de lado, por tanto su superficie será de:3 · 2 (^2) = 3 · 4 = 12 m 2
(^7) Completa la siguiente tabla:
Solución:
8 Escribe el producto 100 · 1000 como una única potencia. Solución: 100 · 1000 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 10^5
9 El patio de la casa de Pedro tiene 12 m. de ancho y el doble de largo. Calcula su superficie utilizando potencias.
5 Estudia si son ciertas o falsas las igualdades: 4 4 5 5 2 2
a) ( 6) = 6 b) ( 3) = 3 c) 8 = ( 8)
Base Exponente Forma de multiplicación Valor 43 4 3 4 · 4 · 4 64 ( - 2)^6 - 2 6 ( - 2) · ( - 2) · ( - 2) · ( - 2) · ( - 2) · ( - 2) 64
Forma de multiplicación Valor 4 3 (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2) · (-2)
Potencia Base Exponente
Potencia
13 Estudia si son ciertas las siguientes igualdades: a) (5 + 4)^2 = 5^2 + 4^2 b) (8 (^) −−−− 3)^2 = 8^2 −−−− 32 Solución:
( )^2
2 2 a) 5 4 9 81 No es cierta 5 4 25 16 41
( )^2
2 2 b) 8 3 5 25 No es cierta 8 3 64 9 55
14 Escribe en forma de potencia los siguientes productos: a) ( 2) · 2 · 2 · 2 · 2 b) ( 4) · 4 · 4 c) ( 7) · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7
Solución: 5 3
a) ( 2) · 2 · 2 · 2 · 2 = ( 2) · ( 2) · ( 2) · ( 2) · ( 2) = ( 2) b) ( 4) · 4 · 4 = ( 4) · ( 4) · ( 4) = ( 4) c) ( 7) · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 · 7 = ( 7) · ( 7) · ( 7) · ( 7) · ( 7) · ( 7) · ( 7) =
− − − − − − − − ( −7)^7
15 Demuestra, sin hallar el resultado, que 9^2 = 3^4. Solución: 92 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3^4
(^16) Demuestra, sin efectuar las potencias, que (^) (((( (^22) ))))^3 ==== 26
Solución: Base Exponente Forma de multiplicación
Valor 44 4 4 4 · 4 · 4 · 4 256 (-7)^3 -7 3 (-7) · (-7) · (-7) -
Potencia
Solución: ( 22 )^3 =^2 2 · 2^2 · 2^2 =^ 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2^ =^26
17 Razona si son ciertas las siguientes igualdades: 6 6 3 3 5 5
a) ( 4) = 4 b) ( 5) = 5 c) ( 6) = 6
Solución: a) Es cierta porque al elevar un número negativo a un exponente par se obtiene un número positivo y las bases y los exponentes de las potencias son iguales. b) Es falsa porque al elevar un número negativo a un exponente impar, el resultado es positivo. c) Es cierta porque un número negativo elevado a un exponente impar da otro número negativo y las bases y exponentes de las potencias coinciden.
(^18) Calcula de dos maneras distintas las siguientes potencias: a) [(-1) · (-2) · (-3)]^3 b) [(-2)^3 ]^2 Solución: Primera forma, operando paréntesis: a)b) [([( - - 1) · (2) (^3) ] 2 - = (2) · ( - 8) 2 - 3)]= 64^3 = ( - 6)^3 = - 216 Segunda forma, aplicando propiedades de potencias: a) [( - 1) · ( - 2) · ( - 3)]^3 = ( - 1)^3 · ( - 2)^3 · ( - 3)^3 = ( - 1) · ( - 8) · ( - 27) = - 216 b) [( - 2)^3 ]^2 = ( - 2)^6 = 64
19 Escribe como producto o cociente de potencias y halla su valor: a) (-3 · 2)^3 b) [-4 : (-2)]^3 Solución: a) ( - 3 · 2)^3 = ( - 3)^3 · 2^3 = - 27 · 8 = - 216 b) [ - 4 : ( - 2)]^3 = ( - 4)^3 : ( - 2)^3 = - 64 : ( - 8) = 8
Solución: Primera forma, operando paréntesis: a)b) ( 5 - 4 3) (^) : 5^3 · ( (^2) = 625 : 25 = 25 - 3)^2 = - 27 · 9 = - 243 Segunda forma, aplicando propiedades de potencias: a)b) ( 5 - 4 3) (^) : 5^3 · ( (^2) = 5 - 3)^22 = (= 25 - 3)^5 = - 243
(^26) Expresa el número 125 como un cociente de potencias de la misma base. Solución: Una de las posibles soluciones sería: 5^5 : 5^2
27 Efectúa utilizando propiedades de potencias: a) 243 : (-2)^3 : 3^3 b) [((-2)^2 )^2 ]^2 Solución: a) 243 : ( - 2)^3 : 3^3 =[24 : ( - 2) : 3]^3 = ( - 4)^3 = - 64 b) [(( - 2)^2 )^2 ]^2 = ( - 2)^8 = 256
28 Escribe el producto 16^7 · 16^3 como potencia de 16, como potencia de 4 y como potencia de 2. Solución: 167 · 16^3 = 16^10 = (4^2 )^10 = 4^20 = (2^2 )^20 = 2^40
(^29) Efectúa utilizando propiedades de potencias: a) (-36)^4 : (-6)^4 : 3^4 b) [((-1)^3 )^5 ]^4 Solución: a) ( - 36)^4 : ( - 6)^4 : 3^4 = [ - 36 : ( - 6) : 3]^4 = 2^4 = 16 b) [(( - 1)^3 )^5 ]^4 = ( - 1)^60 = 1
(^30) Expresa el número 36 como la potencia de un producto.
Solución: Una de las posibles soluciones sería: (2 · 3)^2
(^31) Efectúa utilizando propiedades de potencias: a) (-2)^2 · (-2)^3 · (-2)^2 b) (-9)^7 : (-9)^3 : (-9)^2 Solución: a) ( - 2)^2 · ( - 2)^3 · ( - 2)^2 = ( - 2)^7 = - 128 b) ( - 9)^7 : ( - 9)^3 : ( - 9)^2 = ( - 9)^2 = 81
32 Expresa el número 10 000 como potencia de una potencia. Solución: (10^2 )^2
33 Expresa el número 27 como la potencia de un cociente. Solución: Una de las posibles soluciones sería: (6 : 2)^3
(^34) Escribe cada producto o cociente en forma de potencia: a) -27 · (-3)^5 · (-3)^3 b) -32 : (-2)^3 Solución: a) - 27 · ( - 3)^5 · ( - 3)^3 = ( - 3)^3 · ( - 3)^5 · ( - 3)^3 = ( - 3)^11 b) - 32 : ( - 2)^3 = ( - 2)^5 : ( - 2)^3 = ( - 2)^2
35 Escribe cada producto o cociente en forma de potencia y calcula su valor: a) 81 : (-3)^2 b) 16 · (-2)^2 Solución: a) 81 : ( - 3)^2 = ( - 3)^4 : ( - 3)^2 = ( - 3)^2 = 9 b) 16 · ( - 2)^2 = ( - 2)^4 · ( - 2)^2 = ( - 2)^6 = 64
Solución: Una de las posibles soluciones sería: 2^3 · 2^3 , 4^2 · 4
(^41) Expresa como una única potencia utilizando sus propiedades:
(((( )))) a) 3 4 2 : 3 ·9^^3
b) −−−− 2 6 ·2^2 : ^ −−−− 23 ^2 Solución: a ) (^) ( 34 )^2 : 3 ·9^3 ^ = 38 : ^ 3 ·3^3 2 = 38 : 3^5 = 33
b ) ( − 2 ) 6 ·2^2 : (^ − 2 ) 3 ^2 = 2 ·2^6 2 : ( − 2 )^6 = 28 : 2^6 = 22
42 Expresa el número 81 como cociente de potencias de la misma base de dos formas diferentes, con distintas bases. Solución: Una de las posibles soluciones sería: 9^4 : 9^2 , 3^7 : 3^3
43 ¿Es cierto que la potencia de una diferencia sea igual a la diferencia de las potencias del minuendo y sustraendo? Justifica la respuesta con un ejemplo. Solución: Es falso, por ejemplo: (3 - 2)^2 = 1^2 = 1, no es igual a 3^2 - 22 = 9 - 4 = 5.
44 Expresa primero en forma de potencia y después aplica las propiedades para expresar las siguientes operaciones como una potencia única: a )))) -243 : (-27 · 3) b) 216 · (-8) : (-36) Solución: a) - 243 : ( - 27 · 3) = - 35 : ( - 33 · 3) = - 35 : ( - 34 ) = 3 b) 216 · ( - 8) : ( - 64) = 6^3 · ( - 2)^3 : ( - 4)^3 = ( - 12)^3 : ( - 4)^3 = 3^3
45 Expresa primero en forma de potencia y después calcula: a) 162 · (-4)^2 : 512 b) 1000 : ( -125 · 8) Solución: a) 162 · ( - 4)^2 : 512 = (2^4 )^2 · [( - 2)^2 ]^2 : 2^9 = 2^8 · ( - 2)^4 : 2^9 = 2^8 · 2^4 : 2^9 = 2^12 : 2^9 = 2^3 = 8 b) 1000 : ( - 125 · 8) = 10^3 : ( - 53 · 2^3 ) = 10^3 : ( - 103 ) = - (10 : 10)^3 = - 13 = - 1
(^46) Halla la raíz y el resto de: a) 245 b) 316 c) 450 Solución: a) Raíz: 15. Resto: 245 - 152 = 20 b) Raíz: 17. Resto: 316 - 172 = 27 c) Raíz: 21. Resto: 450 - 212 = 9
(^47) Escribe un número, mayor que 80 y menor que 90, que no sea un cuadrado perfecto. Indica los dos cuadrados perfectos más próximos. Solución: Cualquier número entre 80 y 90, que no sea el 81, es una solución.Los dos cuadrados perfectos más próximos son 81 y 100.
48 ¿Con 77 baldosas cuadradas puedo solar una superficie también cuadrada? ¿Cuántas faltan o sobran y cuántas habría en cada lado? Solución: No se puede con las 77, porque 77 no es un cuadrado perfecto.Si el cuadrado es de 8 baldosas de lado sobran 13, y si es de 9 de lado, faltan 4.
49 Calcula los números cuyo cuadrado es: a) 169 b) 225 c) 400 d) 121
53 ¿Entre qué dos números naturales consecutivos se encuentran las siguientes raíces cuadradas?
a) 53
b) 230
c) 420
d) 150 Solución: a) 7 < 53 < 8
b) 15 < 230 < 16
c) 20 < 420 < 21
d) 12 < 150 < 13
(^54) Calcula la raíz cuadrada del número 127 842. Solución: 127842 = 357 y el resto = 393
(^55) ¿Cuánto mide el lado de un cuadrado de 144 cm^2 de área? Solución: Como el área es el cuadrado del lado, hay que buscar un número cuyo cuadrado sea 144: 144 = 12 El lado del cuadrado mide 12 cm.
56 Halla los siguientes números: a) Su raíz cuadrada es 12 y el resto 19. b) Su raíz cuadrada es 25 y el resto 30. c) Su raíz cuadrada es 16 y el resto 7.
Solución: a) 122 + 19 = 163 es el número. b) 252 + 30 = 655 es el número. c) 162 + 7 = 263 es el número.
(^57) Calcula las siguientes raíces cuadradas. Si no son exactas, indica entre qué dos números naturales se encuentran.
a) 81
b) 100
c) 46
d) 21
e) 75
f) 64
Solución: a) 81 = 9 b) 100 = 10 c) 6 < 46 < 7 d) 4 < 21 < 5 e) 8 < 75 < 9 f) 64 = 8
58 Estudia si son ciertas las igualdades:
a) 144 : 36 = 144 : 36 b) 121 −−−− 81 = 121 −−−− 81
Solución: El menor número que tiene raíz 45 es 45Como 46 (^2) = 2 116, el mayor número que tiene raíz 45 es el 2 115, por tanto el mayor valor que puede tomar el resto^2 = 2 025. es 2 115 - 2 025 = 90.
(^64) Hay exactamente 12 números que tienen la misma raíz cuadrada no exacta, ¿cuáles son? Solución: 12 : 2 = 6. Los números son: 6^2 +1 = 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47 y por último 48, puesto que 49 = 7^2.
(^65) Halla los catetos de un triángulo rectángulo isósceles de 18 dm^2 de área. Solución: Si c es la medida de los catetos, entonces: 2 A = c·c^ 18 = c^ c^2 = 36 c = 36 = 6 2 →^2 →^ → Los catetos miden 6 dm cada uno.
(^66) Comprueba si son ciertas las siguientes igualdades:
a) 4 · 9 = 4 · 9
b) 25 + 16 = 25 + 16 Solución:
a) 4·^ 9 = 2·3 = 6 Entonces esta igualdad es cierta. 4·9 = 36 = 6
b) 25 +^ 16 = 5 + 4 = 9 Esta desigualdad no es cierta. 25 + 16 = 41 = 6, 4
67 La raíz cuadrada de un número es 37 y si el número fuese 44 unidades mayor su raíz cuadrada sería exacta. ¿Cuál es el número? ¿Cuántas unidades como mínimo habría que quitarle al número para que la raíz fuesetambién exacta? Solución: 382 = 1 444, por tanto el número es 1 444 - 44 = 1 400. Como 37para que la raíz fuese exacta.^2 = 1 369, habría que quitarle al número un mínimo de 1 400 - 1 369 = 31 unidades
