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ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL
FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
CÁLCULO DE UNA VARIABLE
DEBER 5 – DERIVADAS
REGLA DE LA CADENA
- Derive las siguientes funciones: (a) (^) 𝑦 = 𝑎$% (b) (^) 𝑦 =
𝑥'^ − 1
𝑥'^ + 1
(c) (^) 𝑦 =
𝑒$^ − 1
𝑒$^ + 1
(d) (^) 𝑦 = 1 + 1 + 𝑥 (e) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥'^ + 𝑠𝑒𝑛 𝑥'^ + 𝑠𝑒𝑛 𝑥' (f) (^) 𝑦 =
cos 2 𝑥 2 (g) 𝑦 = 𝑒^2 $^ 𝑙𝑛 3 𝑥 + 4 (h) 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥 + 1 + 𝑥' (i) (^) 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠^2
(j) 𝑦 = 𝑙𝑛
(k) 𝑦 = 1 4 𝑙𝑛 𝑥' 𝑥'^ − 4 − 1 𝑥'^ − 4 (l) 𝑦 = 𝑡𝑎𝑛 𝑙𝑛
𝑥'^ + 1
𝑥'^ + 3
:
- Obtenga 𝑓 ∘ 𝑔 ′(𝑥), si 𝑓 𝑢 = 𝑒B % y 𝑢 = 𝑔 𝑥 = 1 + cos'^2 𝑥 C
- Dado que 𝐺 𝑥 = 𝑔 𝑎 + 𝑏𝑥 + 𝑔 𝑎 − 𝑏𝑥 y 𝑔 es derivable en todo su dominio, calcule 𝐺F^0.
- Dado que 𝐹 𝑥 = 𝑓 𝑓 𝑓 𝑥 , 𝑓 0 = 0 , 𝑓F^0 = − 2 y 𝑓 es derivable en todo su dominio, calcule 𝐹F^0.
- Dadas las funciones de variable real 𝑓 y 𝑔 derivables en ℝ. Se conoce que los puntos − 4 , 1 y 3 , 4 pertenecen a la gráfica de la función 𝑓 y los puntos − 4 , 3 y 3 , − 2 pertenecen a la gráfica de 𝑔. También se conoce que: 𝑓′ − 4 = 3 , 𝑓′ 3 = − 4 , 𝑔′ − 4 = − 2 y 𝑔′ 3 = 6. (a) Si 𝑘 = 2 𝑓 + 3 𝑔 M^ , calcule 𝑘′ 3. (b) Si 𝑚 = 𝑓 ∘ 𝑔 , calcule 𝑚′ − 4.
- Dada la función 𝑓: 𝑋 ⊆ ℝ ↦ ℝ tal que: 𝑓 𝑥 = 𝑙𝑛
6 + 𝑠𝑒𝑛'^ 𝑥
ST 7 + 𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 Calcule: 𝑓F^
DERIVACIÓN DE ORDEN SUPERIOR
- Determine 𝑦′′ para las siguientes funciones. (a) 𝑦^ =^
(b) 𝑦 =
cos'^3 𝑥
- Determine 𝑦′′′ para las siguientes funciones. (a) 𝑦 = 6 𝑥W^ + 𝑥^2 − 5 𝑥'^ − 7 𝑥 ' (b) 𝑦 = S $%YM (c) 𝑦 = 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥'
- Determine 𝑦Z[^ para las siguientes funciones. (a) 𝑦 = 6 𝑥W^ + 𝑥^2 − 5 𝑥'^ − 7 𝑥 ' (b) 𝑦 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 3 cos 𝑥 (c) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 −𝑥 + 𝑥\
- Obtenga: 𝑑 𝑑𝑥
- Determine la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la curva dada en el punto 𝑃T 1 , 2 : 𝑦M^ = 4 𝑥M^ + 6 𝑥𝑦
- Para la LEMNÍSCATA DE BERNOULLI 2 𝑥'^ + 𝑦'^ '^ = 25 𝑥'^ − 𝑦'^ se cumple que la recta tangente en el punto 3 , 1 es 𝑘𝑥 + 𝑝𝑦 − 4 𝑘 + 1 = 0 , determine los valores numéricos de 𝑘, 𝑝 ∈ ℕ.
- Para la circunferencia 𝑥'^ + 𝑦'^ = 1 obtenga una expresión simplificada para 𝑦FFF^ en términos de las variables 𝑥, 𝑦.
- Para la ecuación dada en forma implícita 𝑥 − 𝑡𝑎𝑛 𝑦 + 𝑒 e a r C = 2 , determine b%e b$%^ en el punto 2 , s M
- Dada la función 𝑓: ℝ ↦ ℝ tal que: 𝑦 = 𝑓 𝑥 =
Determine el valor de 𝑎 ∈ ℝ , para que se cumpla la siguiente relación: 2 𝑦𝑦FF^ − 𝑦F^ '^ = 𝑎
- Dada la curva en forma implícita: 1 + 𝑥𝑦 = 𝑘 𝑥 − 𝑦 ; 𝑘 ∈ ℝ Determine el valor de 𝑎 ∈ ℤ , para que se cumpla la siguiente relación: 𝑦F^ = 𝑘'^ − 𝑎 𝑥 + 𝑘 ' DERIVACIÓN LOGARÍTMICA
- Obtenga be b$ para las siguientes funciones de variable real: (a) (^) 𝑦 = 𝑥vw^ $ (b) (^) 𝑦 = 1 + ln 𝑥 xy`^ $ (c) (^) 𝑦 =
𝑥W^ M^ 𝑥^2 − 1
5 𝑥 − 3 M
(d) (^) 𝑦 =
𝑠𝑒𝑐W^ 𝑥 𝑡𝑎𝑛 𝑥 + 1
: csc 𝑥^2 − 4 (e) (^) 𝑦 = 𝑥y z
- 𝑒$ z (f) 𝑥 + 𝑦 e^ = 𝑥'^ + 𝑦' (g) (^) 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 1 + 𝑒'$^ {|}^ $ (h) (^) 𝑦 = z𝑥
- Dada la función 𝑓: ℝ ↦ ℝ tal que: 𝑓 𝑥 = 𝑥'^ + 1 '$Y^2 Obtenga el VALOR NUMÉRICO de 𝑓F^1 − 𝑓F^ − 1.
- Determine b%e b$%^ 1 , 2 , si existe, para: 𝑥e^ + 𝑥𝑦 = 3
- Si 𝑦 = 𝑥$ z , demuestre que: 𝑦F^ = 𝑥$ z 𝑥$^ ln 𝑥 + ln'^ 𝑥 +
- Determine la ecuación de la recta tangente, en 𝑥 = 0 , a la curva definida por la ecuación: 𝑦 = 1 + 𝑒$^ vw^ $YS
- Determine la ecuación de la recta tangente, en el punto 1 , 1 , a la curva definida por la ecuación: 𝑥e^ + 𝑦$^ = 2
