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Problemas resueltos
1. -Define campo eléctrico y potencial eléctrico en un punto. Deduce las unidades de ambas magnitudes en el Sistema Internacional de Unidades. i) Campo eléctrico Campo eléctrico en un punto P es la fuerza por unidad de carga que actúa sobre una carga eléctrica q puesta en dicho punto.
De la definición se deduce que la unidad del campo eléctrico es N/C. ii) Potencial eléctrico de un punto Potencial eléctrico de un punto P es el trabajo mínimo necesario para transportar la unidad de carga desde un punto A al que se le asocia potencial eléctrico cero voltios hasta el punto P.
]
q
w sobrec aq V (^) P A P → ( arg^ ) = De la definición se deduce que la unidad del potencial
eléctrico es J/C (Julio/Culombio). Esta unidad recibe el nombre de voltio y su símbolo es V.
2.- Enuncia el Principio de superposición del campo eléctrico. Ayúdate de una figura en la que haya cargas positivas y negativas con un mínimo de tres cargas.
El Principio de superposición establece que el campo eléctrico originado por varias cargas eléctricas en un punto P es la suma vectorial de los campos eléctricos originados por cada una de las cargas.
En la figura se tienen tres cargas eléctricas: q 1 ,q 2 y q 3 ; siendo las dos primeras positivas y la tercera, negativa. El vector campo eléctrico en el punto P es la suma vectorial de los campos individuales originados por las cargas. Etotal E 1 E 2 E 3
r r r r = + +
3 .-Una carga eléctrica q=-2,0·10-7C situada en un punto A, está sometida a una fuerza
F 4 , 0 · 103 i ( N )
r (^) − v = .Determina el campo eléctrico en A.
Solución
2 , 0 · 10 ( / ) 2 , 0 · 10
7
3 i N C
i q
F
E
r
r r r =− −
−
5 .-En una región del espacio hay un campo eléctrico uniforme E 10. 000 j ( N / C )
r (^) r =. Calcula la fuerza que actúa sobre cada una de las siguientes cargas: q 1 =+2,0·10-6C ; q 2 =- 3,0·10-7C. Solución
F 1 (^) q 1 · E 2 , 0 · 106 · 10000 j 2 , 0 · 102 j ( N )
v r − r − r = = = F 2 (^) q 2 · E 3 , 0 · 106 · 10000 j 3 , 0 · 102 j ( N )
v r − r − r = =− =−
q
F
E
sobreq
v v =
Problemas resueltos
4 .-Se tiene una carga eléctrica q=-2,0·10-6^ C en el origen O de coordenadas: Halla los vectores campo eléctrico en A y en B. Solución El vector campo eléctrico en A tiene por expresión k·q/rA^2 , que es el cociente entre la fuerza ejercida sobre una carga q’ puesta en A, kqq’/rA^2 , y la carga q’. Para expresar correctamente el campo eléctrico hay que multiplicar por el vector unitario i
r que va de O hacia A.
2 , 0 · 10 ( / ) 3 , 0
6 9 OA^2 i i N C
q EA k
v v r =−
−
Análogamente
4 , 5 · 10 ( / ) 1 , 5
6 9 OB^2 i j N C
q EB k
v (^) v r =−
−
5 .-Tres partículas con cargas iguales q=2,0 μC están situadas en tres de los vértices de un cuadrado de lado L=10 cm. a) Calcula el campo eléctrico (módulo, dirección y sentido) y el potencial eléctrico en el vértice A. b) Se pone una carga q'= -2,0 μC en A. ¿Qué fuerza actuará sobre la misma?.¿Cuál será su energía potencial? c) ¿Qué velocidad mínima que habría que suministrar a la carga q’ para que escapase de la atracción de las otras tres cargas si la masa es m=1,0·10-4^ kg? Solución a) Suponiendo un sistema de coordenadas cartesiano como se observa en la figura, el campo eléctrico originado por las cargas situadas en C,D y G en el punto A son:
j L
q E k
r r 1 =^2 ;^2 2 L 2 ( cos^45 i sen^45 j );
q E k
r r r = − + i L
q E k
r r 3 =^ − 2 ;
i L
q j k L
q i k L
q j k L
q E E E E k
r r r r r r r r (^1 )
2 (^1 i j^6 i j N C L
q E k
r (^) r r r r = + − + = − + ;
V
L
q k L
q k L
q VA k 4 , 9 · 105 2
b) F q '· E 2 , 0 · 106 · 3 , 1 · 105 ( i j ) 0 , 62 ( i j )
r r r r r r = =− −^ − + = − ; E (^) pot A = q ' V =− 2 , 0 · 10 −^6 · 4 , 9 · 105 =− 0 , 98 J
c) w (^) A ∞^ = Ecin ∞− EcinA ; E (^) pot A − Epot ∞ = Ecin ∞− EcinA ; -0,98-0=0-(1/2)1,0·10-4vA^2
En el infinito la energía potencial debido a la interacción de cada carga puntual es cero y la velocidad mínima en A corresponde a una velocidad nula en el infinito.
vA = 1 , 4 · 10 −^2 m / s
Problemas resueltos
Solución a) En la figura están representados los campos eléctricos producidos por las cargas q 1 y q 2 en el punto A. Los vectores son opuestos. La carga q 1 , positiva, origina un campo cuyo sentido es de la carga al punto A, mientras que la carga q 2 , negativa, origina un campo cuyo sentido es del punto a la carga.
i d
q E (^) A k
r r 2 1
1 1 =^ ;^ d i
q E (^) A k
r r 2 2
2 2 =^ ; siendo^ i
r un vector unitario orientado hacia la derecha.
i i i d
q E (^) A k
r (^) r r r 0 , 563 4
9 9 2 1
1 1 = = =
− ; i i i d
q E (^) A k
r (^) r r r 0 , 563 2
9 9 2 2
2 2 =−
−
E (^) A = E 1 A + E 2 A = 0 , 563 i +(− 0 , 653 i )= 0
r r r r r
b) V d
q k d
q VA k 1 , 125 2
9 9 9 9 2
2 1
=^1 + = + − =
− −
V
d
q k d
q VB k 1 , 176 13
9 9 9 9 2
2 1
=^1 + = + − =
− −
c) Supongamos que fuera P el punto solicitado, a distancia x de q 1 y distancia 2-x de q 2. Se cumplirá que: V 1 +V 2 =
0 2
− −
x
k x
k ; 2-x-0,25x=0; 2-1,25x=0; x=2/1,25=1/(5/4)=4/5=0,80 m
Si supusiésemos que el punto P estuviera a la derecha de la carga negativa q 2 , la ecuación sería:
− −
x
k x
k
Esta ecuación tiene por solución x=8/3=2,67 m. Éste es el segundo punto posible. d) El potencial de un punto es el trabajo mínimo necesario para trasladar la carga de 1 C desde el infinito al punto, luego el trabajo para trasladar 1 C desde el infinito hasta B es el potencial de B expresado en julios, w=(1 C)·VB= VB=1,176 J.
e) w BA = Epot , A − Epot , B = q 3 VA − q 3 VB = q 3 ( V (^) A − VB )= 2 , 0 · 10 −^6 ·( 1 , 125 − 1 , 176 )=− 5 , 1 · 10 −^8 J
7 .-Las cargas puntuales positivas de la figura son iguales y de valor 1,0·10-6C y están en dos de los vértices de dos cuadrados adjuntos de lado L=10 cm. Se pide: a) ¿En qué punto el campo eléctrico sería cero?. Justifícalo. b) Vector campo eléctrico creado por ambas cargas en B y potenciales eléctricos en A y B.
q
q
L A B
L
L L
L
L
L
2,0 m 2,0 m
3,0 m
A
B
q (^1) P q 2 E2A^ E1A
2,0 m 2,0 m
A
q (^1) q 2
x
x- 2
P
Problemas resueltos
Copia la figura y representa el vector campo eléctrico en B. c) ¿Cuál será la energía potencial de una carga q=2,0·10-6C en A y en B? d) Si la carga eléctrica anterior se mueve de A a B, ¿qué trabajo realizará el campo eléctrico entre ambos puntos?. e) ¿Qué trabajo es necesario realizar para desplazar una carga q 3 =+1,0 C desde el infinito hasta A?. Solución a) En el punto medio de las dos cargas los campos eléctricos son iguales y opuestos. La suma de dos vectores iguales en módulo y opuestos es cero. Luego el campo eléctrico es nulo en el punto medio de las dos cargas. b) El campo eléctrico en B será la suma vectorial de los campos eléctricos individuales originados por q 1 y q 2 en B.
j i j L
q i k L
q E (^) B EB E B k
r r r r r r r 2
6 9 2
6 9 2
2 2
1 (^1 20) , 1
− − = + = + = +
EB i j N C
r (^) r r = +
V
L
q k L
q VA k^5
6 9 6 9 2
− −
V
L
q k L
q VB k^5
6 9
6 (^1 291) , 35 · 10 0 , 1
− −
c) Epot de q en A=q·VA=2,0·10-6·1,54·10^5 =0,308 J Epot de q en B=q·VB=2,0·10-6·1,35·10^5 =0,270 J d) WA→B=Epot en A-Epot en B=0,308-0,270=0,038 J e) El trabajo necesario para trasladar una carga de 1,0 C desde el infinito hasta A, estableciendo previamente que en el infinito el potencial eléctrico es cero, es igual al valor del potencial eléctrico en A expresado en julios (J). Luego w∞→B=1,0·VB=1,54·10^5 J
q
q
L A B
L
L L
L
L
E E L
i
j
q
q
L A B
L
L L
L
L
L
