1.
1. ∼ es reflexiva. Sea A ∈ Mn (F). Entonces la igualdad P-1AP = A se cumple,
por ejemplo, con P = In.
2. Propiedad simétrica. Sean A, B ∈ Mn (F) tales que A ∼ B. Tenemos que
demostrar lo contrario que B ∼ A. P ∈ Mn (F), P es invertible y P-1AP = B.
Hagamos Q= P-1. Entonces Q es invertible y Q-1= P. Además de la igualdad P-
1AP = B obtenemos que A = PBP-1, esto es, A = Q-1BQ. O sea que B ∼ A.
3. Propiedad transitiva. Sean A, B, C ∈ Mn (F) tales que A ∼ B y B ∼ C.
Sabemos que A ∼ C. Empleando la definición de matrices semejantes
encontremos matrices P1, P2 ∈ Mn(F) tales que P1 y P2 son invertibles, B = P-1 1
AP y C = P-12BP2 . Pongamos P3= P1 P2. Siendo un producto de matrices
invertibles la matriz P3 es invertible, su inversa es P-13 = P-1 2 y P-11, y C = P-12
BP2 = P-1 2 P-11 AP1P2 = P-13 AP3 , lo cual significa que A ∼ C.
5.
a)
A∼B entonces Tr(A)=Tr(B)
Tr(A)=Tr(PBP-1)=(P-1P)(B)=(I)(B)=(IB)=Tr(B)
b)
Si B se obtiene partiendo de A mediante operaciones por fila, las filas de B son combinaciones lineales de las
filas de A. Cualquier combinación lineal de las filas de B es automáticamente una combinación lineal de
las filas de A. Entonces el espacio fila de B está incluido en el espacio fila de A. Como las operaciones son
reversibles, el mismo argumento muestra que el espacio fila de A es un subconjunto del espacio fila de B. Así
que los dos espacios de filas son iguales, atendiendo a que las dimensiones del espacio fila y el espacio
columna son iguales para una matriz de mxn concluimos que P(A) y P(b) se concluye que el rango también lo es
puesto que este es la dimensión del espacio columna.