Topologia (Grau de Matem`atiques), 2013–14, Semestre de
primavera
Laboratori 3: Topologia dels complementaris finits
Sigui Xun conjunt. Sigui Ola fam´ılia de subconjunts de Xformada pels complemen-
taris dels conjunts finits i el conjunt buit.
(1) Proveu que O´es una topologia de X. Aquesta topologia s’anomena la topologia
dels complementaris finits, i denotarem per Xcf l’espai topol`ogic associat. Trobeu
els tancats d’aquesta topologia.
(2) Sigui Xun espai topol`ogic amb la topologia dels complementaris finits. Proveu
que una successi´o a= (an) : N−→ Xconvergeix1a un punt x∈Xsi i nom´es si
la preimatge a−1({y}) = {n∈N;an=y}´es finita, per a tot y∈X,y=x.
Proveu que si aconvergeix a xaleshores se satisf`a una (i nom´es una) de les dues
condicions seg¨uents:
(a) a−1({x}) ´es finit, i aleshores qualsevol punt y∈X´es l´ımit de a, o
(b) a−1({x}) ´es infinit, i aleshores x´es l’´unic punt l´ımit de a.
Suposeu que X=N. Proveu que la successi´o (an) tal que an= 0, si n´es parell i
an=n, si n´es senar, ´es convergent amb un ´unic l´ımit. Trobeu una successi´o a X
no convergent, i una successi´o amb m´es d’un l´ımit. Demostreu que Xno admet
cap estructura d’espai m`etric compatible amb la topologia (dels complementaris
finits)2.
(3) Proveu que si f:X−→ Y´es bijectiva, i X, Y s´on espais dotats de la topologia
dels complementaris finits, aleshores f´es un homeomorfisme3.
(4) Proveu que qualsevol polinomi P∈R[X] defineix una aplicaci´o cont´ınua P:
Rcf −→ Rcf. Trobeu una aplicaci´o f:R−→ Rque sigui cont´ınua per a la
topologia eucl´ıdea, per`o que no ho sigui per a la topologia dels complementaris
finits.
(5) Proveu que si f:Rcf −→ Rcf ´es cont´ınua i t´e un nombre infinit de zeros, aleshores
f´es constant.
(6) Proveu que una aplicaci´o f:Rcf −→ Rcf ´es tancada4si i nom´es si ´es exhaustiva
o pren un nombre finit de valors. Trobeu una aplicaci´o cont´ınua f:Rcf −→ Rcf
que no sigui tancada.
(7) Denotem per Reuc l’espai Ramb la topologia eucl´ıdiea. Existeix alguna aplicaci´o
cont´ınua f:Rcf −→ Reuc que no sigui constant?
1una successi´o (an) convergeix a un l´ımit x∈Xsi per a tot obert Utal que x∈U, existeix n0∈N
tal que an∈U, per a tot n≥n0
2podeu usar el fet, demostrat a teoria, que en un espai m`etric el l´ımit d’una successi´o convergent ´es
´unic
3recordeu la caracteritzaci´o de la continu¨ıtat per tancats
4envia tancats a tancats