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EL CONCEPTO DE VECTOR
Cardano, en su obra Ars Magna de 1545, utiliza por primera vez las raíces cuadradas de números negativos, en el estudio de las ecuaciones cúbicas. En una nueva edición de su libro, en 1570, ofrece incluso algunas reglas para trabajar con estos números.
(5 15) (5 15) 25 ( 15) 40
Utiliza la suma por diferencia para deshacer la incómoda raíz negativa. La diferencia de cuadrados resulta del hecho que los productos cruzados se anulan debido a la propiedad conmutativa del producto.
El nacimiento de los números complejos se produjo entre las soluciones a la ecuación cúbica en el libro de Cardano.
Descartes, en su obra Géométrie de 1637, utiliza por primera vez el término “ imaginario “ al referirse a las raíces cuadradas de números negativos.
Euler, en su obra De Formulis Differentialibus Angularibus de 1777, dice: “ En adelante, escribiré la expresión ^1 como i , resultando entonces i i i^2 1 “.
Wessel y Argand representan los números complejos como segmentos del plano.
La figura muestra como Wessel representaba el número complejo a b , por medio del segmento
orientado OA. Para ello dispone sobre el eje de abscisas la unidad + 1 y sobre el eje perpendicular de
ordenadas la unidad .
Wessel, además, dio una definición para la suma de dichos segmentos rectos, colocando el punto inicial de un segmento en el punto final del anterior, observando que la suma resultaba ser conmutativa. Dicha propiedad se basa en la ley del paralelogramo, mediante la cual, es posible determinar gráficamente la suma de dos de sus lados como la diagonal principal.
( a b ) ( c d ) ( a c ) ( b d )
Por simple construcción geométrica se observa que la dirección del segmento suma es la semisuma de las direcciones de los segmentos. (^1) ( ) 2 A^ B
V V V
El producto debía efectuarse término a término dada la proporcionalidad directa entre el segmento y sus componentes. ( a b )( c d ) a c ( d ) b ( c d ) ac ad bc bd ( ac bd ) ( ad bc )
Al hacer el producto término a término eligiendo las componentes de uno cualquiera de los dos vectores se observa un giro de coordenadas en el segundo vector, es decir, las coordenadas ( c d )pasan al ser
multiplicadas por b^ ^ a ser las coordenadas ( bd bc ). Para la dirección uso la regla que establece
que el ángulo de la dirección del segmento producto es igual a la suma de los ángulos de los segmentos factor. b ( c d ) bc bd ( bd bc )
Para la dirección uso la regla que establece que el ángulo de la dirección del segmento producto es igual a la suma de los ángulos de los segmentos factor. En propias palabras de Wessel: “ Sea +1 la unidad rectilínea positiva y + otra unidad perpendicular a la unidad positiva tomada antes, teniendo ambas el mismo origen; entonces el ángulo de la dirección +1 resulta igual a 0º, y por lo tanto para -1 es 180º, para
- es 90º, y para - es -90º ó 270º. “
También se cumple la relación entre los módulos, el módulo del segmento producto a de ser igual al producto de los módulos de los segmentos factor.
Q Q 1 (^) Q 2 ( ac bd )^2 ( ad bc )^2 a^2 b^2^ c^2^ d^2 a c^2 2^ 2 acbd b d^2^2 a d^2^2 2 adbc b c^2^2 ( a^2^ b^2 )( c^2 d^2 ) ( a^2 b^2^ )( c^2 d^2 ) ( a^2 b^2^ )( c^2^ d^2 )
La figura adjunta, muestra como Argand representaba el número complejo a bi , por medio de un segmento de línea dirigido OA de longitud r.
Con las aportaciones de Wessel y Argand es posible definir la suma de segmentos rectilíneos como pares de números reales con la propiedad conmutativa y además una proporcionalidad directa entre el segmento y sus componentes. También es posible la multiplicación de pares de números reales. La multiplicación de dichos pares posee la propiedad conmutativa.
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )
a b c d c d a b a c b d a b a b a b c d ac bd ad bc
La noción de vector surgió a posteriori de la teoría de los cuaternios de Hamilton. Por analogía con los números complejos, Hamilton se preguntó si sería posible hacer lo mismo que Wessel y Argand habían hecho para pares de números reales en el plano, con tripletes de la forma a bi cj en el espacio tridimensional, donde los coeficientes a b c , , siguen siendo reales, y donde 1, , i j son elementos mutuamente perpendiculares entre sí. a bi cj
Sin embargo, algo extraordinario iba a suceder mientras paseaba como de costumbre con su mujer por el Canal Real en Dublín el 16 de octubre de 1843. De pronto en un acto de revelación, Hamilton se dio cuenta de que todas sus dificultades podían verse superadas simplemente con la consideración de tomar cuatro términos en lugar de tres, es decir, si tomaba k como una tercera unidad imaginaria añadida a i y j. Es decir, debía dejar la restricción inicial de tres sumandos para el espacio que conocemos. Hamilton describe este hecho quince años después en una carta a uno de sus hijos:
“Mañana será el decimoquinto cumpleaños de los cuaterniones. Surgie- ron a la vida, o a la luz, ya crecidos, el 16 de octubre de 1843, cuando me encontraba caminando con la Sra. Hamilton hacia Dublín, y llegamos al Puente de Broughman. Es decir, entonces y ahí, cerré el circuito gal- vánico del pensamiento y las chispas que cayeron fueron las ecuaciones fundamentales entre i, j, k; exactamente como las he usado desde enton- ces. Saqué, en ese momento, una libreta de bolsillo, que todavía existe, e hice una anotación, sobre la cual, en ese mismo preciso momento, sentí que posiblemente sería valioso el extender mi labor por al menos los diez (o podían ser quince) años por venir. Es justo decir que esto sucedía porque sentí, en ese momento, que un problema había sido resuelto, un deseo in- telectual aliviado, deseo que me había perseguido por lo menos los quince años anteriores. No pude resistir el impulso de coger mi navaja y grabar en una piedra del Puente Brougham la fórmula fundamental con los símbolos i, j, k: i^2 = j^2 = k^2 = ijk = − 1 que contenían la solución del Problema, que desde entonces sobrevive como inscripción.”
Ahora, dejada atrás la restricción de tres sumandos para el espacio ordinario, Hamilton añadió un cuarto elemento a sus números “ hipercomplejos “. Ahora, pues, considero cuaternios, que no son más que cuadrúplas ( cuatro sumandos ) o cuaterniones donde k era una nueva unidad compleja; es decir expresiones de la forma a bi bj ck con i^2 j^2 k^2 ijk 1 ( a bi cj dk )( A Bi Cj Dk ) aA aBi aCj aDk bAi bBii bCj bDik cAj cBji cCjj cDjk dAk dBki dCkj dDkk ( aA bB cC dD ) ( aB bA i ) ( aC cA j ) ( aD dA k ) bCij bDik cBji cDjk dBki dCkj ij k ik ; iij j ji ; ij k ; jk jij kj ( i ) i ki ; iji ik ( j ) j kj ; ijj i ji ij ki ; ik ; jk kj ( aA bB cC dD ) ( aB bA cD dC i ) ( aC cA dB bD j ) ( aD dA bC cB k )
Hemos llegado a cuatro sumandos. El primer sumando es la parte escalar. El resto de sumandos son de la parte imaginaria. Hamilton llamó a la parte imaginaria i j k “ vector “ porque en latín el vocablo “ veher “ tiene entre sus traducciones “ dirigir “, “ direccionar “. La parte imaginaria era precisamente la teoría de tripletes que buscaba para el espacio ordinario, pero obtuvo como inoportuno visitante a la parte escalar. Este resultado fue muy debatido, pues estaba sumando puntos con vectores. Obviamente, la parte escalar estaba sobrando, ¿ por qué no eliminarla y volver a efectuar el producto ?.
( bi cj dk )( Bi Cj Dk ) ( cD dC i ) ( dB bD j ) ( bC cB k ) ( bB cC dD )
El resultado anterior se visualiza mejor si tomamos los vectores como:
q 1 (^) x i 1 y j 1 z k q 1 ; 2 (^) x i 2 y j 2 z k 2 q q 1 2 (^) ( y z 1 (^) 2 z y 1 2 (^) ) i ( z x 1 2 (^) x z 1 2 (^) ) j ( x y 1 2 (^) y x 1 2 (^) ) k ( x x 1 2 (^) y y 1 2 (^) z z 1 2 )
Y rápidamente podemos reconocer en el resultado anterior, tanto las componentes del producto escalar como las componentes del producto vectorial.
Sean dos vectores A B ,
definidos por sus componentes cartesianas en la base euclídea i j k ,^ ^ , como A ^^ ^ x i 1^ ^ y j 1^ ^ z k B 1 ;^^ ^ x i 2^ ^ y j 2^ z k 2 ; se pueden definir los productos siguientes:
Producto Escalar:
1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3
x A B x y z x y z x x y y z z x x x x x
^ ^
Producto Vectorial:
1 1 1 1 1 1 1 ^1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2
i j k y z x z x y AxB x y z i j k y z x z x y x y z
Dicha propiedad es válida para toda la geometría de Euclides. Por lo tanto, ha de ser también valida para topos sus elementos. Sea, por ejemplo, extensible al teorema del coseno. El teorema del coseno nos dice que en un triángulo oblicuángulo el cuadrado de uno cualquiera de sus tres lados es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de los otros dos lados por el coseno del ángulo opuesto del primer lado.
c^2^ a^2 b^2 2 ab cos( C )
Para la demostración del teorema basta con considerar el teorema de Pitágoras.
c^2^ ( a x )^2 y^2
cos(180 C )^ x ; x b cos(180 C ) b (cos180 cos C sen 180 senC ) b cos C b
sen (180 C )^ y ; y bsen (180 C ) b sen ( 180 cos C cos180 senC ) bsenC b
c^2^ ( a b cos C ) 2 ( bsenC )^2 a^2^ 2 ab cos C b^2^ cos^2 C b sen C^2 c^2^ a^2 b^2^ (cos^2 C sen C^2 ) 2 ab cos C a^2 b^2 2 ab cos C
c^2^ a^2 b^2 2 ab cos( )
cos( ) cos( ) cos( ) cos( ) sen ( ) sen ( ) cos( ) c^2 a^2 b^2 2 ab cos( ) c a b
c c^ ^ ( a ^ b ^ ) ( a ^ b ^ ) aa ^ ab ^ ba ^ bb ^ a^2 2 ab b^2 c^2 a^2 b^2 2 ab ^ a^2^ b^2^ 2 ab^ ^ c^2 a^2 b^2 2 ab cos( ) ab ab cos( )
Expresión que constituye la definición de producto escalar en función de los módulos de los vectores y del ángulo que forman entre sí. Dicha definición constituye una magnifica herramienta para medir.
ab ab cos( a b ,)
Veamos ahora la expresión de dicho producto en función de las coordenadas cartesianas de dichos vectores:
ab ab cos( ) ab cos( ) ab (cos cos sen sen )
a (^) x a cos ; ay a sin ; bx b cos ; b (^) y b sin ab a cos b cos a sin b sin a bx x a by y
x x y x y x y x y x y y
b A B a a b b a a b b a a b
^ ^
Expresión que constituye la definición de producto escalar en función de las componentes cartesianas de los vectores.
Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vacío de V. W es un subespacio de V si W es en sí mismo un espacio vectorial con las mismas operaciones (suma de vectores y producto por un escalar) definidas en V.
Caracterización de un subespacio vectorial. Sea W un subconjunto de un espacio vectorial V (W⊆V). W es subespacio de V si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones: a. 0 está en W, el vector 0 pertenece a W. Si es así se cumple también el axioma 5 y por ende los axiomas 2 a 4 b. Si u y v están en W, entonces u+v está en W, que no es más que la suma de vectores c. Si u está en W y k es un escalar, ku está en W, que no es más que el producto exterior de escalares
Vectores linealmente independientes de un subespacio vectorial. Dado un número n de vectores, decimos que son linealmente independientes si y sólo si, se cumple la relación de igual siguiente:
i vi 0, (^) i 0
Imaginemos que la igualdad anterior se cumple para un cierto i 0 , sea por ejemplo 1 0 , ahora
podemos expresar la igualdad anterior como:
1 v 1 (^) 0 2 v (^) 2 3 v 3 (^) ... (^) n 1 vn 1
1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 1
v^1 0 v^ v ... n^ vn
Es decir, seria posible poner al vector v 1
como una combinación lineal del resto de vectores, lo cuál no es posible por ser linealmente independientes.
Un determinado número de vectores es un sistema generador de un subespacio vectorial W si todos los vectores de W se pueden general a partir de la mínima expresión combinación lineal de dichos vectores.
Un ejemplo característico es cuando el subespacio vectorial viene caracterizado por una ecuación implícita. Veamos un ejemplo, sea el subespacio vectorial siguiente:
V ( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 (^) ) V^3 : 5 x 1 (^) 2 x 2 (^) x 3 0}
Buscamos la expresión genérica de un vector de V^3 que pertenezca a V y cuya expresión mínima pueda generar cualquier vector del subespacio V. Es decir buscamos una expresión del tipo:
( x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 ) i vi
Como cualquier vector de V debe ser de la forma anterior y solo tenemos una ecuación para determinar x 1 (^) , x 2 (^) , x 3 ; nos vemos obligados a tomar dos parámetros. Sean x 2 (^) , x 3 los parámetros. Tenemos pues:
x ^^ x^ ^ x x x
2 2 3 3
x x x x
1 2 3 2 3 2 3 2 3
x x x ^ x x x x x ^ x
Como podemos ver, los vectores ( 2 ,1, 0) 5
(^) y ( 1 , 0,1) 5
(^) generan los vectores del subespacio W dado
que satisfacen su única ecuación implícita.
(^12) 2 3 3
x (^) x x x x
^
^
^ ^
^ ^
^ ^
Una base vectorial es un sistema de generadores cuyos vectores son linealmente independientes. Por tanto, cualquier vector se puede expresar respecto a una base como combinación lineal de sus vectores.
En el espacio vectorial ordinario euclídeo V^2 los vectores i j ,
son linealmente independientes y cualquier vector de V^2 puede obtenerse a partir de una combinación lineal de dichos vectores. Por lo tanto dichos vectores son libres y generan todo V^2. Por lo tanto, son una base de V^2. Dicha base es la llamada base canónica de V^2 y a dichos vectores se les suele llamar versores.
La base e e i , j recibe el nombre de base canónica, donde el producto ei ej ij recibe el nombre de
delta de Kronecker y su valor es 1 si i j y 0 si i j.
Pero no obviamente todas las bases de V^2 tienen porque ser la canónica. Sea por ejemplo la base
e 1^ ^ e 2^ ,^ e 2^ ^ u 1^ , u 2 de la figura adjunta.
PARALELISMO
Para que un vector A
quede perfectamente determinado necesitamos conocer su distancia o módulo A
, su dirección y su sentido. El módulo lo podemos obtener mediante A A A^2^ ; A A^2
, la dirección
es la misma que la recta sobre la que apoya y el sentido es el marcado por el final de flecha. Dos rectas en el plano, pueden cortarse ( poseen un punto en común ), pueden ser coincidentes ( poseen todos sus puntos en común ) y pueden ser paralelas ( la mínima distancia “ la perpendicular “ entre ellas se mantiene constante, de ahí que se diga que dos rectas paralelas son aquellas que se cortan en el infinito ). En el espacio tridimensional cabe añadir una posición más, que se crucen.
Hemos visto que en plano es relativamente sencilla aplicar la métrica a los elementos de Euclides. ¿ Pero qué ocurre cuando el plano es curvo ?. Imaginemos por ejemplo la superficie de una esfera.
El paralelismo depende de la posición del observador. En relatividad especial, los observadores describían el mismo suceso desde posiciones distintas. Para un observador del espacio tridimensional en el que nos movemos, los vectores A
y B
de la imagen anterior no son paralelos, pues desde su posición, las líneas de acción sobre la que están dichos vectores no son paralelas. Sin embargo, para un observador situado en el mismo plano de la esfera, que camina sobre dicho plano, los vectores le parecerán paralelos.
En un sentido más estricto, dos vectores serán paralelos, si y solo si, se puede establecer una relación de proporcionalidad entre ellos. Es decir si son linealmente independientes (^) i vi 0, i 0
. En un espacio curvo, el concepto de paralelismo recibe el nombre de conexión.
Tenemos infinidad de puntos sobre la superficie de la esfera y por lo tanto no basta con definir la base sino que tenemos que especificar sobre que punto estamos (^) e 1 (^) ( p ), e 2 ( p ) (^) . Por lo tanto en cada punto del plano curvo tendremos una base diferente y además dichas bases no son comparables porque pertenecen a puntos diferentes o subespacios vectoriales diferentes. Los planos tangentes en cada punto de la superficie de la esfera son distintos y por lo tanto no comparten el mismo subespacio vectorial.
En un espacio plano, como una hoja de papel, todos los planos tangentes coinciden y por ello una base es igualmente valida para todo el espacio. Tomado un vector cualquiera, su módulo, dirección y sentido permanecerán invariantes a lo largo de todos los subespacios vectoriales. Los vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido son equivalentes. El conjunto de dichos vectores se llama vector libre. Como representante de un vector libre escogemos aquel vector cuyo origen o punto de aplicación coincide con el origen de coordenadas. En la figura adjunta, como representante de los vectores
libres del plano cogemos el vector A
.
Por lo tanto, tenemos que diferenciar entre un espacio plano y un espacio curvo. En un espacio curvo no bastará con definir una base sino que además tendremos que indicar el punto de la superficie curva sobre el que está aplicada. Al plano tangente a un punto p cualquiera se le denomina T Mp donde M es la variedad. Tendremos tantos subespacios como puntos. Al conjunto de todos los planos tangentes se le llama fibrado tangente y se denota por (^) T MP (^) .
Consideremos como ejemplo la parábola de segundo grado y x^2
2
(^1 2 2 ) 11 12 22 0 1 2 0
1 4 ln( 2^ 5)^2 5 1, 48 _.. 4
x y x y x y
L g d^ g d^ d^ g d d d d d d
L d u l
^ ^
BASE DUAL DE UNA BASE CUALQUIERA DE UN ESPACIO VECTORIAL
Dada una base cualquiera u 1 , u 2 de un Espacio Vectorial de V^2 , se llama base dual de la base
u 1^ , u 2^ dada, a la base^ u^1^^ , u^^2 tal que se cumple:
1_ _
0 _ _
i i j j i j ij
u u si i j si i j
Las componentes de la base u^1 , u^2 en la base u 1 , u 2 son:
1 1
(^12) 2 2
u au bu u cu du
Para que la base u 1^ , u^2 sea dual de la base u 1 , u 2 se debe cumplir que:
1 1 1 1 2 1 1
1 1 2 11 21 (^12 2 2 12 ) 2 1 1 2 1 11 21 (^22 2 2 2 12 )
u u au u bu u g a g b u u au u bu u g a g b u u cu u du u g c g d u u cu u du u g c g d
