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Guía de Problemas Resueltos

en Electromagnetismo

Universidad Nacional de Colombia, Sede Manizales

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de Física

Profesor Hernán Vivas C.

II

Introducci´on

El electromagnetismo es probablemente el ´area de la F´ısica m´as estudiada y tal vez la mejor entendida en la actualidad. Sin embargo, el an´alisis de cualquier fen´omeno en esta rama de la ciencia exige en primera instancia cierto entrena- miento previo en las t´ecnicas de c´alculo vectorial y de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, las cuales eventualmente desplazar´ıan a un segundo plano la interpretaci´on del mismo. En esta entrega de Gu´ıa de Problemas Resueltos en Electromagnetismo, se pretende ilustrar con detalle los desarrollos nece- sarios para la soluci´on de problemas de nivel intermedio y superior, adem´as de proporcionar una discusi´on en t´erminos sencillos y consistentes desde el punto de vista f´ısico en la mayor´ıa de los casos. Se estudian de forma autocontenida las t´ecnicas de funciones de Green, el m´etodo de las im´agenes, soluciones en t´erminos de funciones especiales, el m´etodo de d’ Alembert para la propagaci´on de ondas en l´ıneas de transmisi´on, entre otras. Este producto es el resultado de m´ultiples discusiones en grupos de trabajo en donde participaron colegas y estudiantes, asi como de la experiencia docente en los a˜nos recientes. Cualquier comentario o error en el material de estudio puede ser remitido al autor a: [email protected], ´o [email protected].

El autor Manizales (Col.), 2013

´Indice general

1. Electrost´atica 3
2. Ley de Gauss 27
3. Potencial El´ectrico 47
4. Corriente El´ectrica 119
5. Magnetismo 141

I Addendum: Problemas Adicionales 227

Cap´ıtulo 1

Electrost´atica

Figura 1.1: Charles de Coulomb

Charles de Coulomb. 1736-1806. F´ısico franc´es quien realiz´o experimentos con una balanza de torsi´on el cual invent´o independientemente de Priestley. Sus investigacio- nes lo condujeron a sugerir que exist´ıan dos “fluidos”de electricidad y dos de magnetismo. Demostr´o que ambas fuerzas eran inversas al cuadrado de la distancia, y estableci´o que ´estas eran consecuencia de fen´omenos independientes. La dependencia al inverso del cua- drado de la distancia se conoce como Ley de Coulomb, a pesar de que ´esta fue previamente expuesta por Jhon Robinson. Fuente: http://scienceworld.wolfram.com/biography/Coulomb.html

1.1 Propiedades de la carga [1],[2]

◃ La carga es la fuente y el objeto de acci´on del campo electromagn´etico.

◃ El campo es el portador material de las interacciones electromagn´eti- cas de las cargas, es la forma de la materia. 3

◃ Las cargas, los campos y las fuerzas existen en una relaci´on indisoluble con el espacio, el tiempo y el movimiento de la materia.

◃ Para entender esta relaci´on mutua, es necesario comprender la cone- xi´on entre el espacio, el tiempo y movimiento.

◃ Dos cuerpos con la misma clase de electrizaci´on (Positiva o Negati- va) se repelen, pero si tienen diferentes clases de electrizaci´on (una positiva y otra negativa), se atraen.

◃ En cualquier proceso en un sistema aislado, la carga total o neta no cambia. (Principio de conservaci´on de la carga.)

◃ La carga est´a cuantizada. (Experimento de Millikan, 1909).

1.2 Acci´on del campo Electromagn´etico Es necesario definir la validez del rango de interacci´on electromagn´eti- ca: Clasificaci´on habitual del espectro electromagn´etico.

⋄ Radiofrecuencia: Km > λ ≥ 0 ,3m, ν ≤ 109 Hz; Energ´ıa de los foto- nes ε: 10−^3 eV. Sistemas de Radio y TV.

⋄ Microondas: 0,3m ≥ λ ≥ 10 −^3 m, 10^9 ≤ ν ≤ 3 × 1011 Hz, 10−^5 ≤ ε ≤ 10 −^3 eV, (UHF). Radares, Sistemas de comunicaciones, espectroscop´ıa at´omica.

⋄ Espectro Infrarrojo: 10−^3 m ≥ λ ≥ 7 , 8 × 10 −^7 m.(7800˚A). 3× 1011 ≤ ν ≤ 4 × 1014 Hz, 10−^3 ≤ ε ≤ 1 ,6eV. Infrarrojo lejano: 10−^3 − 3 × 10 −^5 m. Infrarrojo medio: 3 × 10 −^5 − 3 × 10 −^6 m. Infrarrojo cercano: 7, 8 × 10 −^7 m. Ondas producidas por cuerpos ca- lientes y vibraciones moleculares.

⋄ Luz o Espectro visible. Longitudes de onda para las cuales la retina humana es sensible: 7, 8 × 10 −^7 m ≥ λ ≥ 3 , 8 × 10 −^7 m, 4 × 1014 ≤ ν ≤ 8 × 1014 Hz. 1, 6 ≤ ε ≤ 3 ,2eV.

⋄ Rayos UV. 3, 8 × 10 −^7 ≥ λ ≥ 6 × 10 −^10 m, 8 × 1014 ≤ ν ≤ 3 × 1017 Hz. 3eV ≤ ε ≤ 2 × 103 eV. Ondas producidas por ´atomos y mol´eculas en descargas el´ectricas en la ionosfera, (80 Km sobre la superficie terrestre).

E 0 energ´ıa del electr´on en reposo fuera del conductor, en el vac´ıo, EF es la energ´ıa de Fermi asociada a la ocupaci´on de los electrones en el sistema a T = 0, contenida en la distribuci´on de Fermi-Dirac:

f (E, T ) =

1 + exp {(E − EF ) /KB T }

Es de resaltar que la energ´ıa de Fermi EF es una cantidad que depende de la temperatura. Esta dependencia puede calcularse considerando el n´umero de estados cu´anticos que se pueden encontrar en el elemen- to de volumen en el espacio de momentos dVp, para un sistema de electrones en 3D, con interacci´on de corto alcance: [3]

g 3 D (ε) dε =

2 πV h^3

m^3 /^2

εdε. (1.4)

El n´umero de part´ıculas, para un cont´ınuo de niveles (dentro de la aproximaci´on adoptada), est´a dado por:

N = const =

0

g (ε) f (ε) dε. (1.5)

Considerando valores de ε < EF , la funci´on de distribuci´on de Fermi- Dirac tiene un valor aproximado de 1 (f (ε) ≈ 1), cuando T = 0, y f (ε) = 0, para ε > EF. De esta forma, la integral (1.5) puede resolverse f´acilmente para el c´alculo de la energ´ıa de Fermi a 0K:

N V

2 πm^3 /^2

[

EF (0)

] 3 / 2

3 h^3

, EF (0) =

h^2 8 m

( 3 N

πV

En un gas bidimensional de part´ıculas libres, se puede demostrar, mediante los m´etodos utilizados para derivar (1.4), que la densidad de estados es: g 2 D (ε) dε =

4 πmS h^2 dε, (1.7)

la cual es independiente de la energ´ıa. S representa el ´area de ocupa- ci´on de las part´ıculas en dos dimensiones. Resolviendo (1.5), la energ´ıa de Fermi en funci´on de la temperatura est´a dada por:

EF (T ) = KB T ln

[

exp (EF 0 /KB T ) − 1

]

, EF 0 =

N h^2 4 πmS

Electrost´atica 7

La magnitud de los campos que act´uan sobre los electrones de la superficie, en una capa de dimensiones moleculares d ∼ 10 −^10 m: | Eef f |∼ Φ/ | e | d ∼ 1010 V/m. Reemplazando Φ en esta ´ultima relaci´on, Eef f → Eef f (T ). Las fuerzas que arrastran los electrones hacia el interior del cuerpo son mayores para aquellos cuerpos con mayor trabajo de salida: (Fe ∝ Φ). Despu´es de unir las superficies, comienza la transici´on de los electrones del cuerpo con menor trabajo de salida al cuerpo con mayor trabajo de salida, como resultado, el primer cuerpo adquiere carga positiva, y el segundo carga negativa. (Ver Figura 1.2).

Figura 1.2: Diagrama esquem´atico de los niveles de energ´ıa de dos metales en contacto y en equilibrio termoi´onico, (EF 1 = EF 2 ).

En estado de equilibrio, las superficies ganan una carga igual en mag- nitud y de signo opuesto. Se establece una diferencia de potencial, llamada de contacto:

| ∆ϕ |=

| e |

En secciones posteriores se describir´a las propiedades generales del contacto metal-diel´ectrico y diel´ectrico-diel´ectrico.

Electrost´atica 9

Figura 1.3: Diagrama vectorial de las fuerzas de interacci´on de dos cargas pun- tuales.

la carga Qi es de la forma:

Ej =

KQi r^2 ij

rij | rij |

de esta forma, la fuerza entre las cargas se calcula en t´erminos del campo el´ectrico como: Fij = Qj Ej. La acci´on de una carga sobre la otra se divide en:

− La carga puntual Q crea en el espacio que la rodea un campo el´ectrico, cuya intensidad es: E (r) =

KQ

r^2 Ubr, (1.12)

en donde Ubr es un vector unitario en la direcci´on desde el lugar que ocupa Q hasta el punto en donde se determina la intensidad del cam- po.

− La carga puntual Q 0 experimenta una fuerza proporcional al campo el´ectrico: F = Q 0 E.

1.7 Distribuci´on discreta y cont´ınua de carga. El c´alculo del campo el´ectrico resultante en el punto P producido por una configuraci´on de cargas discretas en reposo, se efect´ua a trav´es de la suma vectorial de cada uno de los aportes generados por cada carga:

EP = E 1 + E 2 + E 3 + · · · + En =

∑^ n

i=

Ei =

∑^ n

i=

KQi r i^2

U^ bri. (1.13)

Figura 1.4: Diagrama vectorial de las fuerzas entre dos cargas puntuales.

Si la configuraci´on de las cargas el´ectricas forman una distribuci´on cont´ınua que ocupa un volumen Ω, entonces el campo el´ectrico en un punto P localizado en las afueras de Ω est´a dado por:

EP =

4 πε 0

Ω

dQ | R − r |^2

(R − r) | R − r |

en donde R y r son las construcciones vectoriales representadas en la figura 1.5.

dQ es el elemento diferencial de carga, definido seg´un el espacio en el cual sea distribuida:

Problema 1.3: Un electr´on se proyecta a un ´angulo θ sobre la horizontal y a una velocidad v, en una regi´on en donde el campo el´ectrico es E = E 0 j N/C. Ignore los efectos del campo gravitacional. Determine: (a) El tiempo que tarda el electr´on en regresar a su altura inicial, (b) La altura m´axima que alcanza, (c) Su desplazamiento horizontal cuando alcanza su m´axima altura. R: (a) τ = 2mv sin θ/eE 0. (b) Ym = mv^2 / 2

sin^2 θ/eE 0

(c) Xm = mv^2 /2 (sin 2θ/eE 0 ).

Problema 1.4: Dos cargas puntuales se mantienen fijas sobre el eje X. Una posee carga −Q 1 (C) en la posici´on x = −x 1 bi (m), y la otra con carga +Q 2 (C) en la posici´on x = x 2 bi. Encontrar un punto en donde sea posible colocar una tercera carga q y que ´esta no experimente fuerza neta. R: Con respecto al origen de coordenadas: x = x^2 ±

Q 1 /Q 2 x 1 1 ∓

Q 1 /Q 2.

Problema 1.5: Anillo cargado. Un anillo de radio a posee una carga positiva uni- forme por unidad de longitud, con carga total Q. Calcular el campo el´ectrico a lo largo del eje del anillo en un punto P que se encuentra a una distancia x desde el centro del anillo. R: EP (x) = KQx/

a^2 + x^2

( bx. (Utilizar Ec. 1.14). Si^ a >> x,^ Ex^ ≈ KQ/a^3

x. Un electr´on de masa m y carga − | e | ubicado a una peque˜na distancia x sobre el eje del anillo, experimentar´a M.A.S. con una frecuencia ω =

K | e | Q/a^3 m.

Problema 1.6: Dos peque˜nas esferas id´enticas poseen masa m y carga q. Cuando se colocan en un taz´on esf´erico de radio R con paredes no conductoras sin fricci´on, las esferas se desplazan hasta que en la posici´on de equilibrio est´an separadas una distancia R. Determinar la carga en cada esfera. R: q =

mgR^2 /

3 K

. Sugerencia: Construir el diagrama de fuerzas que involucre la normal (N), el peso (mg) y la fuerza electrost´atica (Fe). Considerar la geometr´ıa.

Problema 1.7: Disco cargado (I). Un disco de radios a y b (a < b) posee una car- ga uniforme por unidad de ´area σ. Calcular el campo el´ectrico en un punto P que se encuentra a lo largo del eje central del disco y a una distancia x desde su centro. R: Se utiliza el resultado del ejemplo 1.2, planteando un diferencial de campo el´ectrico dE = Kx/

x^2 + r^2

dQxb, dQ = 2πσrdr, utilizando

Electrost´atica 13 ∫ rdr/

x^2 + r^2

x^2 + r^2. El resultado final es: E = 2πσKx

[(

x^2 + a^2

x^2 + b^2

)− 1 / 2 ]

bx. El c´alculo del campo el´ectri- co de un plano cargado “infinito”, puede realizarse considerando a = 0, b >> x, as´ı E ≈ 2 πσKbx.

Problema 1.8: Una bola de corcho cargada de masa m est´a suspendida de una cuerda ligera en presencia de un campo el´ectrico uniforme E. Cuando E = Ex Ubx + Ey Uby N/C, la bola se encuentra en equilibrio formando un ´angulo θ con respecto a la vertical. Hallar:

(a) La carga de la bola,

(b) La tensi´on en la cuerda. R: (a) mg/

Ex cot θ + Ey

, (b) mgEx/

Ex cos θ + Ey sin θ

Problema 1.9: Se colocan cuatro cargas puntuales iguales +Q en las esquinas de un cuadrado de lado a. Determinar la intensidad del campo el´ectrico en:

(a) El centro del cuadrado.

(b) Uno de los v´ertices.

(c) En el punto medio de uno de los lados. R: (a) E = 0, (b) (Sobre el v´ertice superior derecho, con el origen de coordenadas en v´ertice inferior izquierdo) E = KQ/a^2

)( b Ux+ Uby

(c) | E |= 16KQ/ 5

5 a^2.

Problema 1.10: Filamento Cargado I. Un filamento semi-infinito posee una den- sidad de carga uniforme λ+^ yace sobre el eje de las X positivas. Determine el campo el´ectrico en los puntos sobre el eje Y. R: Suponiendo que el alambre semi-infinito tiene su origen en el origen de coordenadas, dE =

[

Kλ+dx/

x^2 + y^2

) 3 / 2 ] (

y Uby − x Ubx

. Integrando en el intervalo { 0 , ∞}: | Ex |=| Ey |= Kλ+/y. La magnitud del campo el´ectrico: | E |=

2 Kλ+/y.

Problema 1.11: Filamento cargado II. Dos barras delgadas de longitud L se en- cuentran a lo largo del eje x, una entre x = a/2 y x = a/2 + L y la otra entre x = −a/2 y x = −a/ 2 − L. Cada barra tiene una carga positiva Q distribuida uniformemente. (a) Calcule el campo el´ectrico producido por la

Electrost´atica 15

direcci´on y sentido que hace retardar su movimiento. (a) Qu´e distancia avanzar´a el electr´on antes de detenerse moment´aneamente? (b) Qu´e tiempo habr´a transcurrido? (c) Si la regi´on donde est´a presente el campo el´ectrico fuera de s´olo 8 mm de ancho, cu´al es la fracci´on de energ´ıa cin´etica que desaparece en el proceso? R: (a) Cuando el electr´on ingresa a la zona del campo el´ectrico experimenta una fuerza que se igua a − | e | E. Su desaceleraci´on est´a dada por: a = − | e | E/m, y la distancia que recorre es, en un Movimiento uniformemente Acelerado:

D =

v 02 2 a

mv^20 2 eE = 7,12cm.

(b) El tiempo transcurrido es: τ = v 0 /a = 28,5 ns. (c) El porcentaje de energ´ıa cin´etica disipada en el proceso est´a asociada al cambio de energ´ıas antes y despu´es de atravesar la regi´on del campo:

∆K =

mv^20 2

mv f^2 2 = eEd.

El porcentaje de energ´ıa disipada: 2eEd/mv^20 = 11,2 %.

Problema 1.14: Disco cargado (II). Determine el campo el´ectrico en el eje Z producido por un disco de radio a que est´a en el plano XY con centro en el origen, y cuya densidad de carga es σ (r) = σ 0

r/a

R: Utilizando

∫ (^) a 0 drr

(^3) /(r (^2) + z 2 )^3 /^2 = − 2 z + (a (^2) + 2z 2 )^ /√a (^2) + z (^2) , E = 2πKσ 0 a−^2 z

− 2 z +

a^2 + 2z^2

a^2 + z^2

bz.

Problema 1.15: Se colocan tres cargas puntuales, dos de ellas +q y una −q en los v´ertices de un tri´angulo cuyos lados miden l. Calcular el campo el´ectrico en el centro del tri´angulo. R: La magnitud del campo el´ectrico es: | E |= 6Kq/l^2.

Problema 1.16: Un tramo semi-circular de alambre posee una densidad de carga λ (θ) = λ 0 sin θ, en donde θ es cero en el punto medio del alambre. Determine el campo el´ectrico en el centro del c´ırculo. R: E = −πKλ 0 / 2 Rbj.

Problema 1.17: Una varilla de masa m = 0 ,75Kg, densidad de carga λ+^ = 1 , 5 μC/m y longitud L = 1,2m, se fija en un pivote sin fricci´on a una su- perficie vertical, plana e “infinita”, en donde reside una densidad de carga uniforme σ = 8, 5 μC/m^2. (Probl. 85, cap 24 [6]).

(a) Calcular el ´angulo que subtiende esta varilla con respecto a la vertical. (b) Qu´e fuerza ejerce el pivote?. R: (a) Utilizando el resultado del ejemplo anterior, el elemento de fuerza so- bre un elemento de carga dq es dF = dqE = dq ×

σ/ 2 ε 0

bx. El diferencial de carga: dq = λdl, dl = csc ϕdx. Se calcula el elemento diferencial de momen- tum con respecto al punto de giro O: dMO^ = l cos ϕ (dF ) bz − l sin ϕ (dW ) bz, en donde l = x csc ϕ es una distancia arbitraria en el intervalo { 0 , L}. Inte- grando MO^ =

[

(σλ/ 2 ε 0 ) cos ϕ − (mg/L) sin ϕ

]

L^2 / 2 bz. La condici´on de equi- librio est´atico MO^ = 0 conduce a la ecuaci´on para el ´angulo ϕ: tan ϕ = σλL/ 2 mgε 0. (b) La magnitud de la fuerza sobre el pivote es: Fp =

(mg)^2 + (σλL/ 2 ε 0 )^2.

Problema 1.18: Calcular el momento dipolar de una capa esf´erica de radio a con densidad superficial de carga σ (θ) = σ 0 cos θ, en donde θ es el ´angulo polar. R: El momento dipolar el´ectrico se define por: p =

Ω rdQ^ en donde^ r es el vector posici´on desde el origen de coordenadas al elemento de carga dQ. r = a Ubr, dQ = σ (θ) a^2 sin θdϕdθ. Considerando Ubr = sin θ cos ϕi + sin θ sin ϕj + cos θk e integrando sobre toda la capa esf´erica:

p =

πa^3 σ 0 k.

Problema 1.19: Obtener el campo el´ectrico en el interior de una esfera de radio a polarizada uniformemente y con vector de polarizaci´on P. R: La densidad de carga superficial sobre la esfera asociada a la polarizaci´on el´ectrica se define como σ (θ) = P · nb = P cos θ, (1.15) en donde bn es el vector unitario normal exterior sobre la superficie de la esfera, y θ corresponde al ´angulo entre el P y bn. Si consideramos que la esfera est´a polarizada con P en direcci´on +z, el campo en el centro de la misma est´a dado por:

E = 2K

S

σ (θ) cos θdS a^2 (−k).

Integrando sobre el elemento de ´area dS = a^2 sin θdϕdθ, obtenemos:

E = −

P

3 ε 0