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EJERCICIOS DE MATEMATICA III
Hallar las derivadas parciales
∂ f (x , y)
∂ x
∂ f ( x , y)
∂ y
de las siguientes funciones.
1 .−f ( x , y )=ln (¿ x+ y
2
)+arctan g(
y
x
2.−f ( x , y)=ln ¿ ¿
3.−f ( x , y)=arctg
x
2
− y
2
x
2
2
4.−f ( x , y )=e
x
y
x
y
Resolver como se indica en cada caso:
1 .− Si z= ln
x
y
, Pr obar que : x⋅
∂ z
∂ x
+ y⋅
∂ z
∂ y
2 .− Si u= arctg
y
x
, Pr obar que :
2
u
∂ x
2
2
u
∂ x⋅∂ y
3.−Siu=ln
√
x
2
2
, Pr o barque :
2
u
∂ x
2
2
u
∂ y
2
4.−Si z=x
2
2
, dondex=t
2
y= 2 t. Hallar :
dz
dt
5.−Si z=arcsen ( x− y ) , dondex= 3 t ; y= 4 t
3
. Hallar :
dz
dt
6.−Si f
x ; y ; z
= 3 x
2
2
2
, donde : x=u v
2
; y= 5 u
2
2
; z =u
3
Hallar :
∂ f
∂u
y
∂ f
∂ v
7.- Sí
f ( x , y , z )= ln( x
2
+ y
2
+ z
2
. Hallar
D
u
→ f ( P )
para
P ( 1 , 3 , 2 )
y
u
→
√
√
√
8.- Calcular la derivada direccional de la función
f ( x , y , z )= x y e
z
en el punto
P ( 2 , 4 , 0 )
en la dirección que va desde este punto al punto
Q ( 0 , 0 , 0 )
9.- Calcular la derivada de la función
f ( x , y )=x
2
−x y− 2 y
2
en el punto
M ( 1 , 2 )
y
en la dirección que forma con el eje X un ángulo de 60°.
10.- Hallar la ecuación del plano tangente al elipsoide
x
2
2
+z
2
= 1
de tal modo que
sea paralelo al plano
x− y + z= 2
11.- Hallar a la superficie
x
2
2
2
= 11
, los planos tangentes paralelos al plano
x+ y+ z= 1
12.- Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie
x
2
2
2
= 21
y
paralelo
x+ 4 y + 6 z= 0
