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Universidad de Santiago de Compostela Facultad de Biolog´ıa
Matem´aticas para Biolog´ıa Grado en Biolog´ıa Curso 2013- Bolet´ın de ejercicios 1
- Representa los siguientes conjuntos:
a) {x ∈ R/|x + 5| ≤ 1 } b) {x ∈ R/| 2 x + 3| < 6 } c) {x ∈ R/| 3 − 4 x| ≥ 2 } d) {x ∈ R/| 7 − 2 x| < 0 }
e) {(x, y) ∈ R^2 /
x^2 + y^2 + 2x − 6 y + 10 < 3 } f) {(x, y) ∈ R^2 /x^2 + y^2 + 2x − 4 y + 1 = 0}
- Calcula x en las siguientes ecuaciones:
a) 3x^ = 81 b)
)x− 1 = 128 c) 6^3 = (x − 4)^3 d) x (^34) = 125 e) 4x
(^2) −x = 64
f) log 10 1000 = x g) log 2 x = − 3 h) ln e^3 x^ = 4 i) ln(2x − 3) = 0 j) ln x^3 − 2 ln x = 1
- En los siguientes casos empareja cada curva con la gr´afica correcta. Sup´on que a y C son n´umeros reales arbitrarios, con a > 0. Determina el valor de C en cada caso.
a) y = Ceax^ b) y = Ce−ax^ c) y = C(1 − e−ax) d) y =
C
1 + e−ax
x
gráfica 1
x
gráfica 2
x
gráfica 3
x
gráfica 4
- La temperatura de un cuerpo viene dada por la funci´on:
T (t) = −4 + 10^2 −t,
con T en grados Celsius (◦C) y t en horas. Halla la temperatura inicial del cuerpo y el tiempo que tarda en enfriarse a 6◦C.
- Se sabe que la concentraci´on de un f´armaco en la sangre de un paciente viene dada por y(t) = 100(0,94)t, con y en miligramos por litro y t en horas. Si queremos que la concentraci´on no baje de los 60 miligramos por litro, ¿al cabo de cu´anto tiempo tendremos que inyectarlo de nuevo?
- La longitud de un pez viene dada por la funci´on:
L(t) = 369 − 366
)t/ 27 ,
con L en cent´ımetros y t en meses. Halla la longitud inicial del pez, su longitud l´ımite y cuando alcanza la mitad de dicha longitud l´ımite.
- Sup´on que la poblaci´on de un cultivo de protozoos Paramecium Caudatum evoluciona seg´un la funci´on: p(t) =
1 + 74 e−^2 ,^309 t^
en la que p(t) es su n´umero en el instante t, medido en d´ıas. Calcula la poblaci´on inicial, la poblaci´on l´ımite y cuando se alcanza la mitad de dicha poblaci´on l´ımite.
- Una medida que tiene en cuenta tanto la abundancia como la riqueza de especies es el ´ındice de diversidad de Shannon, H. Si la comunidad consta de S especies distribuidas en cantidades: q 1 , q 2 ,... , qS tales que: q 1 +q 2 +· · ·+qS = q, y por tanto en proporciones: pi =
qi q
, i = 1,... , S, se define como sigue: H = −(p 1 ln p 1 + p 2 ln p 2 + · · · + pS ln pS ). a) Sup´on que S = 5 y que todas las especies son igualmente abundantes, es decir: q 1 = q 2 = · · · = q 5. Calcula H. b) Sup´on que S = 10 y que todas las especies son igualmente abundantes, es decir: q 1 = q 2 = · · · = q 10. Calcula H.
c) Prueba que: H = ln q −
q
∑^ S
i=
qi ln qi.
d) Se puede definir una medida de equidad de la distribuci´on de las especies dividiendo el ´ındice de diversidad H por ln S. Calcula esta medida para S = 5 y S = 10, en el caso de especies igualmente abundantes. e) Demuestra que si en la comunidad hay S especies y todas ellas son igualmente abun- dantes, entonces:
H
ln S
- En los siguientes casos calcula el l´ımite, si existe.
a) l´ım x→− 1 (x^3 + 7x − 1) b) l´ım x→− 2
x^2 2
x^2
) c) l´ım x→ 1
1 − x^2 1 − x
d) l´ım x→ 0
25 + x^2 2 x^2
e) l´ım x→ 0
e−x^ − ex e−x^ + 1
f) l´ım x→ 0 32 x+1^ g) l´ım x→−∞ (1, 2 e^3 x^ − 0 , 5 e−^4 x) h) l´ım x→π+
πx tg x
- Para cada una de las siguientes funciones:
a) f (x) = ln |x| b) f (x) =
x c) f (x) = −
x d) f (x) =
x 1 + x^3
e) f (x) =
9 − x^2 f) f (x) =
ln(x − 2) g) f (x) =
1 + x^2
h) f (x) =
ln(1 − x^2 )
- Halla su conjunto de definici´on.
- Obt´en el conjunto donde es continua.
- Sup´on que un organismo reacciona frente a un est´ımulo s´olo cuando ´este excede cierto umbral. Sup´on que el est´ımulo es una funci´on del tiempo t, dada por: s(t) = sen (πt), t ≥ 0 ,
y que el organismo reacciona frente al est´ımulo s´olo cuando s(t) ≥
. Define la funci´on r tal que r(t) = 0 cuando el organismo no reaccione en el instante t y tal que r(t) = 1 cuando s´ı lo haga. Representa s y r en el mismo sistema de coordenadas y estudia su continuidad.
- La temperatura en grados Celsius T (x, y) en cualquier punto (x, y) de una l´amina met´alica circular de 10 dec´ımetros de radio es: T (x, y) = 500 − 0 , 75 x^2 − 0 , 75 y^2 , donde x e y se miden en dec´ımetros.
a) Dibuja algunas de las curvas isotermas. b) Esboza la gr´afica de la funci´on T.
- Dibuja la gr´afica de la funci´on dada por: F (x, y) =
16 − x^2 − y^2. Sobre la superficie z = F (x, y), dibuja las curvas z = F (1, y) y z = F (x, 1).
- Para cada una de las siguientes funciones:
a) F (x, y) = x b) F (x, y) = x^2 + y^2 c) F (x, y) =
x − y
d) F (x, y) = x − 2 y + 4
e) F (x, y) = 2 y x^2 + y^2
f) F (x, y) = x + y xy − 1 g) F (x, y) = xey^ h) F (x, y) = exsen y i) F (x, y) = ex^ ln^ y
j) F (x, y) = cos
x
k) F (x, y) = ln
x^2 + y^2 l) F (x, y) = xy |xy|
- Halla su conjunto de definici´on.
- Obt´en el conjunto donde es continua.
