Dinámica y Cinemática: Problemas Resueltos y Explicaciones Detalladas, Apuntes de Física

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Mecánica-FI

Problemas Propuestos y Resueltos

Kim Hauser Vavra

e-mail: [email protected]

Versión abril, 2011

ÍNDICE

• 1. Cinemática
  • 1.1. Problemas
  • 1.2. Soluciones
• 2. Dinámica
  • 2.1. Problemas
    • 2.1.1. Dinámica de Varias Partículas
  • 2.2. Soluciones
• 3. Trabajo y Energía
  • 3.1. Problemas
  • 3.2. Soluciones
• 4. Equilibrio y Oscilaciones
  • 4.1. Problemas
    • 4.1.1. Oscilaciones amortiguadas
    • 4.1.2. Oscilaciones acopladas
    • 4.1.3. Oscilaciones forzadas
  • 4.2. Soluciones
• 5. Fuerzas Centrales
  • 5.1. Problemas
  • 5.2. Soluciones
• 6. Movimiento Relativo: Sistemas No Inerciales
  • 6.1. Problemas
  • 6.2. Soluciones
• 7. Sólido Rígido y Sistemas de Partículas
  • 7.1. Problemas
  • 7.2. Soluciones
• 8. Lista de Respuestas

Nota de la versión

 Se han incorporado vínculos internos que facilitan la navegación por el interior del docu- mento en la versión digital. Éstos aparecen al comienzo de cada problema o solución en la forma: ‘Resp.’, ‘Prob.’ y ‘Sol.’. El siguiente es un ejemplo de un problema que cuenta con solución, además de respuesta al final del documento. Los problemas cuya solución no se ha incluido muestran sólo el vínculo hacia la lista de respuestas (Resp.).

Ejemplo: P.7.6 Resp Sol.. Una lámina circular de radio R, densidad homogénea...

Desde la lista de respuestas es posible redirigirse al enunciado de los problemas a través de ‘Prob.’ y, cuando corresponde, también a la solución (‘Sol.’).

CAPÍTULO

CINEMÁTICA

1.1 Problemas

P.1.1 Resp.

Una partícula se mueve con rapidez v 0 constante, sobre un riel circular de radio R colocado en posi- ción horizontal sobre una superficie también horizontal. La partícula se encuentra atada mediante una cuerda inextensible a un bloque que cuelga debajo de un agujero localizado a una distancia R/ del centro del riel. Suponga que vo es suficientemente pequeño para que la cuerda no se destense.

(a) Determine la rapidez del bloque en función del ángulo θ.

(b) Obtenga la rapidez máxima del bloque.

(c) Determine la aceleración ~a del bloque cuando la partícula que se mueve sobre el riel pasa por la posición θ = 0.

θ

g

vo

R

Fig. P.1.

2 R

ω o

vo

Fig. P.1.

PROBLEMAS 1. CINEMÁTICA

P.1.5 Resp Sol..

La trayectoria de un punto P, en coordenadas cilíndricas, se define con:

ρ (t) = ρ 0 , θ (t) =?, z(t) = h − B θ (t)

Se sabe que θ (t) es una función monótona, θ ( 0 ) = 0 y que θ ˙( 0 ) = ω 0 y donde h, B y ω 0 son cantidades positivas conocidas.

(a) Obtenga las expresiones para los vectores velocidad y aceleración en este ejemplo.

(b) Obtenga una expresión para el vector tangente ˆt y para la rapidez de P. Comente sobre los signos de estas cantidades.

(c) Obtenga expresiones para las aceleraciones centrípeta y tangencial:

~a(t) = ~acent(t) +~atg(t)

(d) ¿Cuál es la función θ (t) si se sabe que la aceleración apunta todo el tiempo perpendicular al eje Z?

P.1.6 Resp.

Una barra rígida de largo L se mueve apoyada en dos paredes rígidas que forman un ángulo recto entre ellas. Suponga que el ángulo θ = θ (t) es una función arbitraria del tiempo.

(a) Determine el vector posición ~r(t), velocidad ~v(t) y aceleración ~a(t) del punto medio de la barra.

(b) El radio de curvatura de una trayectoria se define como ρ = v^3 / ‖~v ×~a‖. Calcule el radio de curvatura de esta trayectoria. Interprete el resultado y dibuje la trayectoria.

(c) Suponga ahora que el apoyo inferior de la barra se mueve con rapidez constante vo a partir del momento en que la barra está en la posición vertical. Encuentre la función θ (t) que da lugar a ese movimiento.

Fig. P.1.

θ L

PROBLEMAS 1. CINEMÁTICA

P.1.7 Resp Sol..

Considere una curva espiral cónica descrita en coordenadas esféricas por las ecuaciones:

θ = 45 o,

φ = 2 π r R

donde R es una constante conocida. Una partícula se mueve sobre la espiral partiendo desde el origen manteniendo una velocidad radial constante y conocida, ˙r = c. Se pide:

(a) Determine la distancia radial del punto P en el cual la rapidez de la partícula es 3c.

(b) Encuentre una expresión para la longitud total de la espiral y para el tiempo que la partícula tarda en recorrerla. Nota: Está bien si deja su solución en términos de una integral muy complicada.

(c) Determine el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el punto P.

Fig. P.1.

45 o

Fig. P.1.

x

φ

A

O

R P

D

ω

P.1.8 Resp.

El punto de unión P entre un pistón y una biela de largo D se mueve a lo largo del eje x debido a que el cigüeñal (disco), de radio R y centro en un punto fijo O, rota a velocidad angular constante ω. En el instante t = 0 la biela está horizontal ( φ = 0, x = R + D).

(a) Encuentre una expresión para la distancia x(t) entre P y O como función del tiempo t.

(b) Encuentre la velocidad v(t) de P.

(c) En la expresión para v(t) considere el caso R  D y luego encuentre una expresión aprox- imada para la aceleración de P. ¿Cómo se compara la magnitud de la aceleración máxima del pistón con la aceleración del punto A?

P.1.9 Resp.

Suponga que es posible excavar un túnel entre dos puntos A y B de la Tierra. La aceleración de gravedad (que apunta hacia el centro de la Tierra) al interior del túnel tiene una magnitud que es proporcional a la distancia r desde el centro de la Tierra:

|~a| = g R

r

donde g es la aceleración de gravedad en la superficie de la Tierra y R es el radio de la Tierra. Asumiendo que un vehículo parte del reposo en el punto A y se mueve sin roce en el interior del túnel, bajo el efecto de la gravedad, calcule:

SOLUCIONES 1. CINEMÁTICA

1.2 Soluciones

S.1.3 Prob Resp.. (a) Dado que estamos describiendo la posición de la partícula en coordenadas cilíndricas, el vector posición es, por definición:

~r = ρ ρ ˆ + zkˆ = Aek θ^ ρ ˆ + hAek θ^ kˆ ⇒ ~r˙ = Akek θ^ θ ˙ ρ ˆ + Aek θ^ θ ˙ θ ˆ + hkAek θ^ θ ˙ kˆ ⇒ ~r˙ = Aek θ^ θ ˙(k ρ ˆ + θ ˆ + hkkˆ)

No conocemos aún el valor de ˙ θ , pero sabemos que la rapidez de la partícula vale siempre vo, esto es: ||~ r˙|| = vo

⇒ ||~ r˙|| = A θ ˙ek θ^

k^2 + 1 + h^2 k^2 = vo ⇒ A θ ˙ek θ^ = vo √ k^2 + 1 + h^2 k^2

⇒ ~r˙^ =^

vo √ k^2 + 1 + h^2 k^2

(k ρ ˆ + θ ˆ + hkkˆ)

(b) Con el resultado anterior, calculamos ~a = ~¨r:

~a = vo √ k^2 + 1 + h^2 k^2

(k θ ˙ θ ˆ − θ ˙ ρ ˆ)

vo θ ˙ √ k^2 + 1 + h^2 k^2

(k θ ˆ − ρ ˆ)

Pero de (∗): ˙ θ = (^) Aek θ √k 2 v+o 1 +h (^2) k 2 (∗∗)

⇒ (^) ~a = vo

2 Aek θ^ (k^2 + 1 + h^2 k^2 )

(k θ ˆ − ρ ˆ)

(c) Definamos primero, para simplificar la notación, B ≡ vo /

k^2 + 1 + h^2 k^2. Demostrar que ~a⊥~v se puede hacer de dos formas, pero ambas para concluir que ~a · ~v = 0. La primera, más simple, es considerar que ~v · ~v = vo^2. Así:

d dt (~v · ~v) = ~a · ~v + ~v ·~a = 2 ~a · ~v = 0

La otra es calcular directamente ~a · ~v:

~a · ~v =

B^3

Aek θ^

(k θ ˆ − ρ ˆ)(k ρ ˆ + θ ˆ + hkˆk)

B^3

Aek θ^

(k − k) = 0

∴ ~a⊥~v

SOLUCIONES 1. CINEMÁTICA

(d) Por último, de (∗∗) tenemos que:

θ ˙ = d θ dt

B

Aek θ ⇒ ek θ^ d θ =

B

A

dt /

∫

∫ ek θ^ d θ =

∫ B

A

dt

ek θ k

B

A

t + c −→ depende de las condiciones iniciales, que no tenemos.

Despejando θ y reemplazando el valor de B obtenemos:

θ (t) =

k ln

kvo A

k^2 + 1 + h^2 k^2

t + kc

S.1.5 Prob Resp..

(a) El vector posición en coordenadas cilíndricas es ~r = ρ o ρ ˆ + zkˆ. Pero z = h − B θ. Así:

~v = ρ o θ ˙ θ ˆ − B θ ˙ ˆk, ~a = − ρ o θ ˙^2 ρ ˆ + ρ θ ¨ θ ˆ − B θ ¨ kˆ

(b) ˆt =

~v ‖~v‖ y ‖~v‖ =

ρ^2 o θ ˙^2 + B^2 θ ˙^2 =

∣ (^) θ ˙

ρ^2 o + B^2. Como θ (t) es monótona y en t = 0 [ θ = 0 ∧ θ ˙ > 0] entonces [ θ ˙(t) > 0, ∀t] ⇒ ‖~v‖ = θ ˙

ρ^2 o + B^2

=⇒ ˆt = ρ o √ ρ^2 o + B^2

θ^ ˆ − √ B ρ^2 o + B^2

k^ ˆ y v = θ ˙√ ρ^2 o + B^2

(c) Como ~v = vˆt (coordenadas intrínsecas), ~a = v˙tˆ + v dtˆ dt

. Ahora, ˙v = θ ¨

ρ^2 o + B^2 y dtˆ dt

ρ o √ ρ^2 o + B^2

θ^ ˙ ρ ˆ

=⇒ ~a = − ρ o θ ˙^2 ︸ ︷︷ ︸ acent

ρ ˆ + θ ¨

ρ^2 + B^2 ︸ ︷︷ ︸ atang

ˆt

(d) Si ~a apunta perpendicularmente al eje z, entonces ~a · ˆk = 0. Pero ~a · kˆ = − θ ¨B = 0 ⇒ θ ¨ = 0 pues B 6 = 0. Con esto: θ ˙ = Cte^ y como θ ˙( 0 ) = ω o ⇒ θ ˙(t) = ω o. Esto último implica que θ (t) = ω o t + c, pero θ ( 0 ) = 0, por lo tanto

θ (t) = ω o t.

SOLUCIONES 1. CINEMÁTICA

~aP = −

4 π c^2 R rˆ −

4 π c^2 R θ ˆ + 2

2 π c^2 R φ ˆ, ~vP = crˆ + 2

2 c φ ˆ, y vP = |~vP| = 3 c.

Al hacer el producto cruz y calcular la norma se obtiene: ‖~vP ×~aP‖ =

86 π c^3 R

. Con esto, el radio de curvatura en el punto P es:

ρ c =

27 R

86 π

CAPÍTULO

DINÁMICA

2.1 Problemas

P.2.1 Resp.

Para pasar un bulto P de masa m de un lado al otro de un río de ancho R se utiliza el método que sigue. P se ata a una cuerda de largo R que está unida al extremo de una vara de largo R. La barra se hace girar desde su posición horizontal con velocidad angular ω 0 en torno a una rótula que une la orilla del río con el otro extremo de la vara. Despreciando todo roce:

(a) Demuestre que mientras la carga va por tierra firme la tensión de la cuerda es constante. Determine su valor.

(b) Determine el valor de ω 0 para que P se despegue del suelo justo antes de llegar al río.

R R

R

~g

ω o

Fig. P.2.

~g (^) h

vo

Fig. P.2.

P.2.2 Resp Sol..

Una partícula P de masa m se lanza por el interior de un recipiente cilíndrico con eje vertical, radio R y altura h. El roce de P con la pared cilíndrica es despreciable; domina el roce viscoso ~Fr.v. = −c~v de

PROBLEMAS 2. DINÁMICA

(b) Integrando tal ecuación se obtiene ˙ θ^2 = algo que tiene que ser positivo. Obtenga una desigual- dad para cos θ. ¿Físicamente qué ocurriría si la desigualdad se hiciera igualdad?

(c) Encuentre una expresión para la fuerza normal en función de los datos y de θ (t). Imponien- do que la fuerza normal apunte hacia el centro obtenga una desigualdad para cos θ. ¿Física- mente qué podría ocurrir si la desigualdad se hiciera igualdad?

(d) ¿Para qué valor de ω 0 ambas desigualdades coinciden?

(e) Si el dibujo representa a una partícula que desliza apoyada en el interior de un cilindro de eje horizontal, ¿bajo qué condiciones la partícula oscila respecto al punto más bajo sin despegarse jamás?

(f) ¿Bajo qué condiciones desliza girando en un solo sentido sin despegarse jamás?

P.2.5 Resp.

Considere una superficie cónica como la indicada en la figura, que se encuentra en un ambiente sin gravedad. En un cierto instante se impulsa una partícula de masa m sobre la superficie interior del cono, con una velocidad inicial vo en dirección perpendicular a su eje. En ese momento la partícula está a una distancia ro del vértice del cono. El roce entre la partícula y la superficie es despreciable. El ángulo entre el eje del cono y la generatriz es α.

(a) Escriba las ecuaciones de movimiento de la partícula en un sistema de coordenadas que le parezca adecuado.

(b) Determine la fuerza que la superficie cónica ejerce sobre la partícula cuando ésta se ha alejado hasta una distancia r = 2 ro del vértice del cono. Determine la rapidez de la partícula en ese momento.

α

m vo ro

Fig. P.2.

γ

~g

y

μ e, μ d

l 0

Fig. P.2.

x

P.2.6 Resp.

Considere un sistema compuesto por un resorte y una masa que se encuentran al borde de una piscina muy profunda, como se indica en la figura. El resorte es de largo natural l 0 y constante elástica k. A éste se fija una pared móvil de masa despreciable. El sistema se prepara de tal modo que la partícula puntual de masa m se coloca junto a esta pared en su posición de compresión máxima, es decir en x = −l 0 , según el sistema de coordenadas que se muestra en la figura, y se suelta desde el reposo. Se pide:

PROBLEMAS 2. DINÁMICA

(a) ¿Cuál es la condición que asegura que la masa m se moverá desde x = −l 0?

(b) Encuentre el valor máximo de μ d que permita a la masa llegar al borde de la piscina (x = 0) con velocidad no nula. Entregue el valor de esta velocidad no nula.

(c) Considere que la masa entra a la piscina inmediatamente cuando x > 0. Una vez que entra, la masa experimenta una fuerza de roce viscoso lineal, de constante γ. Suponga además que no hay fuerza de empuje (la masa es puntual). Determine entonces el alcance máximo que alcanzará la masa y su velocidad límite.

P.2.7 Resp.

Una partícula de masa m está ubicada sobre la superficie de una esfera de radio R, en presencia de gravedad. En el instante inicial, se lanza la partícula con una velocidad horizontal v~ 0 = v 0 φ ˆ, tangente a la superficie, y con un ángulo θ (t = 0 ) = π /3.

(a) Encuentre la velocidad y aceleración de la partícula en función de θ.

(b) Determine el valor del ángulo θ ∗^ en que la partícula se despega de la superficie.

θ (^0) ~g

~v 0 ⊗

R

Fig. P.2.

P.2.8 Resp.

Hay un hilo enrollado alrededor de un cilindro de radio R. En la punta del hilo hay un cuerpo de masa m que se suelta, cuando φ = 0, con velocidad inicial ~v(t = 0 ) = −v 0 ρ ˆ, perpendicular al hilo, lo que determina que el hilo se comienza a enrollar. La distancia inicial entre el cuerpo y el punto B de tangencia del hilo con el cilindro es L 0. No hay gravedad. Nota : Las coordenadas cilíndricas en este problema persiguen al punto de tangencia B, y es conve- niente escribir el vector posición como: ~r = R ρ ˆ + L(t) φ ˆ.

(a) Determine la ecuación de movimiento para la distancia L(t) correspondiente a la longitud de hilo que queda por enrollar en el tiempo t (distancia entre los puntos B y la posición de la masa).

(b) Obtenga la velocidad angular ˙ φ en función de φ.

(c) Suponiendo que el hilo se corta si la tensión sobrepasa el valor Tmax, obtenga el valor de φ en el momento del corte.

PROBLEMAS 2. DINÁMICA

P.2.11 Resp Sol..

Un bloque B de masa m está apoyado en una superficie plana con la cual tiene coeficientes de roce estático y dinámico μ e y μ d. El bloque está además unido a un resorte (constante elástica k y largo natural lo) cuyo otro extremo está fijo a la superficie (figura). Inicialmente el resorte está con su largo natural. La superficie se vá inclinando muy lentamente a partir de la posición horizontal ( α = 0). Siempre es cierto que μ e > μ d.

(a) ¿Cuál es el ángulo máximo α ∗^ antes que B deslice? (b) Suponiendo que cuando α = α ∗, se deja de mover la superficie plana y el bloque comienza a deslizar, determine el máximo estiramiento del resorte y determine la máxima rapidez que alcanza B durante el movimiento. (c) Determine si, una vez alcanzado el estiramiento máximo, B permanece en reposo o si se debiera satisfacer una condición especial para que eso ocurra.

α

~g

Fig. P.2.11 Fig P.2.

h

Ro

~g

P.2.12 Resp Sol..

Un anillo de masa m desciende, debido a su propio peso, por un alambre de forma helicoidal de radio Ro y paso tal que z = h − φ R 1. No hay roce anillo-alambre, pero sí hay roce viscoso: el anillo es frenado por un roce viscoso lineal ~Frvl = −c~v. La condición inicial es φ ( 0 ) = 0, z( 0 ) = h y ˙ φ ( 0 ) = 0 y la aceleración de gravedad es g.

(a) Obtenga el vector unitario tangente ˆt de la trayectoria y la expresión más general posible para la fuerza normal ~N.

(b) Descomponga la ecuación (vectorial) de movimiento en ecuaciones escalares.

(c) De las ecuaciones anteriores obtenga la forma explícita de ω (t) = φ ˙(t) en función de los datos: m, Ro, R 1 , c y g.

P.2.13 Resp.

Una partícula de masa m está atada a 2 cuerdas independientes de igual largo, cuyos otros extremos están fijos a los puntos A y B, separados entre sí una distancia H (ver figura). La partícula rota en torno al eje vertical AB, manteniéndose en el plano horizontal ubicado a media distancia entre ambos puntos.

(a) Determine el mínimo valor de la velocidad angular ω que le permite a la partícula mantener un movimiento circular uniforme con ambas cuerdas tensas (Datos: m, g, H).

PROBLEMAS 2. DINÁMICA

 Importante: En las partes b) y c) los puntos A y B se transforman en orificios a través de los cuales las 2 cuerdas pueden ser recogidas en forma controlada.

(b) Si ambas cuerdas son recogidas a una tasa igual y constante, ˙L = −vo, muestre que ¨r ∝ r−^3. Obtenga la constante de proporcionalidad.

(c) Si en el recogimiento de las cuerdas se observa que, cuando r = H, la velocidad angular de la partícula es 2

g H , determine la velocidad angular y la tensión de cada cuerda cuando r = H/2.

L

L

m

A

B

~g

ω

ro

H/

H/

Fig. P.2.13 Fig P.2.

4 b ~g

P.2.14 Resp.

Una partícula P es lanzada hacia arriba deslizando, en ausencia de roce , por la línea helicoidal definida en coordenadas cilíndricas por

ρ = 4 b, z = 3 b φ.

En t=0 , la partícula P está en φ = 0, z = 0 y con ˙ φ ( 0 ) = ω.

(a) Obtenga y escriba expresiones para el vector posición, velocidad y aceleración de P.

(b) Obtenga la rapidez y el vector unitario tangente a la trayectoria.

(c) Escriba la ecuación de movimiento y úsela para deducir de ella el tiempo que P tarda en detenerse.

(b) Escriba la fuerza normal como una función vectorial explícita en el tiempo.

P.2.15 Resp.

Si la partícula de la figura parte desde el punto θ = 0 con rapidez inicial vo, determine el ángulo θ máximo que alcanza en el semi-cilindro estando contínuamente adherida a el. Considere que no existe roce.