UNIVERSIDAD TECNOL ´
OGICA DE PEREIRA - DEPARTAMENTO DE F´
ISICA
SEGUNDO EXAMEN DE RELATIVIDAD (E)
NOMBRE: C ´
ODIGO:
1. Calcule la divergencia covariante para los siguientes tensores (1.0 puntos)
a. Un tensor antisim´etrico Aab
Aab
;b=1
√g
∂
∂xb√gAab.
b. El tensor de Einstein Gab =Rab −1
2gabR
Gab
;b= 0.
2. Muestre que cuando en la acci´on de Einstein-Hilbert se incluye la constante cosmol´ogica
Λ (1.0 puntos),
IE−H=−c4
16πG Z(R+ 2Λ)√gd4x,
las ecuaciones de campo de Einstein toman la forma
Rab −1
2gabR−Λgab =−8πG
c4Tab,
donde todos los s´ımbolos tienen el significado usual. La constante de acoplamiento
κ=8πG
c4se escoge de modo que en el l´ımite de campo d´ebil tales ecuaciones reduzcan
a la ecuaci´on de Poisson de la aproximaci´on Newtoniana ∇2φ= 4πGρ.
3. En relatividad general, el elemento de l´ınea que describe un campo gravitacional
est´atico con simetr´ıa esf´erica est´a dado, en su forma est´andar, por
ds2=−B(r)dt2+A(r)dr2+r2dθ2+r2sen2θdϕ2,
donde (r, θ, ϕ) son las coordenadas esf´ericas usuales. Calcular para este espacio-tiempo
a. Las componentes no nulas de los s´ımbolos de Chistoffel de la segunda clase Γa
bc (1.0
puntos).
b. Las componentes no nulas del tensor Ricci Rab (1.0 puntos).
c. Resuelva las ecuaciones de campo de Einstein sin constante cosmol´ogica en el vac´ıo
y muestre que las funciones m´etricas B(r) y A(r) est´an dadas por (1.0 puntos)
B(r) = 1−2MG
r,
A(r) = 1−2MG
r−1
.
Esta m´etrica se conoce con el nombre de soluci´on de Schwarzschild y se interpreta
como el campo gravitacional exterior producido por un agugero negro est´atico de masa
M. Sugerencia: utilice la condici´on de frontera que lejos de la fuente (l´ımite de campo
gravitacional d´ebil) la componente de la m´etrica gtt ≈ −(1 + 2φ), donde φ=−MG
res
el potencial gravitacional Newtoniano de una part´ıcula puntual.
