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Soluciones Ejercicios Análisis Multivariante Aurea Grané Chávez
Tema 4: Análisis Canónico de Poblaciones
Solución:
a) Para realizar este ejercicio usaremos el fichero de datos 250olmos.txt y las funciones
canp.m y regconf.m
Para obtener las coordenadas canónicas de X podemos utilizar la función canp.m:
% CANP
% La función [mY,V,B,W,percent,Test1,texto1,Test2,texto2]=canp(X,n) % realiza el análisis canónico de g poblaciones, es decir, % representa las g poblaciones de forma óptima a lo largo de % unos ejes canónicos ortogonales. % Para cada población i (i=1,2,...,g) se tienen las medidas de % p variables X1,X2,...,Xp sobre n(i) individuos, % con n(1)+n(2)+...+n(g)=N. % % Entradas: % X: es una matriz (N,p) que contiene las observaciones de p % variables (en columna) sobre los individuos de g poblaciones % (en fila), % n: es un vector que contiene el número de individuos de cada % población. % % Salidas: % mY: matriz que contiene las nuevas coordenadas de los % individuos medios (en fila), % V: matriz de vectores propios de B respecto de W (en columna), % es decir, las columnas de V definen los ejes canónicos, % B: matriz de dispersión entre poblaciones (between), % W: matriz de dispersión dentro de cada población (within), % percent: porcentaje de variabilidad explicado, % Test1: vector que contiene el valor de la F de Fisher, sus % grados de libertad y el p-valor [F(n1,n2) n1 n2 p_valor1] % obtenidos en el test de comparación de medias, % texto1: texto resumen del resultado de Test1, % Test2: vector que contiene el valor de la chi-cuadrado, sus % grados de libertad y el p-valor [chi(q) q p_valor2] % obtenidos en el test de comparación de covarianzas, % texto2: texto resumen del resultado de Test2. % function [mY,V,B,W,percent,Test1,texto1,Test2,texto2]=canp(X,n) [N,p]=size(X); g=length(n); % vector de etiquetas para las poblaciones for i=1:g lab(i,:)=sprintf('%3g',i); end % n0(1)=n(1);
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for i=2:g n0(i)=n0(i-1)+n(i); end % % cálculo de los individuos medios % mX(1,:)=ones(1,n(1))X(1:n0(1),:)/n(1); for i=2:g mX(i,:)=ones(1,n(i))X(n0(i-1)+1:n0(i),:)/n(i); end % % cálculo de la matriz de dispersión dentro de cada población % H1=eye(n(1))-ones(n(1))/n(1); W=X(1:n0(1),:)'H1X(1:n0(1),:); logH1=n(1)log(det(W/n(1))); for i=2:g Hi=eye(n(i))-ones(n(i))/n(i); Ci=X(n0(i-1)+1:n0(i),:)'HiX(n0(i-1)+1:n0(i),:); W=W+Ci; logH1=logH1+n(i)log(det(Ci/n(i))); end S=W/(N-g); % % cálculo de la matriz de dispersión entre poblaciones % mmX0=n(1)mX(1,:); for i=2:g mmX=mmX0+n(i)mX(i,:); mmX0=mmX; end mmX=mmX/N; B0=n(1)(mX(1,:)-mmX)'(mX(1,:)-mmX); for i=2:g B=B0+n(i)(mX(i,:)-mmX)'(mX(i,:)-mmX); B0=B; end % % Test de comparación de medias (Lambda de Wilks). % Conviene rechazar esta hipótesis. % lambda=det(W)/det(W+B); [Fmit,n1,n2]=wilkstof(lambda,p,N-g,g-1); p_valor1=1-fcdf(Fmit,n1,n2); Test1=[Fmit n1 n2 p_valor1]; texto1=char('Test1: Igualdad de medias (Lambda de Wilks): p-valor=',num2str(p_valor1)); % % Test de comparación de covarianzas (Razón de verosimilitudes % sin la corrección de Box). Conviene no rechazar esta hipótesis. % logH0=Nlog(det(W/N)); chi=abs(logH0-logH1); q=(g-1)p(p+1)/2; p_valor2=1-chi2cdf(chi,q); Test2=[chi q p_valor2]; texto2=char('Test2: Igualdad de covarianzas (test de Bartlett): p- valor=',num2str(p_valor2)); % % cálculo de los ejes canónicos % [V,D]=eig(B,S); [z,i]=sort(-diag(real(D))); d=-z; V=real(V(:,i)); m=min(g-1,p); V=V(:,1:m); % % estandarización de los ejes canónicos V'SV=Id. V=Vinv(diag(sqrt(diag(V'SV)))); % % variabilidad explicada % for i=1:m
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El vector percent contiene los porcentajes de variabilidad explicados por los 2 ejes canónicos,
con un 97.6454% de variabilidad explicada por el primer eje. Para el contraste de comparación
de medias se obtiene una F(14, 482) = 22.2795, por lo que se infiere que los vectores de medias
son distintos.
percent = 97.6454 2.
Test1 = 22.2795 14.0000 482.0000 0
texto1 =Test1: Igualdad de medias (Lambda de Wilks): p-valor=
La salida gráfica muestra la representación canónica de los individuos en dos dimensiones con
un 100% de la variabilidad explicada. Recordad que el número de ejes canónicos es min(p,g-1),
donde p es el número de variables y g el número de grupos. El primer grupo corresponde a los
olmos femeninos, el segundo grupo son los olmos masculinos y el tercer grupo son los olmos
juveniles o plántulas.
b) Para obtener las regiones de confianza usaremos la función regconf.m
% REGCONF
% La función r=regconf(mY,n,p,conf) dibuja las regiones de confianza para los individuos % medios de g poblaciones obtenidos a través de la función CANP. % En cada población se miden p variables sobre n(i) individuos (i=1,2,...,g) con % n(1)+n(2)+...+n(g)=N. % % Entradas: % mY = las coordenadas canónicas de los individuos medios, % n = vector columna que contiene el numero de individuos de cada población, % p = número de variables medidas sobre cada población, % conf = nivel de confianza (0<=conf<=1) para el que % se construyen las regiones confidenciales % (por ejemplo, conf=0.90). % % Salidas: % r = vector que contiene los radios de las esferas. % function r=regconf(mY,n,p,conf) g=length(n);
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N=sum(n); % valor crítico de una F(p,N-g-p+1) para el nivel de % confianza (conf) especificado. F=finv(conf,p,N-g-p+1); % % cálculo de las regiones confidenciales (al conf100%) para los individuos medios. % for i=1:g r(i)=sqrt(Fp(N-g)/((N-g-p+1)n(i))); end for i=0:0.01:2pi theta(floor(i100+1))=i; end % % vector de etiquetas para los individuos medios % for i=1:g lab(i,:)=sprintf('%3g',i); end % hold on plot(mY(:,1),mY(:,2),'^r','MarkerFaceColor',[1 0 0]) xlabel('1er. eje canonico','FontSize',10) ylabel('2o. eje canonico','FontSize',10) % for i=1:g for j=1:length(theta) cercle(j,1)=mY(i,1)+cos(theta(j))r(i); cercle(j,2)=mY(i,2)+sin(theta(j))r(i); end plot(cercle(:,1),cercle(:,2),'.m','MarkerSize',4) end pconf=conf*100; title(['Regiones confidenciales para los individuos medios al ',num2str(pconf),'%'],'FontSize',12) for i=1:g text(mY(i,1),mY(i,2),lab(i,:)); end hold off end
Las regiones de confianza para los individuos medios, al 95% son
r=regconf(mY,n,7,0.95)
r = 0.3833 0.3833 0.
Puesto que el número de individuos es considerable, para una interpretación más clara, a veces
conviene representar solamente los individuos medios y sus regiones de confianza. En la salida
gráfica se observa que las diferencias entre los tres grupos son debidas al grupo de olmos
juveniles.
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Solución: Empezamos cargando los datos del fichero cocodrilos.txt que contiene los datos de la
Tabla 11:
data=load('cocodrilos.txt');
Para poder utilizar las funciones canp.m y regconf.m, primero necesitamos conocer el
número de individuos de cada grupo. Para ello, construimos mediante la función interna de
Matlab find, un vector que contenga el número de individuos de cada grupo:
n = zeros(1,4);
for i = 1:
grupo = find(data(:,1)==i);
n(i) = length(grupo);
end
y obtenemos n =[11 9 8 16]. Para obtener la representación canónica, hacemos:
X=data(:,2:12);
[mY,V,B,W,percent,Test1,texto1,Test2,texto2]=canp(X,n);
r=regconf(mY,n,11,0.90);
El vector percent contiene los porcentajes de variabilidad explicados por los 2 ejes canónicos,
con un 77.0181% de variabilidad explicada por el primer eje. Para el contraste de comparación
de medias se obtiene una F(33, 89) = 6.2528, por lo que se infiere que las medias son distintas.
mY =
percent = 77.0181 20.4787 2.
Test1 = 6.2528 33.0000 89.0000 0.
texto1 = Test1: Igualdad de medias (Lambda de Wilks): p-valor= 2.6755e-
La salida gráfica muestra la representación canónica de los cocodrilos en dos dimensiones con
un 97.5% de la variabilidad explicada junto con las regiones de confianza al 90% para los
individuos medios.
La matriz V contiene los pesos de las variables Xi en cada uno de los ejes canónicos, que será de
ayuda para interpretar dichos ejes.
