¡Descarga Calculo de Matrices: Determinante, Inversa y Matrices Semejantes y más Apuntes en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Matemáticas.
Grao de Biotecnoloxía
Triangularización de matrices
Notas Prácticas Sobre Triangularización de Matrices.
(Sexa R o corpo dos números reais).
1.- Definición.
Unha matriz T = (αij ) (^) ∈ M nxn ( R ) dise que é unha matriz triangular se αij = 0, se i > j.
T =
1 12 1 2 23 2
( 1)
n n
n n n
a a a a
a
−
2.- Exemplo:
T =
3.- Definición.
Unha matriz A dise que é unha matriz triangularizable se é semellante a unha matriz
triangular.
É dicir se existe existe unha matriz invertible S e unha matriz triangular T tal que S -1^ AS = T.
4.- Exemplo:
A =
e J =
son matrices semellantes pois se tomamos
S =
entón S -1^ =
e
S -1^ AS =
−^ −
5.- Exemplo:
A =
e B =
son matrices semellantes pois se tomamos
S =
, entón S -1^ =
e
S -1^ AS =
A =
e J =
son matrices semellantes pois se tomamos
S =
entón, S -1^ =
e
S -1^ AS =
S =
1
r
n
s
s
entón S -1^ = 1 2
r r
n
s s
s
7.-Proposición.-
Se una matriz A é triangularizable, entón o polinomio característico ten todas as raíces
reales.
Demostración :
Se S -1^ AS = T con T triangular, entón:
- O determinante dunha matriz triangular é o producto dos elementos da diagonal e
- dúas matrices semellantes ten o mesmo polinomio característico.
En consecuencia
QA(x) = QT (x) = (λ 1 – x) (λ 2 – x) .... (λn – x), con λ 1 , λ 2 , …. λn elementos da diagonal de T e
polo tanto QA(x) ten todas as raíces en R.
8.-Proposición.-
Sexa una matriz A =
11 12 1 21 22 2
( 1)1 ( 1) 1
n n
n n n n nn
a a a a a a
a a a a
− −
= (C 1 , C 2 , ..., Cn ). Se o seu polinomio
característico ten todas as raíces reais, entón A é triangularizable. É dicir se
QA(x) = (x – λ 1 ) (x – λ 2 ) .... (x – λn ), con λ 1 , λ 2 , …. λn ∈R (pode que varios sexan iguais, é
dicir pode que unha raiz se repita varias veces), entón existe unha matriz triangular T tal que
S -1^ AS = T
Demostración :
Para o autovalor λ 1 podemos calcular un autovector v 1 = ( s 1,1 , s 2,1 , …, s n,1 )t^. Así
A v 1 = λ 1 v 1. Se s 1,1 ≠ 0, entón se multiplicamos v 1 por 1/ s 1,1 segue sendo autovector asociado
a λ 1. É dicir podemos tomar v 1 coa primeira coordenada noin nula igual a 1:
s 1,1 = 1 e v 1 = (1, s 2,1 , …, s n,1 )t^.
Consideramos a matriz
S 1 =
2,
2, 1, ,
n n n
s
s s s
− −
e temos (S 1 )-1^ =
2
2 1
n n n
s
s s s
− −
e
Tendo como A v 1 = λ 1 v 1 , temos que
(S 1 )-1^ A S 1 = (S 1 )-1^ (C 1 , C 2 , ..., C (^) n )S 1 =
2,
2, 1, ,
1 0 .. .. .. .. .. 0 1 0 .. .. .. .. 0 .. 0 1 0 0 .. .. 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 0 1 0 0 .. .. .. .. 0 1 0 .. .. .. .. .. 0 1
n n n
s
s s s
− −
(^) − (^) − (^) − −
(C 1 , C 2 , ..., Cn )
2,
2, 1, ,
1 0 .. .. .. .. .. 0 1 0 .. .. .. .. 0 .. 0 1 0 0 .. .. 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 0 1 0 0 .. .. .. .. 0 1 0 .. .. .. .. .. 0 1
n n n
s
s s s
− −
2,
2, 1, ,
1 0 .. .. .. .. .. 0 1 0 .. .. .. .. 0 .. 0 1 0 0 .. .. 0 .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. 0 1 0 0 .. .. .. .. 0 1 0 .. .. .. .. .. 0 1
n n n
s
s s s
− −
(^) − (^) − (^) − −
(λ 1 v 1 , C 2 , ..., C (^) n ) =
2,
2, 1, ,
n n n
s
s s s
− −
1 1,2 1,3 1, 1 2,1 2,2 2,3 2, 1 3,
1 ,1 ,2 ,3 ,
n n
n n n n n
a a a s a a a s
s a a a
Tendo como A v 1 = λ 1 v 1 , temos que
(S 1 )-1^ A S 1 = (S 1 )-1^ (C 1 , C 2 , ..., C (^) n )S 1 =
1, 2,
,
r r
n
s s
s
(C 1 , C 2 , ..., Cn ) 1,
,
r
n
s
s
1, 2,
,
r r
n
s s
s
(λ 1 v 1 , C 2 , ..., C (^) r-1 , C (^) r+1 , ..., C (^) n ) =
1, 2,
,
r r
n
s s
s
1,2 1, 1 1, 1 1, 2,2 2, 1 2, 1 2,
1 1 1,
1 ,1 ,2 , 1 , 1 ,
r r n r r n
r
n n n r n r n n
a a a a a a a a
s
s a a a a
λ λ
λ
− + − +
− +
1 ,2 , 1 , 1 , 1,2 1, 1 1, 1 1,
1,1 1 1 1,
,1 1 1 ,
r r r r r r n r r n
r r
n n
a a a a a a a a
s s
s s
− + − +
−^ +
1 ,2 , 1 , 1 , 1,2 1, 1 1, 1 1,
r r r r r r n r r n
a a a a a a a a
− +
1 2 3
2
a r ar arn
A
Nos dous casos temos unha matriz invertible S 1 tal que
(S 1 )-1^ A S 1 =
1
2
A
Como A é semellante a (S 1 )-1^ A S 1 , terán o mesmo polinomio característico.
Pero o polinomio característico de (S 1 )-1^ A S 1 é igual a ( λ − 1 x Q ) A 2 ( ) x. Logo
QA (^) 2 ( ) x = 1
Q A x
λ − x
= (x – λ 2 ) .... (x – λn )
Procedemos da mesma forma con A 2 e o autovalor λ 2 e obtemos
(S 2 )-1^ A 2 S 2 =
2
3
A
λ
En consecuencia
(S 1 )-1^ A S 1 = 1 2
0 A
= (3 – x)^2
x x
− = (3 – x)^2 (x^2 - 8x + 16 + 4 -16 + 4x) =
= (3 – x)^2 (x^2 - 4x + 4) = (3 – x)^2 (x - 2)^2 = (x – 3)^2 (x – 2)^2.
Analizamos se A é diagonalizable
Para elo necesitamos que cada un dos sistemas
(A-3I)
x y z
, (A-2I)
x y z
teña dúas solucións independentes.
−^ −
F^^3 + F^1 →
F^^2 ↔ F^3 →
FF 34 +− 22 FF (^22) →
F^^4 + F^3 →
como a matriz ampliada ten 3 pivotes e unha variable libre só pode ter
unha solución linealmente independente e polo tanto a matriz a non é diagonalizable.
Continuamos o proceso de triangularización, calculando un autovector asociado a λ 1 = 3,
mediante o cálculo dunha solución do sistema que acabamos de analizar
z = t
y = – t
x = 7t – 4z + 3y = 7t – 4t – 3t = 0
Unha solución é o vector (0, –1, 1, 1) e podemos tomar v1 = (0, 1, –1, –1)
Tomamos
S 1 =
, (S 1 )-1^ =
(S 1 )-1^ AS 1 =
−^ −
2
A
Seguimos un proceso similar coa matriz
A 2 =
que terá de polinomio característico QA (^) 2 ( ) x = (3 – x)(x – 2)^2.
Resolvemos o sistema (A 2 – 3I)
x y z
F^^2 + F^1 →
as solución do sistema dependen de 1 parámetro
e son:
y = 2z
x = 7z – 4y = 7z – 8z = -z
Logo as solución son
e podemos tomas o autovector
e
S 2 =
, (S 2 )-1^ =
3
S −
21
S −
2
A
2
S
3
S
3
S −
2 1 2 2
S − A S
3
S
3
S −
3
A
3
S
3
S −
3 3
A S
3 3 3
S − A S
= T
S = (S 1
2
S
3
S
S =
; S -1^ =
S -1^ AS =
−^ −
−^ −
10.- Exemplo:
A =
QA(x) =
x x x x
C 1 + C 2
x x x x x
F 2 − F 1
x x x x
= (–1 – x)
x x x
= (–1 – x)^2
x x
= (x + 1)^2 (x^2 – 2x – 3 + 4) = (x + 1)^2 (x^2 – 2x + 1) = (x + 1)^2 (x– 1)^2.
11.- Exemplo:
A =
QA(x) =
x x x x
F 1 + F 3
x x x x x
= (2 – x)
x x x
C 3 − C 1 (2 – x)
x x x
(F1+F4)(F2+3F4)(F3+2F4) (1 – x)
x x x x
= (1 – x)
x x x x
(C2-C1) (1 – x)
x x x
= (C3+C2) (1 – x)
x x x x
= (1 – x)^2
x x
− = (1 – x)^2 (x^2 – 4x + 3 + 1) = (1 – x)^2 (x – 2)^2.
15.- Exemplo:
A =
16.- Exemplos:
