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1. Un móvil parte del origen de un sistema de coordenadas
a una velocidad de 10 m/s, dirigida hacia la dirección positiva
del eje x. Sabiendo que no experimenta aceleración alguna:
a) ¾A qué distancia del origen se encuentra una vez trans-
curridos 60 segundos?
b) ¾Cuánto tiempo tardará en recorrer 10 kilómetros?
a) Se van a aplicar las dos ecuaciones básicas de la cinemática:
e = e 0 + v 0 t +
at^2
v = v 0 + at
Como no hay aceleración, la ecuación de la velocidad no aporta nada, solo que la velocidad es siempre igual a v 0. La segunda queda reducida a:
e = 10t
ya que la velocidad inicial era de 10 m/s y partía del origen de coordena- das. Se encontrará a la siguiente distancia del origen tras los 60 segundos:
e = 10 · 60 = 600m
b) Se usa de nuevo la ecuación que describe el movimiento:
e = 10t
donde, ahora, se quiere saber el tiempo transcurrido cuando el cuerpo recorre 10 kilómetros, o 10000 metros. Es importante destacar que se puede suponer que esos 10 segundos se cuentan desde el origen de coordenadas (el enunciado pregunta cuánto tiempo tarda en recorrer 10 km no en qué posición se encuentra). En tal caso:
10000 = 10t =⇒ t = 1000s
2. Un móvil se mueve en una línea recta. Partió de un punto
determinado con una velocidad de 20 m/s y está sometido
a una aceleración de 0,25 m/s^2 en el mismo sentido que la
velocidad. Responder a las siguientes cuestiones:
a) ¾Se detendrá el cuerpo en algún instante? Si es así, cal-
cular en qué momento sucede.
b) ¾En qué posición se hallará una vez transcurridos 10
segundos?
c) ¾Qué velocidad tendrá tras esos 10 segundos?
d) ¾Cuánto tiempo tardará en recorrer 500 metros?
a) Como la aceleración está en el mismo sentido de la velocidad inicial y el movimiento es en línea recta, el cuerpo no va a detenerse en ningún momento. Aumentará su velocidad inde nidamente. b) Basta aplicar la ecuación:
e = e 0 + v 0 t +
at^2
donde se puede jar el origen de coordenadas en ese punto determinado que dice el enunciado y, por tanto, considerar que e 0 = 0m. Por tanto, sustituyendo datos:
e = 20t +
0 , 25 t^2 =⇒ e = 20t + 0, 125 t^2
Y como se quiere calcular e a los 10 segundos, se sustituye este valor en t:
e = 20 10 + 0, 125 10^2 = 200 + 12, 5 = 212, 5 m
c) Basta aplicar la segunda ecuación básica de la cinemática:
v = v 0 + at =⇒ v = 20 + 0, 25 10 = 22, 5 m/s
d) Para calcular el tiempo que tarda en recorrer 500 metros, se aplica la ecuación del espacio. Sustituyendo todos los valores:
500 = 20t +
0 , 25 t^2 =⇒ 0 , 125 t^2 + 20t − 500 = 0
Se resuelve la ecuación usando la fórmula de resolución de las ecuaciones elementales de segundo grado y salen dos valores para el tiempo:
t = 21, 98 s t = − 181 , 98 s
El negativo no es válido, así que la solución es t = 21, 98 s.
3. Un móvil se mueve en una línea recta. Partió de un
punto determinado con una velocidad de 200 km/h y está
sometido a una aceleración de 1 m/s^2 en sentido contrario al
de la velocidad. Responder a las siguientes cuestiones:
a) ¾Se detendrá el cuerpo en algún instante? Si es así, cal-
cular en qué momento sucede.
Para todos los apartados habrá que usar las dos ecuaciones básicas de las cinemática:
e = e 0 + v 0 t +
at^2
v = v 0 + at
Sustituyendo todos los valores del enunciado en estas ecuaciones y su- poniendo que el origen de coordenadas está en el fondo del acantilado, las ecuaciones quedan:
e = 400 +
(− 9 , 8)t^2
v = − 9 , 8 t
Con estas ecuaciones, se pueden resolver todos los apartados: a) Para calcular el tiempo de caída, se usa la ecuación del espacio impo- niendo e = 0:
0 = 400 +
(− 9 , 8)t^2 =⇒ 400 = 4, 9 t^2
Cuya solución positiva es: 9 , 035 s. b) Basta sustituir el tiempo calculado en a) en la segunda ecuación:
v = − 9 , 8 · 9 , 035 = 88, 543 m
c) Para saber la altura a la que está tras caer 2 s se sustituye ese tiempo en la ecuación del espacio:
e = 400 +
(− 9 , 8)2^2 = 380, 4 m
5. Desde lo alto de un rascacielos de 250 metros de altura
se lanza, en horizontal, un cohete de fuegos arti ciales a 100
m/s. Calcular a que distancia en horizontal del edi cio llega
al suelo y cuánto tarda en caer.
Se trata de un tiro horizontal, de manera que la forma más sencilla de resolverlo es la composición de movimientos. Se elige como origen del sistema de referencia la parte inferior del rascacielos, en el punto en el que se Se empieza planteando las ecuaciones del movimiento en horizontal, que cumple:
Espacio inicial: 0 metros.
Velocidad inicial: 100 m/s.
Aceleración: no hay
En cuanto al movimiento vertical:
Espacio inicial: 250 metros.
Velocidad inicial: 0 m/s.
Aceleración: 9,8 m/s^2 hacia abajo.
Por tanto, el movimiento queda descrito por cuatro ecuaciones, dos para el movimiento en horizontal y dos para el movimiento en vertical:
x = 100t
vx = 100
y = 250 +
(− 9 , 8)t^2
vy = − 9 , 8 t
Lo primero que se debe calcular es el tiempo que tarda en caer. El objeto llega al suelo cuando y = 0. Usando la ecuación de y e imponiendo tal condición:
0 = 250 − 4 , 9 t^2
Solo se desconoce el tiempo y la solución a la expresión anterior es el tiempo que tarda el cuerpo en llegar al suelo. La solución de esta ecuación es t = 7, 143 s. Por tanto, la distancia recorrida en horizontal estará dada por el valor de x en t = 7, 143 s, esto es:
x = 100 · 7 , 143 = 714, 3 m
6. Un cañón lanza un proyectil con un ángulo de 20 gra-
dos con respecto a la horizontal a una velocidad de 200 m/s.
Usando que la aceleración de la gravedad es de 9,8 m/s^2 , cal-
cular:
a) Altura máxima alcanzada.
b) Distancia en horizontal a la que cae.
c) Tiempo que tarda la bala en tocar el suelo.
Este problema se resolverá por composición de movimientos. Habrá que dividir el movimiento en dos: uno horizontal y otro vertical.
De donde la altura máxima vale 238 , 73 s. b) y c) Para calcular la distancia a la que cae, se ha de calcular el tiempo que tarda la bala en caer. La bala llega al suelo cuando y = 0. Imponiéndolo en la primera ecuación del movimiento vertical:
0 = 200 sin 20◦t − 4 , 9 t^2
Esta es una ecuación de segundo grado en t cuyas soluciones son t = 0s y t = 13, 96 s. El valor buscado es el segundo, puesto que el primero re eja, únicamente, el punto inicial. Además, es la solución de c). Para calcular b), se usa la primera ecuación del movimiento horizontal sustituyendo este tiempo:
x = 200 cos 20◦^ · 13 , 96
Que da: 2623 , 62 m.
