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matematicas aplicadas a la ingenieria
Tipo: Ejercicios
1 / 15
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Escuela de Formación Profesional Ing. Civil
Departamento Académico de Ingeniería Minas y civil
Si Θ=1 rad Y dΘ/dt = 1rad/s, ¿cual es la velocidad de P con respecto de O? Estrategia: se
puede escribir la posición de P respecto de O como:
s = (2pie) cos θ + (2pie) cos θ
Y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad.
s
2 m
O
P
2 m
Solución
La ubicación de P desde el punto O está dado por:
s = 2 cos θ + 2 cos θ = 4 cos θ
derivando respecto del tiempo para hallar la velocidad
ds
dt
= − 4 senθ
dθ
dt
Evaluando para θ = 1rad y
ds
dt
= 1rad/s
ds
dt
= − 4 sen(1rad) = − 3 , 37 m/s
Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra. La coordenada
s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no esta estirado.
Si el resorte es lineal, la masa esta sometida a una desaceleración proporcional a s. Suponga que
a = − 4 sm/s
2 , y que la masa tiene una velocidad v = 1m/s en la posición s = 0.
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b) La velocidad para s = 0
De la ecuacion α
v
2
2
v = ± 1 m/s
como el móvil regresa
v = −1ˆim/s
un automóvil viaja a 100 km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfil
vertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del
automóvil es x = 400m, ¿Cuál es su aceleración?
y = 0.0003 x
2
y
x
Solución
Datos
v = 100Km/h = 27 78 m/s
y = 0
0003 x
2 con c = 0
0003 ⇒ y = cx
2
sabemos que:
v =
x˙
2
2 (I)
derivando la ecuación de la trayectoria
y ˙ = 2cx x˙ (II)
Remplazando en la expresión(I)
v =
x ˙
2
2
despejamos x˙
x ˙ =
v
1 + (2cx)
2
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Departamento Académico de Ingeniería Minas y civil
remplazamos para x = 400m
x ˙ = 27 013 m/s
Derivamos nuevamente (III)
x ¨ =
− 4 vcx
2
(1 + (2cx))
3 / 2
remplazamos para x = 400m
x ¨ = − (^0) 099 m/s
2
Derivando la ecuación (II )
y ¨ = 2c( ˙x
2
y ¨ = 0
414 m/s
2
La aceleración será
~a =
099ˆi + 0
414ˆj
m/s
2
un automóvil incrementa su velocidad a una razón constante de 40 mi/h en A y a 60 mi/h en
B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2 s después de que pasa por el punto A?
y
x
30 °
30 ° B
A
80 pies
80 pies
120 pies
100 pies
Solución
Datos:
v A
= 40mi/h ⇒ 58
667 pies/s
v B
= 60mi/h ⇒ (^88) 0 pies/s
Partamos de:
vdv = ads a=cte (condición del problema)
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x
y
r
C
v 0
Solución:
Usando la regla de la cadena y escribiendo en términos de la aceleración radial
d
2 r
d
2 t
dv r
dt
dv r
dr
dr
dt
dv r
dr
v r
Luego tenemos
ar =
d
2 r
d
2 t
− r(
dθ
dt
2
= − 8 r
d
2 r
d
2 t
dθ
dt
2
− 8)r = (
2
− 8
2
)r ⇒ 136 r rad/s
2
Calculando la velocidad radial
d
2 r
d
2 t
= vr
dv r
dr
= 136r
vr ∫
2
vrdvr = 136
(^1) 5 ∫
1
rdvr
v
2
r
2
2
2
Resolviendo obtenemos
vr = 13 2 m/s
Ademas tenemos
v θ
= r
dθ
dt
5)(12) ⇒ v θ
= 18 m/s
De esta manera tenomos:
2ˆe r
m/s
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Dos automóviles A y B se aproximan a una intersección. A viaja a 20 m/s y va desacelerando
a 2 m/s
2 , y B viaja a 10 m/s y va desacelerando a 3 m/s
2
. En el sistema coordenado fijo a la
tierra mostrado, determine la velocidad de A respecto a B y la velocidad de B respecto a A.
Solución:
Se toma com origen de cooerdenadas la interseccion de su trayectoria
~v A
= −20ˆi y ~v B
= 10ˆj
~v A/B
esta dado por ~v A/B
= ~vA − ~vB
~v A/B
= −20ˆi − 10ˆj
v A/B
2
2 ⇒ v A/B
= 22 36 m/s
De forma analoga para
B/A
~v B/A
= 10ˆj − (−20ˆi) = 10ˆj + 20ˆi
v B/A
500 ⇒ v B/A
36 m/s
Un río fluye hacia el norte a 3 m/s (suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar
en línea recta del punto C al punto D en un bote que navega a velocidad constante de 10 m/s
respecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar el bote? ¿Cuánto tarda en efectuar el cruce?
será
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La velocidad v = 2m/s es constante. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y aceleración
del punto P cuando x = 0, 25 m?
y
1 m
P
x
y = 0.2 sin π x
Solución:
Hallando el tiempo para x = 0, 25
x = 2t (M RU )
t = 0
125 s
De la ecuacion y = 0 2 sin(2πt) derivamos
dy
dt
4 πcos(2πt) (Velocidad)
d
2 y
d
2 t
8 π
2 sin(2πt) (Aceleración)
Remplazando para t = 0
125 s y y = 0
dy
dt
= v y
889 m/s
d
2 y
d
2 t
= a y
58 m/s
2
POr consiguiente hallaremos los módulos
|v| = v =
v
2
x
2
y
⇒ (^2) 19 m/s
|a| = a =
a
2
x
2
a
58 m/s
2
La placa rectangular oscila con brazos de igual longitud. Determine el vector de velocidad de
(a) La placa rectangular (b) La barra AB
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y
A x
B
10 rad/s
Solución:
Como se ve en la figura el cuadrilatero ABCD siempre forma un paralelogramo dado que AD =
BCyAB = DC y por tanto necesariamente AD//BC y AB//DC.
β = θ (porserunparalelogramo)
β =
θ ⇒ ω AB
= ωAC = 10rad/s
ω BC
= ω
′′
De la figura
AB = AB(−cosθ, −sinθ) (I)
DC = DC(−cosβ, −sinβ) (II)
(I ) Y (II ) iguales
hallando la parte a)
La barra AB por ser un cuerpo rigido todos los puntos de este poseen igual velocidad angular y
que apunta en la direccion de eje Z
~ωAB = 10
krad/s
hallando la parte b)
~v B
= w~ × ~r AB
~vC = ~vB + w~
′′
× ~rBC (II)
~v C
= ~ω × ~r DC
; Ademas ~r AB
= ~r DC
De las ecuacones (I),(II) y (III)
~vB + w~
′′
× ~rBC = ~ω × ~rDC
w ~ × ~r AB
′′
× ~r BC
k × ~r AB
w ~
′′
× ~r BC
k × (~r AB
− ~r AB
w ~
′′
× ~rBC = (0, 0 , 0)
w ~
′′
= (0, 0 , 0)rad/s
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x
y
B
C
5 m
5.5 m
1.6 m
A
4 m 3 m 2.3 m
B C
B C
A B
A B
a a
v
v
Solución:
De la grafica hallando los puntos A, B,y C medidos del extremo inferior izquierdo
~rA = 4ˆi + 16ˆj
~r B
= 7ˆi + 55ˆj
~r C
3ˆi + 5ˆj
Calculando los vectores de posición relativos
~r B/A
= r B
− r A
=⇒ (7ˆi + 5
5ˆj) − (4ˆi + 1
6ˆj) = 3ˆi + 3
9ˆj
~r C/B
= r C
− r B
3ˆi + 5ˆj) − (7ˆi + 5
5ˆj) = 2
3ˆi − 0
5ˆj
Encontrando la aceleración del punto B
~a B
= ~α AB
× ~r B/A
− ω
2
AB
~r B/A
~a B
i
j
k
2
)(3ˆi + 3
9ˆj)
~a B
9ˆi + 3ˆj) − 4(3ˆi + 3
9ˆj) = − 19
8ˆi − 9
6ˆj m/s
2
La aceleración del punto C en términos de la aceleración en el punto B es:
~a C
= ~a B
× ~r C/B
− ω
2
BC
~r C/B
~aC = − (^19) 8ˆi − (^9) 6ˆj +
i
j
k
2
(23ˆi − (^0) 5ˆj)
~a C
1ˆi − 18
3ˆj m/s
2
La velocidad angular ωAC = 5
0 /s. Determine la velocidad angular del actuador hidráulico
BC y la razón a la que se extiende.
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2.4 m
1.4 m 1.2 m
A B
C
a A C
v A C
Solución:
Transformando la velocidad angular
ω AC
π
0873 rad/s
La velocid del punto C está dado por
~vC = ~ωAC × ~r C/A
~v C
i
j
k
0 0 ωAC
2094ˆi + 0
2269ˆj m/s (I)
Hallando el vector unitario paralelo al actuador BC
ˆe =
2ˆi + 2
4ˆj
2
2
4472ˆi + 0
8944ˆj
La velocidad del punto C en términos de la velocidad del actuador está dado por:
~vC = vC rel~e + ~ωBC × ~r C/B
~v C
= v C
rel(
4472ˆi + 0
8944ˆj) +
i
j
k
0 0 ω BC
~vC = vCrel(04472ˆi + 08944ˆj) + ωBC (− (^2) 4ˆi + 12ˆj) (II)
Comparando las ecuaciones (I ) y (II )
(^0) 2094 = 0 4472 vCrel − (^2) 4 ωBC (III)
8944 v crel
2 ω BC
