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Contiene ejercicios que se trabajan durante la semana
Tipo: Ejercicios
1 / 13
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a
y 0
P (^) w
b c
x
2
1 d
0
c
d d 2
d 1
Fig. 5. PROBLEMA 5.6 Determinar la deflexión y pendiente en el extremo B de la viga en voladizo de rigidez constante EI, mostrada en la figura 5.
B
Fig. 5. Solución:
Como la viga es isostática, entonces determinamos sus reacciones en el apoyo A (figura 5.23)
Fig. 5.
Su ecuación de deflexión será:
x 2 a
4
xa
0 2 0 3 4 (^0 024) EI
w(x 2 a) 24 EI
w(x a) 6 EI
Vx 2 EI
y y x Mx
Como y 0 0 , 0 0 por ser empotramiento perfecto en A, se eliminan ambos miembros, al igual
que el último, debido a que x> 2 a está fuera de la viga, quedando la ecuación de esta forma.
w(x a) 6 EI
wax 4 EI
y^3 wa^2 x^2 ^3 ^4
Luego, derivamos y obtenemos la pendiente.
w(x a) 2 EI
wax 2 EI
3 wa x dx
dy^ ^2 ^2 ^3
Determinamos las incógnitas requeridas:
(^) 24 EI
41 wa 24 EI
wa 6 EI
wa( 2 a) 4 EI
y y^3 wa^2 (^2 a)^2344 B x 2 a
7 wa 6 EI
wa 2 EI
wa( 2 a) 2 EI
3 wa 2 ( 2 a)^233 (^) B x 2 a
Como el signo es negativo, quiere decir que la pendiente va en sentido horario. PROBLEMA 5.7 Determinar la deflexión en C, si la rigidez de la viga es EI y las cargas externas aplicadas se muestran en la figura 5.
2 a
wa
w
a 2 a a
Fig. 5. Solución: Eliminamos los voladizos y lo reemplazamos por su carga y momento puntual (figura 5.25)
wa^2 wa^2
7wa 8
9wa 8
2 a
2 a
wa wa
Fig. 5.
w(x a) 6 EI
2 wa(x a) 2 EI
y y x M^0 x^234 0 0
Se sabe que y 0 0 y 0 0 por ser empotramiento perfecto y reemplazando el valor del
momento en dicho lugar, tenemos:
w(x a) 6 EI
2 wa(x a) 2 EI
y^2 wa^2 x^2 ^3 ^4
w(x a) 3 EI
wa(x a) EI
ywa^2 x^2 ^3 ^4
Luego:
w(x a) EI
wa(x a) EI
y'^ ^2 wa^2 x ^2 ^3
De esta manera:
(^) EI
7 wa 24 EI
w( 2 a) 3 EI
wa( 2 a) EI
y y wa^2 (^3 a)^2344 D x 3 a
2 wa^3 (^) C xa
Por ser signo negativo, la pendiente va en sentido horario. CASO (b): Efectuamos lo mismo que en el caso anterior, es decir, determinamos las reacciones, tal como se muestra en la figura 5.28 y escribimos su ecuación de la elástica.
2 w wa
a a
w
3 wa^22 2
3 wa Fig. 5.
w(x a) 24 EI
2 w(x a) 24 EI
2 w(x 0 ) 2 EI
wa (x a) 6 EI
Vx 2 EI
y y x M^0 x^20322444 0 0
Como y 0 0 y 0 0 , por ser empotramiento perfecto y reemplazando los valores del momento y
cortante en dicho lugar, tenemos:
w(x a) 12 EI
wx 2 EI
wa (x a) 2 EI
wax 4 EI
y^3 wa^2 x^2 ^3 ^2 ^2 ^4 ^4
Derivamos y obtenemos la ecuación de la pendiente, la cual es:
w(x a) 3 EI
wx EI
wa (x a) 2 EI
3 wax 2 EI
y'^ ^3 wa^2 x^2 ^2 ^3 ^3
Luego:
(^) 24 EI
19 wa 24 EI
wa 12 EI
w( 2 a) 2 EI
wa (a) 2 EI
wa( 2 a) 4 EI
y y^3 wa^2 (^2 a)^2322444 D x 2 a
wa 3 EI
wa 2 EI
3 wa 2 EI
3 wa 3 3 3 3 (^) C xa
La pendiente va una vez más en sentido horario, debido a que es negativo.
PROBLEMA 5.9 Determinar la deflexión yCy la pendiente D para la viga mostrada en la figura
2 a
wa
C
w
a a
D
wa^2
Fig. 5. Solución: Determinamos las reacciones de la viga (figura 5.30) y escribimos la ecuación de la elástica de la viga.
3
2 wa
2 a
wa w
a a
wa^2
3
7 wa
Fig. 5.
w(x 3 a) 24 EI
w(x a) 6 EI
(x 3 a) 3
7 wa
2 EI
wa (x a) 6 EI
x 3
2 wa y y x
4 4
3 2 2
3 0 0
Como el apoyo izquierdo es fijo, se tendrá que y 0 0 , quedando la ecuación de esta forma:
w(x 3 a) 24 EI
w(x a) 18 EI
7 wa(x 3 a) 2 EI
wa (x a) 9 EI
y x wax^322344 0
La ecuación de la elástica será:
w(x 0 ) 6 EI
x 2
wL
2 EI
y y x M x^4
3 A^2 0 0
wx 12 EI
wLx 2 EI
yMA^ x^2 ^3 ^4
Como el apoyo B es empotramiento, se tendrá:
y (^) B yxL 0 0 24 EI
wL 12 EI
wL 2 EI
M wL^2 A
En base al resultado obtenido, graficamos los diagramas de fuerza cortante y momento flector, que se muestran en la figura 5.
wL 12
V
REFUERZO
wL^2 12
2
wL 12
wL^2 12
2
wL 24
2
M
L
w
wL 2
wL 2 wL 2
wL 2
Fig. 5.
PROBLEMA 5.11 Resolver la viga mostrada en la figura 5.
2 a
A B^ C D
P 2Pa
2 a a
Fig. 5. Solución: Determinamos el grado de indeterminación de la viga.
G. I. 4 3 1 La viga es una vez hiperestática. Reemplazamos el apoyo C por su reacción y calculamos las reacciones en A y B, en función de la reacción en C (figura 5.35)
2Pa
Fig. 5.
La ecuación de la elástica será:
V(x 4 a) 6 EI
2 V (x 2 a) 2
2 Pa(x 2 a) 6 EI
x 2
y y x C^3
3 2 C
3 C 0 0
Por ser A un apoyo fijo, se tendrá quey 0 0
Además:
y (^) B yx 2 a 0 0 6 EI
( 2 a) 2
( 2 a)
C^3 0
( 2 a ) 2
C 0
PROBLEMA 5.12 Resolver la viga mostrada en la figura 5.
Fig. 5.
Solución: Determinamos el grado de indeterminación de la viga.
G. I. 4 3 1 La viga es una vez hiperestática.
Reemplazamos la reacción vertical en A por VA y calculamos el momento MA en función de VA,
tal como se muestra en la figura 5.
MA w
B A
L
Fig. 5.
V L wL A
2 A 2 M V L wL^2 A A
Luego, la ecuación de la elástica será:
wx 6 EI
V x 2 EI
x 2
V L wL y y x A^34
A^22 0 0
Como el apoyo A es empotramiento, se sabe que y 0 0 y 0 0 , quedando la ecuación de la
siguiente manera:
wx 6 EI
V x 2 EI
x 2
V L wL y A^34
A^22
Además, el apoyo B es movible, en consecuencia se tendrá que:
y (^) B yxL 0 0 24 EI
wL 6 EI
V L wL A^34
A^22
V^5 wL A
Luego:
5 wL B 8 V^3 wL B
Asimismo:
wL 2
wL 8
5 wL 2
M VL wL^2222 A A
En base a estos resultados, graficamos los diagramas correspondientes, los cuales se muestran en la figura 5.
w B A
L 5wL 8
V 5L/
wL 8
2
REFUERZO
9wL 128
2
wL 8
2
3wL 8 5wL 8
3wL 8
M
Fig. 5.
Resolvemos las ecuaciones (a) y (b), obteniendo:
VA 58 , 5 kN MA 63 kN.m
El sentido del momento en A, es el mismo que el mostrado en la figura 5. Determinamos las otras reacciones, es decir, las correspondientes al apoyo B, aplicando las ecuaciones de equilibrio de la estática.
VB 76 , 5 kN
MB 72 kN.m
El sentido del momento en B, es el mismo que el mostrado en la figura 5. Con los valores obtenidos graficamos los diagramas de fuerza cortante, momento flector y refuerzo, tal como se muestra en la figura 5.
15kNm
A B
72kN.m
58,5kN 76,5kN
63kN.m
3,1m
63 72
33,
REFUERZO
V (kN)
M (kN.m)
30kNm
6m
58,
76,
Fig. 5.
