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Ejercicios resueltos matemáticas 2 de bachillerato anaya
Tipo: Ejercicios
1 / 46
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Resuelve
Página 33
■ Aquí tienes ahora, representados mediante flechas, los vuelos que permiten viajar el martes desde el país B anterior hasta otro país C : B C
C 1
C 2
B 1 B 2 B 3 B 4
Representa, mediante una tabla similar a la anteriormente descrita, la información recogida en el diagrama de vuelos entre los países B y C****.
B 1 C 2 B 1 3 2 B 2 1 0 B 3 1 0 B 4 0 2
Matemáticas II
1 Nomenclatura. Definiciones
Página 35
1 Escribe las matrices traspuestas de:
A = (^) f
p B^ =^
e o (^) C = (^) f
p
D = (^) f
p E^ =^ f
- (^) p F = ` 5 4 6 1 j
A t^ =
e o (^) ; B t^ =
f p ;^ C^ t^ =
f p ;
D t^ =
f p ;^ E^ t^ =
f – p ;^ F^ t^ =
f p
2 Escribe una matriz X tal que X t^ = X ; esto es, que sea simétrica.
Por ejemplo, X =
f p.
3 Escribe una matriz que describa lo siguiente:
f p
Matemáticas II
Página 40
1 Comprueba las propiedades 2 y 3 del producto de números por matrices, tomando:
a = 3, b = 6 A =
e o B =
e o
propiedad 2:
f
f f f
p
p p p
propiedad 3:
f + =
f
f
f
p f
p p
p p
Página 41
2 Comprueba las propiedades distributivas para las siguientes matrices:
A = (^) f
p B^ =^
e o (^) C =
f (^) f
f f
p
p p
p
p
f
e e e
e
o
p
o o
o
Matemáticas II
4 Matrices cuadradas
Página 43
1 Calcula, utilizando el método de Gauss, la inversa de cada una de las siguientes matrices en el supuesto de que la tengan:
a)
e o (^) b)
e o (^) c)
e o
a)
e o
(1.ª) – (2.ª) (2.ª)
e o
Así,
e o (^) =e o
b)
e o
(1.ª) (2.ª) – 3 · (1.ª)
e o
(1.ª) + (2.ª) (2.ª)
e o
(1.ª) – (2.ª) (–1/2) · (2.ª) (^) / /
e o
Así, / /
c)
e o
(1.ª) (2.ª) + 2 · (1.ª)
e o
En la parte de la izquierda, la 2.ª fila está compuesta por ceros.
Por tanto, la matriz
e o (^) no tiene inversa.
2 Calcula la inversa de cada una de las siguientes matrices o averigua que no la tiene:
a) (^) f
p b)^ f
p c)^ f
p
a)
f p
(1.ª) (2.ª) – 4 · (1.ª) (3.ª) – 7 · (1.ª)
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – 2 · (2.ª)
1 0 0
f p
En la parte de la izquierda, la 3.ª fila está compuesta por ceros.
Por tanto, la matriz
f p no tiene inversa.
b)
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) – (1.ª)
f p
(1.ª) – 3 · (3.ª) (2.ª) – 2 · (3.ª) (3.ª)
1 0 0
f – p
(1.ª) – 2 · (2.ª) (2.ª) (3.ª)
f – p
Así,
Matemáticas II
5 Encuentra dos matrices, A y B , de dimensión 2 × 2 que cumplan:
2 A + B =
e o A – B =
e o
= e
e o
o
4 Sumando: 3 A^ =^
e o (^) → A =
e o
e o (^) = e o e o (^) =e o
Solución: A = , B
e o e o
6 Encuentra dos matrices X e Y que verifiquen:
e o (^) X – Y =
e o
e + =
f f
o e
p p
o
4 4 Sumando: – Y^ =^
e o (^) → Y =
e o
e o (^) + = e o (^) + e o (^) =e o
Solución: X = , Y
e o (^) =e o
7 Averigua cómo ha de ser una matriz X que cumpla la siguiente condición:
e o e o (^) · X
x z
y t
x z
x y z t
x z
y t
x z z
y t t
x x z x y y t z z z t t
x t
z 0
4 4
Solución: X =
x y 0 x
Matemáticas II
8 Efectúa las siguientes operaciones con las matrices dadas:
e o (^) B =
e o (^) C =
e o
a) ( A · B ) + ( A · C ) b) ( A – B ) · C c) A · B · C
a) ( A · B ) + ( A · C ) =
e o e o e o (^) b) ( A – B ) · C = ·
e o e o (^) =e o
c) A · B · C = ·
e o e o (^) =e o
9 Dada la matriz A =
e o , comprueba que ( A – I )^2 = 0.
e o e o =e o
10 Halla la inversa de estas matrices:
a)
e o (^) b)
e o (^) c) (^) f
p d)^ f
p
a) · 8
x z
y t
x z x z
y t y t
x z x z
x z
y t y t
y t
Por tanto, la inversa es
e o (^).
b) · 8
x z
y t
x z x z
y t y t
x z x z
x z
y t y t
y t
Por tanto, la inversa es
e o (^).
c) · 8
a d g
b e h
c f i
a d g
b e h
c f i
f p f p =^ f p f p =f p
a = 1, b = 0, c = 0, 2 d = 0, 2 e = 1, 2 f = 0, g = 0, h = 0, i = 1
Por tanto, la inversa es /
f p.
d) · 8
a d g
b e h
c f i
f p f p =f p
a d g d g d g
b e h e h e h
c f i f i f i
f p =f p
a d g d g d g
a d g
b e h e h e h
b e h
c f i f i f i
c f g
4 4 4
Por tanto, la inversa es
f p.
Matemáticas II
5 Complementos teóricos para el estudio de matrices
Página 46
1 Considera u(7, 4, –2), v (5, 0, 6), w (4, 6, –3), a = 8, b = –5, elementos de Á^3 y de Á.
Comprueba las ocho propiedades que se enumeran arriba.
Página 48
Comprueba si los siguientes conjuntos de n -uplas son L.I. o L. D.
2 (3, 0, 0, 0), (0, 2, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (3, 2, 1, 4)
Aplicamos la propiedad fundamental: x (3, 0, 0, 0) + y (0, 2, 0, 0) + z (0, 0, 1, 0) + t (3, 2, 1, 4) = (0, 0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones: x t y t z t t
4 sus soluciones son:^ x^ = 0,^ y^ = 0,^ z^ = 0,^ t^ = 0
Por tanto, los vectores son L.I., pues la única combinación lineal de ellos que da lugar al vector cero es la que se obtiene con coeficientes todos nulos.
Matemáticas II
Aplicamos la propiedad fundamental:
x (3, 0, 0, 0) + y (0, 2, 0, 0) + z (0, 0, 1, 0) + t (3, 2, 1, 0) = (0, 0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al siguiente sistema de ecuaciones:
x t y t z t
4 sus soluciones son:^ x^ = –λ,^ y^ = –λ,^ z^ =^ λ,^ t^ =^ λ
Como hay soluciones distintas de la solución trivial, los vectores son L.D.
Aplicamos la propiedad fundamental:
x (2, – 4, 7) + y (1, 0, 2) + z (0, 1, 2) = (0, 0, 0) Operando, llegamos a:
(2 x + y , – 4 x + z , 7 x + 2 y + 2 z ) = (0, 0, 0) Esta igualdad da lugar al sistema:
x y x z x y z
4
Este sistema tiene como solución única x = 0, y = 0, z = 0. Por tanto, los vectores son linealmente independientes.
Explica por qué si en un conjunto de vectores está el vector cero, entonces son L.D.
x (1, 0, 0) + y (1, 1, 0) + z (0, 0, 0) = (0, 0, 0) Si hacemos x = 0, y = 0, z puede tomar cualquier valor, por tanto, los vectores son linealmente de- pendientes.
en la que x 1 = x 2 = … = xn – 1 = 0 y xn ≠ 0. Como no todos los coeficientes son nulos, los vectores son linealmente dependientes.
Matemáticas II
Ejercicios y problemas resueltos
Página 51
1. Matrices traspuestas
Hazlo tú. Comprueba que: ( A + B ) t^ Ct^ = At^ · C t^ + Bt^ · C t
e o , B =
e o , C =
f – p
( A + B ) t^ =
t (^) t
e o (^) + e oH (^) = e o (^) =f p
C t^ =
e o
( A + B ) t^ C t^ = ·
f p e^ o^ =f p
A t^ · C t^ = ·
f p e^ o^ =f p
B t^ · C t^ = ·
f p e^ o^ =f p
A t^ · C t^ + B t^ · C t^ =
f p +^ f p =f p
Hemos obtenido el mismo resultado, luego la igualdad es cierta.
2. Cálculo de los elementos de una matriz
Hazlo tú. Dada la matriz X = a 0 a
e o , calcula a para que X^2 – X =
e o.
a a
a a
a a
a 0 a
(^2 ) e o e o (^) =f 2 p e o (^) =
a a a a
f p
( ) ( )
a a a a
f p (^) =
a a a a a
e o 4
3. Operaciones con matrices
Hazlo tú. Halla los valores de a para los cuales X =
a 0
e o verifica la ecuación X^2 – 3 X + 2 I = 0.
a (^) a 0
(^2 ) e o (^) =f p
a a^ a a 0
f p e o e o f + p
a 3 a (^28) a a 8 a , a 0
2 2 1 2 f +^ p = e o + = = =
Matemáticas II
Página 52
5. Matrices conmutables
Hazlo tú. Dada la siguiente matriz:
A =
e o
obtén todas las matrices B que conmutan con ella.
La matriz B =
a c
b d
e o (^) ha de verificar A · B = B · A.
a c
b d
a c c
b d d
e o e o e o
a c
b d
a c
a b c d
e o e o e o
a c c
b d d
a c
a b c d
a c a b d a b c c d c d
e o e o (^4)
De la 1.ª ecuación y de la 4.ª ecuación obtenemos c = 0.
De la 2.ª ecuación obtenemos a = d.
Por tanto, B =
a b 0 a e o (^) , con a , b ∈ Á.
Página 53
6. Matriz inversa de sí misma
Hazlo tú. Prueba que si A^2 = A + I , entonces A es invertible (invertible es sinónimo de regular).
A^2 = A + I
A^2 – A = I → A ( A – I ) = I → A – I es la inversa de A , luego A es invertible.
7. Ecuación con matrices
Hazlo tú. Halla la matriz X que cumple AXA = 2 BA siendo A =
e o (^) y B =
e o.
Sea X =
a c
b d e o (^).
En la ecuación AXA = 2 BA multiplicamos en los dos miembros por A –1^ a la izquierda y a la derecha:
AXA = 2 BA → X = A –1^ · 2 BA · A –1^ → X = 2 A –1^ BI = 2 A –1^ B
A –1^ =
e o (^) =e o
e o e o =e o
Matemáticas II
Ejercicios y problemas guiados
Página 56
1. Matriz inversa igual a traspuesta
Dada la matriz A =
a b 0
f p , calcular los valores de a y b para que la matriz inversa de A coin-
cida con su traspuesta.
A –1^ = A t^ → AA –1^ = AA t^ → I = AA t
a b 0
f p →^ A^ t^ =
a b 0 0
f p
A · A t^ =
a b 0
f p ·
a b 0 0
f p =
a ab
ab b 0
2 f 2 + p
a ab
ab b
a ab b
a b 0
2 2
2
2
f p = (^) f p 4 = =
2. Ecuación con matrices
Calcular x, y, z tales que:
x
y z y
x z
e o (^) · f p (^) = e o
x^ ·^8
y z y
x z
y x yz
x yz x z
y x yz x z
2 2 2
2
2 2
e o f p f p e o (^4) → y = ±
x z x z
3 → x = 2, z = –1; x = –2, z = 1
x z x z
2 2
(^3) → x = –2, z = –1; x = 2, z = 1
Soluciones: x 1 = 2, y 1 = 2, z 1 = –
x 2 = –2, y 2 = 2, z 2 = 1 x 3 = –2, y 3 = –2, z 3 = –
x 4 = 2, y 4 = –2, z 4 = 1
Matemáticas II
3. Ecuación matricial
Determinar la matriz X que verifique AXA – B = 0, siendo:
A =
e o , B =
e o
y 0 la matriz nula de orden 2.
AXA – B = 0 → AXA = B → X = A –1^ BA –
Hallamos la inversa de A :
3 2
e o
(1.ª) 3 · (2.ª) + 2 · (1.ª)
e o
(1.ª) + (2.ª) (2.ª)
3 0
e o
(1.ª)/ –(2.ª)
e o (^) → A –1^ =
e o
e o e o e o =e o
4. Rango de una matriz
Estudiar el rango de la matriz M según los valores del parámetro t.
M = (^) f t t
p
M = t t
f p
(1.ª) (2.ª) – (1.ª) (3.ª) – (1.ª)
t t
f p
(1.ª) (2.ª) (3.ª) + 3 · (2.ª)
t
f – p
La tercera fila es L.D. de las otras dos, luego el rango no es 3.
Las dos primeras filas son L.I., independientemente del valor de t , luego ran ( M ) = 2 para cualquier valor de t.
5. Ecuación con infinitas soluciones
Dadas las matrices A =
e o (^) y B =
e o , hallar una matriz X tal que XAX–1 = B.
Llamamos X =
a c
b d e o (^).
a c
b d
BX
a c
b d a c
b d
a c a c
b d b d
f
f
e
f
f
f
p
p
o
p
p
p
4 Igualando obtenemos un sistema de ecuaciones.
a a c x a c b b d d b d
a a c c a c c^ a b b d d b d b d
4
Solución: X = ( / )
a a
b 2 3 b f p
De todas las posibles soluciones, podemos tomar a = 3 y b = 1, y obtenemos X =
e o (^).
Matemáticas II
d) ( A + B )( A – B ) = · ·
e) A^2 – B^2 =
2 2 e o e o = e o e o =e o
f ) ( A + B )^2 =
(^2 )
g) A^2 + B^2 + 2 AB = ·
e o + e o + e o e o = e o + e o =e o
3 Dada la matriz cuadrada A = (^) f
p, comprueba que ( A^ +^ I^ )^2 = 0 y expresa^ A^2 como
combinación lineal de A e I****.
f p +^ f p =f p ;^ ( A^ +^ I^ )^2 =^ ·
f p f p =f p
Expresamos A^2 como combinación lineal de A e I : ( A + I )^2 = 0 → ( A + I ) · ( A + I ) = A 2 + A + A + I = A^2 + 2 A + I = 0 → A^2 = –2 A – I
4 Dada la matriz A =
e o , averigua cuál de las siguientes matrices es su inversa:
e o (^) N =
e o
e o e o (^) =e o (^). M no es inversa de A.
e o e o (^) =e o (^). N es la inversa de A.
5 Halla las matrices inversas de A =
e o , B =
e o (^) y C = (^) f
p.
e o (^) ; | B | = – 4 → B –1^ = / /
e o (^) ; | C | = 1 → C –1^ =
f p
6 a) Dada la matriz A = (^) f
p, prueba que^ A^3 es la matriz nula.
b) Demuestra después que la matriz I + A + A^2 es la matriz inversa de I – A****.
a) A^2 =
f p ;^ A^^3 =^ A^^2 ·^ A^ =
f p
b) Veamos que I + A + A^2 es la inversa de I – A : ( I + A + A^2 ) ( I – A ) = I – A + A – A^2 + A^2 – A^3 = I – A^3 = I – 0 = I Como ( I + A + A^2 ) · ( I – A ) = I , entonces I + A + A^2 es la inversa de I – A.
Matemáticas II
7 a) Comprueba que A^2 = 2 A – I , siendo A = (^) f
p e^ I^ la matriz unidad de orden 3.
b) Utiliza la igualdad anterior para calcular A^4. a) A A · A
= (^) f =
f
p f f
p
p p
4 A^
b) Calculamos A^4 : A^4 = ( A^2 )^2 = (2 A – I )^2 = (2 A – I )(2 A – I ) = 4 A^2 – 2 A – 2 A + I^2 =
= 4(2 A – I ) – 4 A + I = 8 A – 4 I – 4 A + I = 4 A – 3 I =
f p f p =^ f p f p =f p
8 Dada la siguiente matriz: A =
f –^ – p ,^ prueba que se verifica^ A^3 +^ I^ = 0^ y utiliza esta
igualdad para obtener A^10.
2 f p =f p
f p f p =f p
f p +^ f p =f p →^ A^3 = – I
Por tanto:
A^4 = – I · A = – A A^5 = – A · A = – A^2
A^6 = – A^2 · A = – A^3 = I A^7 = A
A^10 = A^7 · A^3 = A · (– I ) = – A
