Lista 2 ejercicios solucion, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Lista 2 ejercicios solucion y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Matemàtiques II

Solucions llista de problemes Tema 2: Algebra Lineal

Departament d’Economia i d’Història Econòmica

1. Tenim:

A 1 =

A 2 =

 A

A 4 =

A 5 =

 A

on A 1 ∈ M 2 x 2 ; A 2 ∈ M 3 x 2 ; A 3 ∈ M 2 x 3 ; A 4 ∈ M 2 x 2 ; A 5 ∈ M 3 x 3 ;

A 6 ∈ M 3 x 3. Llavors:

(a) A 1 + A 4 =

(b) A 3 + A 5 No és possible fer aquesta operació degut a que les matrius no

tenen el mateix nombre de files.

(c) A 1 − A 4 =

(d) A 3 − A 5 No és possible fer aquesta operació degut a que les matrius no

tenen el mateix nombre de files.

Per fer el producte de matrius A · B, s’ha de realitzar el producte escalar de

les files (i) de la matriu A per les columnes (j) de la matriu B i el resultat és

la component (i, j) de la matriu producte C. Les matrius han de cumplir:

A ∈ Mmxk, B ∈ Mkxn ⇒ C ∈ Mmxn , és a dir el nombre de columnes

de A ha de ser igual al nombre de files de B.

(e) A 2 · A 3 ∈ M 3 x 3

A 2 · A 3 =

(f) A 5 · A 6 ∈ M 3 x 3

A 5 · A 6 =

a b

c d

4 a + 4c − 3 b − 3 d − 2 a − 2 c + 2b + 2d

12 a + 16c − 9 b − 12 d − 6 a − 8 c + 6b + 8d

resolent: a = 5, b = 6, c = 7, d = 8, per tant:

X =

També el podriem resoldre fent: X =

5. Trobar les matrius commutables amb la matriu A, vol dir trobar matrius X tal

que X · A = A · X. Com A ∈ M 3 x 3 ⇒ X ∈ M 3 x 3 , per tant:

A =

 ; X =

a b c

d e f

g h i

 (^) imposant el que volem

X ·A = A·X =

a b c

d e f

g h i

a b c

d e f

g h i

0 a b

0 d e

0 g h

d e f

g h i

0 0 0

resolent: a = e = i, b = f, d = g = h = 0 per tant:

X =

a b c

0 a b

0 0 a

comprovem-ho:

X · A =

a b c

0 a b

0 0 a

0 a b

0 0 a

0 0 0

A · X =

a b c

0 a b

0 0 a

0 a b

0 0 a

0 0 0

6. Ens demanen el mateix que en el problema anterior, trobar matrius X tal que

X · A = A · X. Com A ∈ M 3 x 3 ⇒ X ∈ M 3 x 3 , per tant:

X ·A = A·X =

a b c

d e f

g h i

a b c

d e f

g h i

b b 0

e e 0

h h 0

a + d b + e c + f

0 0 0

resolent: a = e − d, b = h = 0, f = −c per tant:

X =

e − d 0 c

d e −c

g 0 i

comprovem-ho:

X · A =

e − d 0 c

d e −c

g 0 i

e e 0

0 0 0

A · X =

e − d 0 c

d e −c

g 0 i

e e 0

0 0 0

7. Calculem les matrius 2x2 que verifiquin A

2 = A, es a dir:

A · A = A =

a b

c d

a b

c d

a b

c d

a 2

• bc ab + bd

ca + dc bc + d 2

a b

c d

resolent: a 2 +bc = a, ab+bd = b, ca+dc = c, bc+d 2 = d ens surten aquestes

solucions:

Sol 1: a = 1 − d, b = b, c =

d(1−d) b , d = d.

Sol 2: a = 1, b = 0, c = c, d = 0.

Sol 3: a = 0, b = 0, c = 0, d = 0.

Sol 4: a = 0, b = 0, c = c, d = 1.

Ho podeu comprovar com exercici.

i després desenvolupem per la quarta fila. Obtenint:

f) Fem el mateix que abans, canviem les files 2 , 3 i 4 per elles mateixes menys

la primera fila: f 2 ← f 2 − f 1 , f 3 ← f 3 − f 1 , f 4 ← f 4 − f 1

fem f 3 ← f 3 − 2 · f 2 , f 4 ← f 4 − 3 · f 2 =

fem f 4 ← f 4 − 3 · f 3 i usem que el determinant d’una matriu triangular és

el producte dels elements de la seva diagonal =

g)

h)

= 0 i)

9. a)

x 3 8 27 − 64

x 2 4 9 16

x 2 3 − 4

1 1 1 1

= 0 ⇔ − 42 x 3

• 42x 2
• 558x − 1008 = 0

⇔ −x

3

• x

2

• 14x − 24 = 0 ⇔ x = − 4 , 2 , 3

b)

x 2 x + 1 2 x + 1

2 x + 1 3 x − 1 4 x

3 x − 1 4 x 6 x − 1

= 0 ⇔ − 6 x

2

• 3x = 0 ⇔ x = 0,

1 2

c)

3 − 1 x

= 0 ⇔ − 12 x + 180 = 0 ⇔ x = 15

10. a)

b)

c) Canviem les columnes 2 , 3 , 4 i 5 per elles mateixes menys la columna

anterior: c 2 ← c 2 − c 1 , c 3 ← c 3 − c 2 , c 4 ← c 4 − c 3 , c 5 ← c 5 − c 4

fem c 3 ← c 3 −c 2 , c 4 ← c 4 −c 3 , c 5 ← c 5 −c 4 =

seguim aplicant el mateix procediment, fins obtenir una matriu diagonal:

11. Són certes.

a)

a + b a a

a a + b a

a a a + b

= 3ab

2

• b

3 = b

2 · (3a + b)

b)

a − b − c 2 a 2 a

2 b b − a − c 2 b

2 c 2 c c − a − b

= 6abc + 3ab

2

• a

3

• 3ac

2

• 3b

2 c + b

3

• 3ba

2

• 3bc

2

• 3ca

2

• c

3 = (a + b + c)

3

(e)

− 1

14. (a) rg

(b) rg

(c) rg

(d) Apliquem Gauss: rg

 (^) = rg

rg

 (^) = rg

(e) Apliquem Gauss: rg

= rg

rg

(f) Apliquem Gauss: rg

= rg

rg

= rg

15. Determina el rang de les següents matrius en funció del paràmetre a:

(a) det(A) = − 2 a + 2; − 2 a + 2 = 0 ⇔ a = 1

A =

1 a 1

2 3 4

a = 1 ⇒ rg(A) = 2

a 6 = 1 ⇒ rg(A) = 3

(b) det(B) = −a

3 − a + 2; −a

3 − a + 2 = 0 ⇔ a = 1

B =

a 1 0

2 2 a

1 a − 1

a = 1 ⇒ rg(B) = 2

a 6 = 1 (det(B)) 6 = 0 ⇒ rg(B) = 3

Si apliquem Gauss tindrem:

rg

a 1 0

2 2 a

1 a − 1

 (^) = rg

1 a − 1

2 2 a

a 1 0

 (^) = rg

1 a − 1

0 2 a − 2 − 2 − a

0 a

2 − 1 −a

rg

1 a − 1

0 2 a − 2 − 2 − a

0 0 2 − a

3 − a

(d) Tenim det(A) = − 64 6 = 0, rg(A) = (A|b) = 3 = nombre de incòg-

nites, aplicant el T.R-F ⇒ sistema compatible determinat. Resolent-t’ho

obtenim:

x = 5, y = 7, z = 3

(e) Tenim det(A) = − 8 6 = 0, rg(A) = (A|b) = 4 = nombre de incògnites,

aplicant el T.R-F ⇒ és un sistema compatible determinat. Resolent-t’ho

per Gauss:

(1) canviem les files 2 , 3 i 4 : f 2 ← f 1 − f 2 , f 3 ← f 1 − f 3 ,

f 4 ← f 1 − f 4

(2) f 3 ↔ f 4 , f 4 ← f 2 − f 4 ; ∼ 2

(3)f 4 ← f 3 + f 4

Té per solució: x = 2, y = − 1 , z = 4, t = − 5.

(f) Tenim det(A) = 160 6 = 0, rg(A) = (A|b) = 4 = nombre de incòg-

nites, aplicant el T.R-F ⇒ sistema compatible determinat. Resolent-t’ho

obtenim:

x = 2, y = 3, z = 8, t = 4

(g) Tenim det(A) = 4 6 = 0, rg(A) = (A|b) = 3 = nombre de incògnites,

aplicant el T.R-F ⇒ és un sistema compatible determinat. Resolent-t’ho

per el mètode de Cramer obtenim:

x =

det(A)

, y =

det(A)

z =

det(A)

Per tant, la solució és: x = 4, y = 3, z = 5

17. (a) Tenim det(A) = 64 6 = 0, rg(A) = (A|b) = 3 = nombre de incòg-

nites, aplicant el T.R-F ⇒ sistema compatible determinat. La solució és:

x = − 1 , y = 5, z = 2

(b) Tenim det(A) = − 37 6 = 0, rg(A) = (A|b) = 3 = nombre de incògnites,

aplicant el T.R-F ⇒ sistema compatible determinat. Resolent-t’ho per el

mètode de Cramer obtenim:

x =

det(A)

, y =

det(A)

z =

det(A)

Per tant, la solució és: x = y = z = 1

(c) Apliquem Gauss, posant la tercera equació a la primera fila:

(b) Usem el problema 15. c)

det(M ) = a 3 − 3 a+2; det(M ) = 0 ⇔ a = 1, −2 (M |b) =

a 1 1 1

1 a 1 2

1 1 a 3

llavors:

a = 1 ⇒ rg(M ) = 1 6 = 2 = rg(M |b) ⇒ S.Incomp

a = − 2 ⇒ rg(M ) = 2 6 = 3 = rg(M |b) ⇒ S.Incomp

a 6 = 1, − 2 ⇒ rg(M ) = 3 = rg(M |b) ⇒ S.C.Det

(c) Usem el problema 15 .a)

det(M ) = − 2 a + 2; det(M ) = 0 ⇔ a = 1 (M |b) =

1 a 1 0

2 3 4 2

llavors:

a = 1 ⇒ rg(M ) = 2 6 = 3 = rg(M |b) ⇒ S.Incomp

a 6 = 1 ⇒ rg(M ) = 3 = rg(M |b) ⇒ S.C.Det