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Método Símplex
I
OBJETIVOS
Conocer los principales conceptos asociados al Método Símplex. Conocer y aplicar el Método Símplex para la solución de problemas de maximización y minimización. Identificar los casos especiales mediante el método Simplex.
II
TEMAS A TRATAR
Conceptos generales. Método Símplex. Uso del LINDO, winQsb, PomQm y Excel.
III
MARCO TEORICO
MÉTODO SIMPLEX
Usar la teoría aprendida en las clases teóricas. Hay que recordar que es un método que se basa en iteraciones. Debemos tener en cuenta los siguientes conceptos: a) Variable de holgura Es la variable que representa el resto de un recurso que no ha sido utilizado, se le usa para que las restricciones de tipo se conviertan en igualdades (ecuaciones), el cual es uno de los requisitos para poder trabajar el Método Símplex. b) Variable de superávit Es la variable que representa el exceso mínimo sobre el requerimiento mínimo de un recurso, se le usa para que las restricciones de tipo >= se conviertan en
Sesión
igualdades (ecuaciones), el cual es uno de los requisitos para poder trabajar el Método Símplex. c) Reglas de estandarización Reglas de aumento Tipo Variables Restricción agregadas <= +Si Variable de holgura
= -Si +Ai Variable de exceso + Variable artificial = +Ai Variable artificial Reglas de aumento en la F.O. Variable Función Objetivo Agregada Max Min +Si 0Si 0Si -Si 0Si 0Si +Ai -MAi +MAi Donde M es un valor muy grande d) Reglas de decisión para la columna y fila pivot
1ra Decisión (Columna Pivot) 2da Decisión (Fila Pivot)
FO FO
Max Min Max Min El valor Zj más negativo () El valor Zj menos negativo () El < + (): Elegir el valor Zj más negativo de las columnas correspondientes a las variables de decisión, de no haber ninguna, elegir la más negativa de las columnas correspondientes a las variables de holgura o exceso. (**): Elegir el valor Zj menos negativo de las columnas correspondientes a las variables de decisión, de no haber ninguna, elegir la menos negativa de las columnas correspondientes a las variables de holgura o exceso. e) Reglas de decisión para ver si se llegó a la tabla final (Solución óptima). FO Max Min Todos los valores Zj>= Todos los valores Zj<= EJEMPLO Tomando el problema de la Compañía que produce pinturas (Sesión 1), hallaremos su solución vía Método Símplex: Función objetivo: max Z = 5X 1 + 4X 2 Restricciones: 6X 1 + 4X 2 24
S2 0 4/3 -1/6 1 0 0 2 4/
S2 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/
Pasar a cero toda la columna del pivote: X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 S 4 Solución X 1 1 0 ¼ -1/2 0 0 3 X 2 0 1 -1/8 ¾ 0 0 3/2 (2/3), (-2/3), (-5/3), (-1) S 3 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/ S 4 0 0 1/8 -3/4 0 1 ½ Z 0 0 ¾ 1/2 0 0 21 Como ya no existen valores negativos en Z, entonces tenemos la solución final. Entonces tenemos la siguiente INFORMACIÓN PARA LA TOMA DE DECISIONES: a) Valor de las variables de decisión: X1= X2=3/2=1. b) Valor de la función objetivo: Z= c) Holguras o excedentes: S1= S2= S3=5/2=2. S4=1/2=0. d) Costos reducidos de los coeficientes de la función objetivo: (estos valores se encuentran en la fila Z) De X1= De X2= e) Precios Duales de los lados derechos: (estos valores se encuentran en la fila Z) De S1=3/4=0. De S2=1/2=0. De S3= De S4= GRAFICAMENTE
Reporte del Software WINQSB: Obtención de la Iteración Final mediante el Software WINQSB (utilizar la opción del menú Solve and Analyze/Solve and Display Steps ) : En el reporte y en la Iteración final emitidos por el software WinQsb se observa toda la información para la toma de decisiones mostrada anteriormente.
IV
(La práctica tiene una duración de 02 horas) ACTIVIDADES
1. - Una empresa de producción de muebles dispone de dos diferentes tipos de madera; tiene 1500 pies tabla del tipo A y 1000 del tipo B, también dispone de 800 horas-hombre para efectuar el trabajo. La demanda semanal que ha estimado es la siguiente: cuando menos 40 mesas, 130 sillas, 30 escritorios y no más de 10 libreros. Las cantidades de madera Ay B, las horas-hombre que requiere la elaboración de cada unidad de artículo y las utilidades unitarias, están indicadas en el siguiente cuadro: Madera Horas Demanda Utilidades Artículo A B Hombre Estimada por unidad Mesa 5 2 3 no menos de 40 $ 18 Silla 1 3 2 no menos de 130 8 Escritorio 9 4 5 no menos de 30 25 Librero 12 1 10 no más de 10 30 Disponibilidad semanal 1500 1000 800 MODELO MATEMÁTCIO: Variables: Xi: Número de unidades a producir semanalmente del artículo i i=1,2,3,4 (1: Mesas, 2: Sillas, 3: Escritorios, 4: Libreros) Max 18x1+8x2+25x3+30x
Tipo de máquina Producto 1 Producto 2 Producto 3 Fresadora 9 3 5 Torno 5 4 0 Rectificadora 3 0 2 El departamento de ventas ha indicado que las ventas potenciales para los productos 1 y 2 exceden la tasa máxima de producción y que las ventas potenciales del producto 3 son 20 unidades por semana. La ganancia unitaria sería $50, $20 y $25 respectivamente, para los productos 1, 2 y 3. El objetivo es determinar cuántos productos de cada tipo debe producir la compañía para maximizar la ganancia
