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Grado en Administraci´on y Direcci´on de
Empresas
Grado en Estad´ıstica Empresarial
Matem´aticas
Ejercicios Tema 3: Optimizaci´on de
funciones
Prof. Mar´ıa Victoria Herranz
- Dada la funci´on f (x, y) = x^2 + 2xy^2 + 2y^2 definida para todo (x, y).
a) Calcular las derivadas parciales de primer y segundo orden de f. b) Probar que los puntos cr´ıticos de f son (0, 0), (− 1 , 1), (− 1 , −1) y clasificarlos.
- Hallar todos los puntos cr´ıticos de las funciones siguientes y clasificarlos mediante el criterio del hessiano.
a) f (x, y) = x^3 + y^3 − 3 xy. b) f (x, y) = x^2 − xy + y^2 + 3x − 2 y + 1. c) f (x, y) = ln(1 + x^2 y). d ) f (x, y) = x^3 − 6 xy + 3y^2 − 1. e) f (x, y) = x^3 + xy − 2 y.
- Hallar los puntos cr´ıticos y extremos relativos y absolutos de la funci´on
f (x, y) = (x − 2)^4 + (x − y)^2.
- Determinar si se verifica el teorema de Weierstrass en los siguientes problemas de optimizaci´on:
a) m´ax(m´ın) x^2 + y^2 sujeto a x + y = 3. b) m´ax(m´ın) y − x^2 sujeto a 3x + y ≤ 4 , x ≥ 0. c) m´ax(m´ın) (x + 1)^2 + (y + 1)^2 sujeto a x^2 + y^2 ≤ 4 , x < 1. d ) m´ax(m´ın) 2x + y sujeto a x + y = 1, x^2 + y^2 ≤ 9. e) m´ax(m´ın) x + ln y sujeto a x − y^2 ≥ − 1 , x + y^2 ≤ 1. f ) m´ax(m´ın) − x^4 − 6 y^2 sujeto a x^2 + 2y^2 ≤ 16 , x^2 − y ≥ 0.
- Determinar la cantidad que maximiza el beneficio, si el ingreso total (IT) y el costo total (CT) vienen dados por:
IT = 15Q 1 + 18Q 2 CT = 2Q^21 + 2Q 1 Q 2 + 3Q^22
- Clasificar los puntos cr´ıticos de la funci´on f (x, y) = x^3 +5axy −y^3 seg´un los distintos valores del par´ametro a.
- Sea g(x, y) = (x − 1)^2 y.
a) Hallar la curva de nivel g(x, y) = 0. ¿D´onde es g(x, y) > 0? ¿D´onde es g(x, y) < 0? b) Hallar los puntos cr´ıticos. c) Empleando el apartado 7a, demostrar que el punto (1, 0) es un punto de silla.
- Hallar y clasificar todos los puntos cr´ıticos de las funciones
a) f (x, y) = ex (^2) y−xy (^2) +xy
b) g(x, y) =
x^2 + xy
- Un industrial produce dos tipos de productos A y B. Los precios unitarios de venta son p y q, respectivamente, que son funciones de la demanda de acuerdo con las leyes p = 280 − 3 x y q = 260 − y, siendo x e y las cantidades demandadas de los productos A y B. El coste de la fabricaci´on de x unidades de A e y unidades de B viene dado por la funci´on
C(x, y) = x^2 + y^2 + 4xy
Hallar las unidades a producir de A y B para que el beneficio sea m´aximo y calcular dicho beneficio.
- Dada la funci´on f (x, y) = 3x + y sujeta a la restricci´on x^2 + y^2 = 1000:
a) Hallar los extremos condicionados de f (x, y) mediante el m´etodo de los multi- plicadores de Lagrange. b) Comprobar que los ´optimos hallados en el apartado anterior verifican las con- diciones suficientes de segundo orden. c) Interpretar geom´etricamente la soluci´on obtenida mediante el m´etodo de las curvas de nivel.
- Consideremos el problema
m´ax f (x, y) = x + y sujeta a g(x, y) = x^2 + y = 1.
a) Escribir la funci´on lagrangiana para el problema y resolver las condiciones necesarias en este caso.
- Resolver los siguientes problemas de optimizaci´on, demostrando, mediante las con- diciones suficientes de segundo orden y mediante el m´etodo de las curvas de nivel, que el punto obtenido resuelve el problema.
a) m´ax x + y sujeta a x^2 + y^2 = 1 b) m´ax x^2 + y^2 sujeta a x + y = 1
¿Tiene soluci´on el correspondiente problema de minimizaci´on?
- Una empresa emplea cantidades K y L de capital y trabajo, respectivamente, para producir una cantidad de 27000 unidades de un solo producto, siguiendo la funci´on de producci´on F (K, L) = K^1 /^2 L^1 /^4. Si los precios de capital y trabajo son 1000 y 8000, respectivamente, hallar las cantidades K y L que minimizan los costes, as´ı como el coste m´ınimo.
- Resolver los siguientes problemas de optimizaci´on y demostrar que el punto obtenido resuelve el problema.
a) m´ax(m´ın) x + y + z sujeta a x^2 + y^2 + 2z = 0 b) m´ax(m´ın) 2x + 2y − z sujeta a x^2 + y^2 − z = 0 c) m´ın x^2 + y^2 + z^2 sujeta a x + y + z = 1
- Empleando L unidades de mano de obra y K unidades de capital, una empresa puede elaborar P unidades de su producto, con
P (L, K) = 50L^2 /^3 K^1 /^3
A la empresa le cuesta 100 euros por cada unida de mano de obra y 300 euros por cada unidad de capital empleado. La empresa dispone de una suma de 45000 euros para prop´ositos de producci´on.
a) Determinar las unidades de mano de obra y de capital que la empresa deber´ıa utilizar con objeto de maximizar su producci´on. b) Demuestre que en este nivel m´aximo de producci´on, la raz´on de los costos marginales de mano de obra y capital es igual a la raz´on de sus costos unitarios. c) Pruebe que si se dispone de 1 euro adicional para fines de producci´on en este nivel m´aximo de producci´on, la empresa puede producir aproximadamente λ unidades extra de su producto, en donde λ es el multiplicador de Lagrange. En otras palabras, λ puede interpretarse como la productividad marginal del capital.
- Dado el problema m´ax 9 − x^2 − y^2 sujeta a x + y = 3
a) ¿Podemos asegurar por el Teorema de Weierstrass que el problema de optimi- zaci´on tiene soluci´on?
b) Resolver el problema mediante el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, comprobando que se cumplen las condiciones suficientes de segundo orden. c) Resolver el problema estudiando las curvas de nivel de la funci´on f (x, y) = 9 − x^2 − y^2 junto con la gr´afica de la recta x + y = 3. Dar una interpretaci´on geom´etrica del problema.
- Resolver los siguientes problemas, demostrando previamente que tienen soluci´on y enunciando las condiciones necesarias de Kuhn-Tucker.
a) m´ax x^2 + y^2 + y − 1 sujeta a x^2 + y^2 ≤ 1. b) m´ax x^2 + 2y^2 − x sujeta a x^2 + y^2 ≤ 1. c) m´ax x^2 + 2y sujeta a x^2 + y^2 ≤ 5 , y ≥ 0.
- Si la funci´on de utilidad de un consumidor es U (x, y) = xy, siendo x e y las canti- dades consumidas de los bienes A y B, cuyos precios unitarios son 2 y 3 unidades monetarias, respectivamente, maximizar la utilidad de dicho consumidor sabiendo que no puede destinar m´as de 90 unidades monetarias a la adquisici´on de dichos bienes.
- Sea q(x, y) = 40x + 60y − x^2 − 3 y^2 la funci´on de producci´on de una empresa que produce un bien Q, a partir de los factores productivos X e Y. Sabiendo que los precios unitarios de dichos factores son px = 1 u.m. y py = 2 u.m., se pide cal- cular la cantidad de factores productivos que se han de utilizar para maximizar la producci´on, suponiendo unos costes no superiores a 34 unidades monetarias.
- Una empresa dispone de 100 unidades monetarias mensuales para la adquisici´on de materia prima y para la remuneraci´on de la mano de obra. Si x es el n´umero de unidades monetarias utilizadas para pagar la mano de obra e y el n´umero de unida- des monetarias utilizadas para pagar la materia prima, y la funci´on de producci´on mensual es f (x, y) = 5xy − 10 y calcular la producci´on m´axima y la cantidad utilizada en el pago de la mano de obra.
- Un consumidor puede adquirir dos bienes A y B en cantidades x e y, y la utilidad que obtiene con dicha adquisici´on viene dada por la funci´on U (x, y) = x^2 + y^2. De- terminar la cantidad que debe comprar de cada art´ıculo para maximizar la utilidad en los casos siguientes:
a) Si el precio unitario de A es de 2 euros, el precio de B es de 1 euro y su presupuesto es de 10 euros. b) Si el precio unitario de A es de 2 euros, el precio de B es de 1 euro, su presu- puesto es de 10 euros y el consumidor debe gastar todo su presupuesto.
