Ejercicios Tema 2 Análisis Multivariante, Ejercicios de Análisis Matemático

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Soluciones Ejercicios Análisis Multivariante Aurea Grané Chávez

Tema 2: Normalidad multivariante

Soluciones Ejercicios Análisis Multivariante Aurea Grané Chávez

(c) Para resolver este apartado se puede usar el siguiente código:

n=30; p=2; % generamos una muestra de tamaño n de una Unif[0,1]x[0,1] X=rand(n,p); % obtenemos la muestra de la Unif[0,2]x[3,4] X=[2X(:,1) 3ones(n,1)+X(:,2)]; % calculamos el vector de medias y la matriz de covarianzas m=mean(X); S=cov(X,1); % dibujamos la muestra, el vector de medias muestrales % y el vector de medias poblacional (1, 3.5) plot(X(:,1),X(:,2),'.b','MarkerSize',10) axis([0 2 3 4]) hold on plot(m(1),m(2),'k*') plot(1, 3.5, 'ko')

Como resultado obtenemos:

m = 1.2476 3.

S =[ 0.3818 - 0.

• 0.0116 0.0780]

(d) Podemos resolver este apartado mediante una pequeña función y ejecutarla para N=40 y

n=5, 20, 50.

function LeyGrandesNumeros(N,n) % generamos N muestras de tamaño n de una Unif[0,2]x[3,4] % y para cada muestra calculamos su vector de medias for i=1:N X=[2rand(n,1) 3ones(n,1)+rand(n,1)]; m(i,:)=mean(X); end % dibujamos los N vectores de medias figure plot(m(:,1),m(:,2),'.b','MarkerSize',10) axis([0 2 3 4]) hold on plot(1,3.5,'ko') end

Se observa que, a mayor tamaño muestral n, menor dispersión de la media muestral y mejor

estima ésta la esperanza del vector X.

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mu=[2 3 4]’; A=[1 -1 1; -1 1 0; 0 1 -1]; [m_500,S_500,X_500]=nmult(mu',A,500) [m_500,S_500,X_500]=nmult(mu',A,1000) [m_500,S_500,X_500]=nmult(mu',A,5000)

También podemos dibujar las muestras generadas mediante la instrucción plotmatrix.

Por ejemplo, plotmatrix(X_500)

plotmatrix(X_5000)

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% funcion randT % % Esta funcion genera una muestra de tamaño N de una ley T^2 de % Hotelling con p y n grados de libertad. % function t=randT2(p,n,N) % n=n+1; t=zeros(N,1); for i=1:N X=randn(n,p); m=mean(X); S=cov(X,1); t(i,1)=(n-1)minv(S)*m'; end histogram(t) end

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% funcion randWilks % % Esta funcion genera una muestra de tamaño N de una ley Lambda de % Wilks con parametros p, a, b. (Atencion: a>=p). % function L=randWilks(p,a,b,N) nx=a+1; ny=b+1; L=zeros(N,1); % los vectores de medias se generan a partir de uniformes, pero % tambien podrian entrarse como argumentos de la funcion. mux=rand(1,p); muy=10rand(1,p); ux=ones(nx,1); uy=ones(ny,1); % for i=1:N % generacion de la primera muestra de normales Zx=randn(nx,p); X=uxmux+Zx; A=nxcov(X,1); % generacion de la segunda muestra de normales Zy=randn(ny,p); Y=uymuy+Zy; B=ny*cov(Y,1); % obtencion de la Lambda de Wilks L(i,1)=det(A)/det(A+B); end histogram(L) end

Por ejemplo, para p=4, a=19, b=24, N=1000, dentro de Matlab escribiremos L=randWilks(4,19,24,1000) y obtendremos:

Igual que la función randT2, la función randWilks puede utilizarse para obtener, mediante

simulación, los percentiles 90, 95 ó 99, para los contrastes de hipótesis. Por ejemplo, se podrían

generar muestras de tamaño N=10000 de una Lambda de Wilks con los valores particulares de

los parámetros involucrados en el contraste y calcular el percentil 95 como prctile(L,95).

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Solución: El fichero zumos.txt contiene los datos para este ejercicio. Las primeras 50 filas del

fichero se corresponden con la muestra piloto descrita en la Tabla 3 y las 10 últimas filas con los

datos de los nuevos zumos descritos en la Tabla 4.

Cargamos los datos en Matlab y llamamos X a las 50 primeras filas e Y a las 10 últimas.

data=load('zumos.txt') X=data(1:50,:); Y=data(51:60,:);

En el enunciado se nos dice que supongamos que X sigue una distribución normal. Mediante

plotmatrix(X)podemos explorar cómo es la muestra piloto: