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Clausuras, Interiores
y Fronteras
Favio Santamaria^1 , Carlos Sulvaran^1 , Maria Camila Vivas^1
(^1) Estudiante del programa de Matematicas, Universidad de Cartagena, Facultad De Ciencias Exactas y Naturales.
18 de septiembre de 2022
Ejercicios.
- Sean A y B subconjuntos de un espacio topol´ogico X. Pruebe que A ⊆ B. si y solo si A ⊆ B.
Prueba. Suponga que A ⊆ B, por definicion de clausura tenemos que A ⊆ A, as´ı
A ⊆ A ⊆ B.
Reciprocamente suponga que A ⊆ B, como la clausura es el cerrado m´as peque˜no que contiene al conjunto, tenemos que
A ⊆ A ⊆ B
as´ı A ⊆ B.
- Sea X un espacio topologico. Pruebe que I : ℘(X) −→ ℘(X) definido por I(A) = IntX (A) es un operador interior.
Prueba. Veamos que i) I(X) = X ii) I(A) ⊆ A iii) I(I(A)) = I(A) iv) I(A ∩ B) = I(A) ∩ I(B)
En efecto, tenemos que
IntX (X) = U {X : X es abierto en X y X ⊆ X} = X
con lo cual queda establecido i). Sea x ∈ IntX (A), existe U abierto en X tal que x ∈ U ⊆ A, as´ı x ∈ A, con lo cual
I(A) ⊆ A
queda estableciso ii). Sabemos que Int(A) es un conjunto abierto, de hecho es el m´as grande contenido en A, as´ı, sabiendo que A si y solo si Int(A) = A, se sigue que
IntX (IntX (A)) = IntX (A)
esto es, I(I(A)) = I(A) con lo cual queda establecido iii). Finalmente veamos que I(A ∩ B) = I(A) ∩ I(B). Sea x ∈ I(A ∩ B), existe U abierto en X tal que x ∈ U ⊆ A ∩ B. As´ı x ∈ U ⊆ A y x ∈ U ⊆ B, esto es x ∈ I(A) y x ∈ I(B), con lo cual I(A ∩ B) ⊆ I(A) ∩ I(B). Sea ahora, x ∈ I(A) ∩ I(B). Entonces x ∈ I(A)y x ∈ I(B), as´ı, existe U abierto en X tal que x ∈ U ⊆ A y x ∈ U ⊆ B, por tanto x ∈ I(A ∩ B). Siendo as´ı, I(A ∩ B) = I(A) ∩ I(B). De i), ii), iii), y iv), se sigue que I es un operador interior.
- Sean X = {a, b, c, d, e} y τ = {X, ∅, {a}{c, d}, {a, c, d}, {b, c, d, e}} calcule en (X, τ ) la clausura de: {b}, {a, c} y {b, d}.
Soluci´on. Para encontrar la clausura de un conjunto, se debe seleccionar todos los cerrados que contienen dicho conjunto y luego escoger el menor. As´ı, los cerrados en τ son
∅, X, {a}c^ = {b, c, d, e}, {b, c, d, e}c^ = {a}, {c, d}c^ = {a, b, e}, {a, c, d}c^ = {b, e}
de donde
ClX ({b}) = X ∩ {b, c, d, e} ∩ {b, e} ∩ {a, b, e} = {b, e}
ClX ({a, c}) = X y ClX ({b, d}) = {b, c, d, e}
- Sean X un conjunto infinito, dotado de la toplogia de los cofinitos y A ⊆ X. Pruebe que
- Un espacio se llama separable si tiene un subconjunto denso numerable. El Ejercicio 2.27 garantiza que Ru es separable. Sean X un espacio segundo numerable y {B 1 , B 2 , ...} una base numerable para X. Para cada n ∈ N, sea xn ∈ Bn. Pruebe que {xn : n ∈ N} es denso en X. Deduzca que todo espacio segundo contable es separable.
Prueba
- Sea X un conjunto infinito. Pruebe que todo subconjunto infinito de X es denso en Xcof. Deduzca que Xcof es separable.
Prueba.
- Sean (X, d) un espacio m´etrico, ∅̸ = A ⊆ X y x ∈ X. Pruebe que x ∈ A si y solo si d(x, A) = 0 (ver Ejercicio 1.46).
Prueba. Suponga que ∅̸ = A ⊆ X y x ∈ A, existe r > 0 tal que B(x, r) ∩ A ̸= ∅. Sea yr ∈ B(x, r) ∩ A, entonces d(x, A) = inf d(x, a) ≤ d(x, yr ) < r siendo r > 0 arbitrario, se sigue que d(x, A) = 0. Reciprocamente suponga que d(x, A) = 0, dado que ϵ > 0 existe yϵ ∈ A tal que d(x, yϵ) < ϵ y as´ı B(x, ϵ) ∩ A ̸= ∅, as´ı por teorema anterior x ∈ A.
