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El número e
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Uno de los primeros artículos que se incluyeron en la "Historia Temas" de nuestro archivo web fue sobre la historia de π. Se trata de un artículo muy popular y ha llevado a muchos a pedir un artículo similar sobre el número e. Hay un gran contraste entre los desarrollos históricos de estos dos números y de muchas maneras escribiendo una historia de e es una tarea mucho más difícil que escribir una para π. El número e es, comparado con π, un recién llegado a la escena matemática.
El número e inicialmente en las matemáticas de una manera muy leve. Esto fue en 1618 cuando, en un apéndice de Napier trabajo 's en logaritmos, apareció una tabla dando el logaritmo natural de varios números. Sin embargo, que estos eran logaritmos de base e no se ha reconocido desde la base a la que se calculan los logaritmos no aparecen en la forma que los logaritmos se pensó en este momento. Aunque ahora pienso en logaritmos como los exponentes a los que hay que elevar la base para obtener el número requerido, esta es una forma moderna de pensar. Volveremos a este punto más adelante en este ensayo. Esta tabla en el apéndice, aunque lleva el nombre del autor, fue casi con toda seguridad escrito por Oughtred. Unos años más tarde, en 1624, de nuevo e hizo casi en la literatura matemática, pero no del todo. En ese año, Briggs dio una aproximación numérica al logaritmo en base 10 de e , pero no mencionó e sí mismo en su obra.
La siguiente aparición posible de e es de nuevo dudosa. En 1647 Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola rectangular. Si él reconoce la conexión con los logaritmos está abierto a debate, e incluso si lo hiciera había pocas razones para que venir a través del número e explícitamente. Ciertamente, 1661 Huygens comprendió la relación entre la hipérbola rectangular y el logaritmo. El examinó explícitamente la relación entre el área bajo la hipérbola rectangular yx = 1 y el logaritmo. Por supuesto, el número e es tal que el área bajo la hipérbola rectangular de 1 a e es igual a 1. Esta es la propiedad que hace que e la base de los logaritmos naturales, pero esto no fue comprendida por los matemáticos en este momento, a pesar de que se acercaba lentamente tal entendimiento.
Huygens hizo otro avance en 1661. Definió una curva que él llama "logarítmica" pero en nuestra
terminología nos referimos a ella como una curva exponencial, que tiene la forma y = ka x^. Una vez más fuera de este viene el logaritmo en base 10 de e , que Huygens calculó a 17 decimales. Sin embargo, parece que el cálculo de una constante en su trabajo y no se reconoce como el logaritmo de un número (lo que de nuevo es una decisión difícil, pero e ha reconocido todavía).
Seguir trabajando en logaritmos seguido que todavía no ve el número e aparece como tal, pero el trabajo es contribuir al desarrollo de los logaritmos. En 1668 Nicolaus Mercator publicado Logarithmotechnia que contiene la expansión en serie de log (1 + x ). En este trabajo Mercator usa el término "logaritmo natural" por primera vez para los logaritmos a la base e. El número e en sí otra vez no se presenta como tal y sigue siendo esquiva de nuevo a la vuelta de la esquina.
Tal vez resulte sorprendente, ya que este trabajo sobre los logaritmos habían estado tan cerca de reconocer el número e , cuando e es primero "descubierto" que no es a través de la noción de
logaritmo en absoluto, sino más bien a través de un estudio del interés compuesto. En 1683 Jacob Bernoulli miró el problema del interés compuesto y, al examinar el interés compuesto
continuo, trató de encontrar el límite de (1 + 1 / n ) n^ cuando n tiende a infinito. Él utilizó el teorema del binomio para demostrar que el límite tenía que estar entre 2 y 3, de modo que podríamos considerar que se trata de la primera aproximación encontró e. Además, si aceptamos esto como una definición de e , es la primera vez que un número se define por un proceso de límite. Desde luego, no reconoce ninguna conexión entre su obra y la de los logaritmos.
Hemos mencionado anteriormente que los logaritmos no eran considerados en los primeros años de su desarrollo por tener alguna relación con exponentes. Por supuesto, a partir de la ecuación x
= a t^ , deducimos que t = log x donde el registro es basar una , pero se trata de una forma mucho más tarde de pensar. Aquí realmente estamos pensando en log como una función, mientras que los primeros trabajadores en logaritmos pensamiento puramente del registro como un número que ayudó cálculo. Puede haber sido Jacob Bernoulli que primero entiende la forma en que la función log es la inversa de la función exponencial. Por otra parte la primera persona en hacer la conexión entre logaritmos y exponentes puede haber sido James Gregory. En 1684, él ciertamente reconoce la conexión entre logaritmos y exponentes, pero él no pudo haber sido el primero.
Por lo que sabe la primera vez que el número e aparece en su propio derecho es en 1690. En ese año, Leibniz escribió una carta a Huygens y en esto usa la notación b para lo que hoy llamamos e
. Por fin el número e tenía nombre (aunque no su presente) y se reconoció. Ahora, el lector podría preguntarse, no sin razón, ¿por qué no hemos empezado nuestro artículo sobre la historia del correo en el momento en que hace su primera aparición. La razón es que, aunque el trabajo se han descrito nunca anteriormente bastante logrado identificar e , una vez que el número se identificó a continuación se realizó lentamente que este trabajo anterior es relevante. Retrospectivamente, los primeros desarrollos en el logaritmo se convirtió en parte de la comprensión del número e.
Ya hemos mencionado los problemas derivados del hecho de que log no estaba pensado como una función. Sería justo decir que Johann Bernoulli comenzó el estudio del cálculo de la función exponencial en 1697 cuando publicó Principia cálculos exponentialium seu percurrentium. El trabajo consiste en el cálculo de varias series exponenciales y muchos resultados se logran con plazo de integración a largo plazo.
Gran parte de nuestra notación matemática se debe a Euler que va a ser una sorpresa al descubrir que la notación e para este número se debe a él. La afirmación de que a veces se ha hecho, sin embargo, que Euler usó la letra e porque era la primera letra de su nombre es ridículo. Probablemente no es incluso el caso de que el correo proviene de "exponencial", pero puede que sólo sea la vocal siguiente, después de "a" y Euler ya estaba usando la notación "a" en su obra. Cualquiera que sea la razón, la notación e hizo su primera aparición en una carta Euler escribió a Goldbach en 1731. Él hizo varios descubrimientos respecto a e en los años siguientes, pero no fue hasta 1748 cuando Euler publicó Introductio in analysin infinitorum , que ha dado un tratamiento completo de las ideas en torno a e. Mostró que
e = 1 + 1 / 1! + 1 / 2! + 1 / 3! + ...
y que e es el límite de (1 + 1 / (^) n ) n^ como n tiende a infinito. Euler dio una aproximación por
podemos estar seguros de que significa algo muy importante.
La mayoría de la gente acepta Euler como el primero en probar que e es irracional. Sin duda fue Hermite quien probó que e no es un número algebraico en 1873. Sigue siendo una cuestión
abierta si e e^ es algebraico, aunque por supuesto todo lo que hace falta es una prueba - no
matemático serio creería que e e^ es algebraico! Por lo que sabemos, lo más cerca que los matemáticos han llegado a demostrar esto es un resultado reciente que al menos uno de correo electrónico (^) y correo al poder e 2 es trascendental.
Cálculos posteriores de expansiones decimales seguidos. En 1884, Boorman calculó e a 346 lugares y encontró que su cálculo de acuerdo con la de Shanks en cuanto a lugar 187, pero luego se convirtió diferente. En 1887, Adams calculó el logaritmo de correo a la base 10 para 272 plazas.
Cualquier persona que desee ver e a 10.000 plazas - mire aquí. Referencias (2 libros / artículos)
Otros sitios Web:
Astroseti (traducción al español de este artículo)
Artículo de: JJ O'Connor y EF Robertson
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