SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS DE APLICACIÓN
TEMA 3
Ejercicio de Aplicación 3.1 (Cambio de base en el plano)
Queremos pavimentar una zona de una plaza rectangular que tiene forma de
paralelogramo, con dos de sus vértices situados en la esquina inferior izquierda y la
superior derecha de la plaza, respectivamente. Usaremos un lote de adoquines con
forma de rombo, todos iguales.
Tomando como origen el punto situado en la esquina inferior izquierda de la plaza, el
primer adoquín tiene un vértice en él y los dos adyacentes en los puntos (0.2,0.1) y
(0.1,0.2). La disposición de los adoquines es siempre la misma y el último de ellos tiene
uno de sus vértices en la esquina superior derecha de la plaza, en el punto (41,37).
¿Cuántos adoquines necesitaremos?
Nota: Las distancias se miden en metros.
Solución
Consideramos el vector (41,37) que parte del
origen, situado en el extremo inferior izquierdo
de la plaza.
Si expresamos dicho vector en la base del plano
formada por los vectores (0.2,0.1) y (0.1,0.2)
que marcan los lados del primer adoquín,
tenemos que:
- la primera coordenada es el número de
adoquines necesario para cubrir el lado
mayor del paralelogramo,
- la segunda coordenada es el número
necesario para cubrir el lado menor del
paralelogramo.
El número total de adoquines será entonces el
producto de los dos números anteriores.
Para encontrar las coordenadas
),( ba
del
vector (41,37) en la base {(0.2,0.1), (0.1,0.2)},
resolvemos el sistema de ecuaciones:
∗+∗=
∗+∗=
2.01.037
1.02.041
ba
ba
Multiplicando la 1ª ecuación por dos y
restándole la segunda, se obtiene
.3.03782 a
∗
=
−
Es decir:
150
=
a
, con lo cual
110
=
b
.
Por tanto, necesitaremos: 16500 adoquines.
X
Y
(41,37)
(0,0)
