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PROGRAMACIÓN NO LINEAL CON RESTRICCIONES DE
DESIGUALDAD. EJERCICIOS RESUELTOS.
3. Dado el programa: Minimizar x^2 - y^2 s.a: x 2 - y ≤ 1 calcular sus puntos críticos y probar que no hay mínimos globales pero si que hay un mínimo local. Solución La función lagrangiana del problema es: L(x, y, λ) = x^2 - y^2 + λ(x^2 - y - 1)
Condiciones necesarias de mínimo
Las condiciones de Kuhn-Tucker son: ∂L ∂x = 2x + 2λx = 0,^ λ(x
(^2) - y - 1) = 0,
∂L ∂y = - 2y -^ λ^ = 0,^ λ^ ≥^ 0. ∂L ∂ λ = x^
(^2) - y – 1 ≤ 0,
En primer lugar se buscan los puntos críticos del problema. Analizando los posibles valores de λ se obtienen los puntos críticos:
- Si λ = 0, se tiene x = 0, y = 0. Al verificarse las condiciones de Kuhn-Tucker, se tiene que el punto (0, 0) con λ = 0 es un punto crítico.
- Si λ ≠ 0, se tiene el sistema de tres ecuaciones siguiente: x^2 – y – 1 = 0, 2x + 2λx = 0, - 2y – λ = 0. De la ecuación 2x + 2λx = 0 se obtiene que 2x(1 + λ) = 0, de donde se deduce que x = 0 o λ = -1. Si λ = -1, no hay punto crítico porque no se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker, por tanto 1 + λ ≠ 0. Si x = 0, entonces y = -1, λ = 2. Se cumplen las condiciones de Kuhn-Tucker y por tanto, el punto (0, -1) con λ = 2 es punto crítico.
Condiciones suficientes de mínimo. Analizando un entorno del punto (0, 0) se tiene que f(0, 0) = 0; para ε ≠ 0, f(0, ε) = - ε^2 < 0 y f(ε, 0) = ε^2 > 0, por tanto, en cualquier entorno de (0, 0) hay puntos en los que la función vale mas que cero y menos que cero, lo que significa que en ese punto no hay un mínimo.
En un entorno del punto (0, -1) se tiene que y ≥ -1 y que x puede tomar valores positivos y negativos. Analizando como en el caso anterior, se tiene que, f(0, -1) = -1; para ε ≠ 0 y 0 < δ < 2, tales
que ε^2 – (-1 + δ) < 1, (es decir, tales que el punto (ε, -1 + δ) sea del conjunto factible y por
tanto, verifique la restricción) se verifica, f(0 + ε, -1 + δ) = ε^2 – (-1 + δ) 2 = ε^2 – (1 - 2δ +
δ^2 ) = ε^2 – 1 + 2δ - δ^2 > -1, es decir, existe un entorno del punto (0, -1) en cuyos puntos la función siempre vale más que en el punto (0, -1), ya que para 0 < δ < 2, se tiene, 2δ - δ^2 = δ(2 - δ) > 0 y ε^2 > 0. Esto significa que en el punto (0, -1) hay un mínimo local. Sin embargo, este mínimo no es global, ya que hay puntos del conjunto factible en los que la función vale menos que en (0, -1), por ejemplo, en el punto (0, 4), que pertenece al conjunto factible ya que satisface la restricción, la función vale –16.
4. Si la función de utilidad de un consumidor es U(x, y) = xy, siendo x e y las cantidades consumidas de los bienes A y B, cuyos precios unitarios son 2 y 3 unidades monetarias, respectivamente, maximizar la utilidad de dicho consumidor sabiendo que no puede destinar más de 90 unidades monetarias a la adquisición de dichos bienes. Analizar la variación de la utilidad máxima si el consumidor puede destinar una u. m. más a la adquisición de dichos bienes.
Solución El planteamiento del problema es el siguiente: Maximizar xy s.a: 2x + 3y ≤ 90 x, y ≥ 0
La función lagrangiana del problema es: L(x, y, λ 1 , λ 2 , λ 3 ) = xy + λ 1 (2x + 3y - 90) + λ 2 x + λ 3 y
Condiciones necesarias de mínimo
Las condiciones de Kuhn-Tucker son: ∂L ∂x = y + 2λ^1 +^ λ^2 = 0,^ λ^1 (2x + 3y - 90) = 0, ∂L ∂y = x + 3λ^1 +^ λ^3 = 0,^ λ^2 x = 0, ∂L ∂ λ 1 = 2x + 3y - 90^ ≤^ 0,^ λ^3 y = 0,
∂L ∂ λ 2 = x^ ≥^ 0,^ λ^1 ≤^ 0,^ λ^2 ,^ λ^3 ≥^0
sobre un conjunto cerrado y acotado, alcanza en dicho conjunto un valor máximo y un valor mínimo. Se han obtenido dos puntos críticos de máximo, (0, 0) con λ 1 = λ 2 = λ 3 = 0, y
(22,5, 15) con λ 1 = -^152 = - 7,5, λ 2 = λ 3 = 0.
Sustituyendo ambos puntos en la función f(x, y) = xy, se tiene que f(0, 0) = 0 <
f(22,5, 15) = 337,5. Por tanto, en el punto (22,5, 15) con λ 1 = -^152 = - 7,5, λ 2 = λ 3 = 0
se alcanza el máximo global.
8. Se supone que una fabrica produce zapatos y alpargatas, obteniendo unos ingresos de 100x 2 + 100 y^2 unidades monetarias, siendo x el número de pares de zapatos producidos e y el de alpargatas. Para producir un par de zapatos se necesitan 2 unidades de materia prima y una hora de trabajo, y para producir un par de alpargatas se necesitan una unidad de materia prima y 2 horas de trabajo. Sabiendo que se dispone de 40 unidades de materia prima y de 50 horas de trabajo, se pide: a) Hallar el número de pares de zapatos y de alpargatas que se han de producir para maximizar los ingresos. b) ¿Qué cantidad estaría dispuesta a pagar la fábrica por una unidad adicional de materia prima?, y ¿por una hora más de trabajo?.
