EJERCISIOS MAT SUPERIOR, Ejercicios de Matemática Discreta

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GUÍA DE TRABAJO

MATEMÁTICA SUPERIOR

UNIDAD 1

Presentación

Estimados estudiantes:

En la unidad I se desarrolla las características y

propiedades de los Número Reales, la unidad II

desarrolla la Potenciación y Radicación, la unidad III,

aborda las Ecuaciones e Inecuaciones, por último, en

la unidad IV el tema de Áreas y Volúmenes.

UNIDAD I

Números Reales

NÚMEROS REALES Y SUS

PROPIEDADES

En 1642 y a los 19 años, Blaise Pascal construyó una

sencilla máquina aritmética para su padre, porque

tenía que contar dinero en el trabajo. La máquina se

servía de engranajes mecánicos para sumar (cifras

de hasta ocho dígitos) y restar automáticamente. Unos

años después el gran matemático Gottfried Leibniz

perfeccionó el invento de Pascal y obtuvo un nuevo

modelo que podía sumar, restar, multiplicar, dividir y

calcular raíces cuadradas. Éste fue el punto de partida

para las auténticas calculadoras, y finalmente para

las computadoras.

La noción de número es tan antigua como el hombre

mismo ya que son necesarios para resolver situaciones

de la vida diaria. Por ejemplo, usamos números para

contar una determinada cantidad de elementos

(existen siete notas musicales, cinco continentes, etc.),

para establecer un orden entre ciertas cosas (el tercer

mes del año, el cuarto hijo, etc.), para establecer

medidas ( 3 ,2 metros; 5 , 7 kg; – 4 ºC; etc.), etc.

CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS NATURALES

( lN )

lN = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6;.....}

Los puntos sucesivos significan: «y así sucesivamente»

El conjunto de los Números Naturales surgió de la

necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser

humano desde sus inicios.

Este conjunto se caracteriza porque:

· Tiene un número infinito de elementos.

· Cada elemento tiene un sucesor y todos,

excepto el 0, un antecesor.

Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de

la siguiente manera:

También podemos verlos como una serie de puntos

alineados y equidistantes

Operemos con estos números:

Como llegamos a una operación que no podemos

resolver. Es necesario extender este conjunto.

CONJUNTO DE LOS

NÚMEROS ENTEROS

( ZZ)

ZZ = { .....; – 4 ; – 3 ; - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3;.....}

El conjunto de los Números Enteros surge de la

necesidad de dar solución general a la sustracción,

pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo,

esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos

Naturales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?).

Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la

izquierda, de modo que a cada punto que representa

un número natural le corresponda un punto

simétrico , situado a la izquierda del cero.

Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual

distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la

izquierda de él).

Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de

la siguiente manera:

• 3

• 87
  • 6

También podemos verlos de la siguiente manera:

Operemos con estos números:

( l R )

El conjunto formado por los racionales y los irracionales

se llama conjunto de números reales, y se designa

por lR.

lR = {Q 0 

II }

Podemos graficar mediante un diagrama de Venn de

la siguiente manera:

I. Ahora vamos a practicar ...

Escribir SÍ o NO según pertenezca o no el número

dado a los conjuntos lN, ZZ, Q 0 o

I

I

I

7

Z

5

N

• 3 1

Q

• 3

8

R

3

3 2

6

0

8

• 6
• 9

3

8

• 1

1 0 0 1

5 3 2

2

6 5

II

Los números reales llenan por completo la recta

numérica, por eso se la llama Recta Real.

Donde a cada punto de la recta le corresponde un

número real y, a cada número real, le corresponde un

punto de la recta.

II. Completa teniendo en cuenta el nombre del

primer conjunto al que pertenece cada uno

de los siguientes números:

1. 2 es un número: ..............................................

2. • 36 es un número: ...........................................

3

es un número: ............................................

es un número: ..........................................

5. +2 7 es un número: ...........................................

EJERCICIOS PROPUESTOS

6. 7 y - 3 son números: ..........................................

7.  y

4

son números: .....................................

8. • 24 y 3 son números: ....................................

2

9. • 6 , 34 es un número: ........................................

y 5 , 2 son números: ......................................

11. 1 ,2 y 6 ,7 son números: ..................................

a) racional y decimal b) decimal

c) entero y natural d) irracional

e) real e irracional

6. ¿Cuál de los siguientes gráficos es correcto?

7

y

4

2

son números: .................................

13. • 3 ; 5 y - 2 son números: ..................................

lN

Z

Z

Z

I.

Z

Z

Z

Q

II.

lN

Q

lR

es un número: ..........................................

III. IV. Q

I

I

I

; 1 ; - 2 y 0 , 24 son números: .......................

3

2

es un número: ...........................................

; son números: .............................

18. ;

3

3

5

son números: .............................

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) Sólo IV e) I y IV

7. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?

a) 24 es un número entero

b) - 0 , 432176 es un número racional

c) 3 ,7 es un número racional

; 2 ,4 son números: ................................

d) 5 es un número real

III. Resuelva las siguientes preguntas.

5

es un número:

a) racional b) real y natural

e)  es un número natural

8. ¿Cuál de los siguientes enunciados es falso?

3

c) irracional d) natural

a)

2

es una fracción

e) entero

2. 0 , 3333 ... es un número:

a) racional y decimal b) irracional

c) natural d) entero

e) real

3. 4 + 3 da como resultado:

a) un número natural

b) 0 , 3492 es un número irracional

c)

5

es un número real

d) 1 + 2

es un número irracional

e) 241 es un número natural

9. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

3

a) es un número natural

7

b)

3

es un número racional

b) un número entero

c)

1 , 3

es un irracional

c) un número racional

d) un número irracional

e) todas son correctas

4. Señalar las afirmaciones correctas:

I. QI 

I

I

I

= IR II. IN  ZZ

III. ZZ  QI IV. QI  II  

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

d) II y III e) Todas

d) 4 ,3 es un natural

e)  es un irracional

10. Señalar las afirmaciones incorrectas:

I.

es irracional porque lleva raíz.

II. ZZ  lN = lN

III. Q 0

I

I

I

= lR

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III

es un número:

d) I y II e) II y III

AUTOEVALUACIÓN

1. Indicar verdadero o falso según corresponda:

a)

es un número racional. ( )

b)

8 es un número racional. ( )

c) 7 y - 7 son números naturales. ( )

d) 17 y

3

son números irracionales. ( )

e)

y 4 son números enteros. ( )

2. Si agregamos una decena al número 2

, el

resultado será un número:

a) natural b) entero

c) racional d) irracional

e) todas las anteriores

3. En ZZ, ¿cuál es el antecesor del número - 13?

a) - 14 b) - 12 c) 13

d) - 31 e) 12

4. 49 , es un número:

a) racional b) irracional

c) decimal d) entero

5. ¿Cuál de los siguientes números está ubicado más

hacia la izquierda en la recta numérica?

a) - 15 b) - 10 c) 0

d) - 18 e) 19

OPERACIONES MIXTAS

¡Es obvio!

La palabra "obvio" debe ser una de las más temibles

de toda la Matemática; lo que es "obvio" para unos no

es nada claro para otros, y el uso de dicha palabra

puede crear la "angustia matemática" que todo

estudioso ha conocido en algún momento de su

aprendizaje.

El astrónomo norteamericano Nathaniel Bowdith

( 1773 - 1838 ) tradujo al inglés la obra de Laplace

Mécanique Celeste e hizo el siguiente comentario:

"Siempre que aparecían expresiones como "es

evidente", "es obvio", "es fácil de ver", ... yo sabía que

me esperaban horas de arduo trabajo para llenar los

vacíos y entender lo que era obvio".

De G.H. Hardy ( 1877 - 1947 ), uno de los matemáticos

ingleses más importantes de principios del siglo XX,

se cuenta que dando una conferencia dijo que cierta

relación matemática era trivial; después vaciló un

instante y preguntó: "¿Será trivial?" Pidió disculpas,

salió de la sala de conferencias y fue a su oficina. A

los 20 minutos volvió y declaró: "Sí, es trivial".

El matemático norteamericano Ralph P. Boas cuenta

que el profesor Tomkins dijo durante una conferencia:

"Esto es obvio". Uno de sus colegas, Marston Morse,

con mucha entereza, lo interrumpió y preguntó: "¿Nos

podría explicar cuáles son las razones obvias?" La

explicación subsiguiente duró media hora.

Jerarquía de operaciones

Si tomas tu calculadora y efectúas: 3 + 4 x 2 ; lo que

sucede será lo siguiente:

operaciones se deben realizar primero que otras.

Las Matemáticas han llegado a un acuerdo acerca de

una regla para calcular en cadena.

Estas normas nos dan una regla, se denomina

jerarquía operatoria.

Establecen qué calculo dentro de una cadena debe

ejecutarse en orden definido y en una forma prescrita.

El orden se resume como sigue:

1. Signos de colección ( ); [ ]; { }

2. Potencias y radicales

3. Multiplicación y división

4. Adición y sustracción

Operaciones combinadas de

Adición y Sustracción en IN

Si hay operaciones entre paréntesis, operamos

primero éstas; para suprimir dicho paréntesis.

Ejemplo:

• Primero el interior del paréntesis:

• Luego sumamos los tres números:

Si no hay paréntesis procedemos a operar de

izquierda a derecha.

Ejemplos:

a.

Sin embargo el mismo ejercicio se lo damos a un 18

profesor de Matemáticas, el profesor obtendrá como

resultado 11.

¿Cómo?

Una expresión como: 3 + 4 x 2 ; requiere una

b.

interpretación y debemos estar de acuerdo en qué

5. Eleva al cuadrado la suma de los tres primeros

a) 100 b) 4 c) 25

números enteros positivos, luego añádele la tercera

d) - 20 e) 20

parte de 84 y finalmente extráele la raíz cuadrada

a dicho resultado.

3 3

EJERCICIOS PROPUESTOS 12 .(

2

 100 - 20 x 5 )

I. Efectuar las siguientes operaciones:

1. (5 + 10  5 ) x 2

a) 6 b) 10 c) 12

d) 14 e) 16

2. [9 + (7 - 2 )

2

x 3 ]  2

a) 0 b) - 80 c) 1

d) - 1 e) - 70

II. Los siguientes enunciados debes traducirlo

a lenguaje matemático (en tu cuaderno) y

luego resolverlos.

1. Multiplica 23 por 4 y luego súmale 5.

a) 37 b) 47 c) 42

2. Al número 15 , añádele el resultado de multiplicar

d) 40 e) 38

8 por 24.

3. 18 + 12 + 6  3 x 5 - 10

a) 60 b) 50 c) 40

d) 30 e) 20

3. Luego de disminuir en 13 unidades el producto de

11 por 13 , divídelo entre 10.

4. Suma los cinco primeros números enteros positivos

y al resultado réstale el doble de siete.

2

x 3

2

2

2

5. ( 18 + 12 + 6 )  (3 x 4 ) - 10

a) 13 b) 10 c) 3

d) - 13 e) - 7

2 x 3 + 9 - 40 }

2

a) 8 b) 7 c) - 8

d) 12 e) - 6

2

x 9

2 + [

2

x 2 - 10 ]

a) 36 b) 28 c) 27

d) 33 e) 18

2

2

2

) x 18

a) 0 b) 1 c) 2

d) 5 e) N.A.

6. Multiplica 5 por la suma de los cuadrados de los

tres primeros números enteros positivos y luego

divídelo entre la mitad de 14.

III. Efectuar las siguientes operaciones:

1. Calcular el valor de "B

A", si:

A = 36



4  9  3  ( 6 - 6 ) + 1

B = - {- 30 - (- 2 )}

a) - 28 b) - 36 c) +2 8

d) +2 4 e) +1 2

2. Indicar la suma de las cifras del resultado de:

- [- 2 - (- 5

2



3

]

100  2

2

 9 

3

 27 

3

729 a) 5 b) 8 c) 7

d ) 4 e) 2

a) 36 b) 32 c) 34

d) - 2 e) - 36

2

x

3

 27 + 3 x 9 x 2  6

3. Indicar la suma de "M + N", si:

M = 1 200 +

25

 256

a) 56 b) 55 c) - 50

N = 729   27  6

d) - 60 e) - 66

11 .{- 9 - [- 9 + 9 - 9 - 9 - (9 - 9 - 9 )]}

a) 2 b) - 9 c) - 8

d) 18 e) 0

a) 1 201 b) 1 224 c) 1 419

d) 1 209 e) 1 219

4. Indicar la cifra de tercer orden del resultado:

36



2

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 0

5. Simplificar:

a) +8 0 b) +8 1 c) +8 5

d) +9 1 e) +9 5

Ahora sí, ¡a trabajar!

a. 8 7 3 =

El resultado debe ser el número 3.

b. 4 2 1 =

El resultado debe ser un número impar.

6. Reducir:

c. 4 3 2 =

El resultado debe ser un número mayor que 8 y

menor que 11.

a) 154 b) 153 c) 156

d) 150 e) 53

7. Simplificar:

d. 9 7 4 =

El resultado debe ser múltiplo de 4.

{(3  3  5 )  9  2 }  { 4

2

 5  3  2  54  5 }

e. 12 3 5 =

a) + 24 b) + 216 c) 0

d) + 16 e) - 24

8. Indicar el producto de las cifras del resultado de:

- [{ 15

 3 + 8 - [(3 + 2 × 6 ) - 10 ] - 6 } - 9 × 2

2

]

El resultado debe ser un número par.

f. 5 4 2 =

El resultado debe ser un número en el que las cifras

de decenas y unidades sean iguales.

a) 12 b) 20 c) 24

d) 36 e) N.A.

g. 3 2 5 3 =

9. Simplificar:

El resultado debe ser igual a una decena.

102  8 [ 5  ( 9  5  5 )  8 ]  40  (25  2 )

2

h. 7 1 8 2 =

El resultado debe ser igual a cinco decenas.

a) 40 b) 50 c) 70

d) 60 e) 30

10 .Encontrar el valor de restar "A" de "B", si:

A =

3

3

B = - 5  {- 3 + 2 - 5 - (

2

a) - 128 b) - 210 c) - 110

d) - 115 e) + 115

En los siguientes ejercicios escribe en los

cuadrados vacíos las operaciones que necesites

para lograr el resultado y usa, en cada uno de

ellos los paréntesis necesarios. Además, para

hacer un poco más divertido este juego, te

pedimos que en cada uno de los ejercicios NO

REPITAS LAS OPERACIONES, esto quiere decir

que si en un cuadrado pones, por ejemplo, la

suma, en el siguiente sólo podrás usar la resta,

multiplicación o división.

i. 8 4 2 17 =

El resultado debe ser el menor número de tres

cifras diferentes.

j. 54 15 3 2 =

El resultado debe ser el mayor número PAR de dos

cifras.

k. (7 2 )

2

El resultado debe ser el menor número de tres

cifras.

l. 30 7 51 17 =

El resultado debe ser un número de tres cifras

iguales.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

Y

MÍNIMO COMÚN MULTIPLO

"TÍPICO"

Un matemático pasea por el campo, sin nada que

hacer, aburrido. Encuentra a un pastor que cuida un

numeroso rebaño de ovejas, y decide divertirse un

poco a costa de él.

• Buenos días, buen pastor.
• Buenos días tenga usted.
• Solitario oficio, el de pastor, ¿no?
• Usted es la primera persona que veo en seis días.
• Estará usted muy aburrido.
• Daría cualquier cosa por un buen entretenimiento.
• Mire, le propongo un juego. Yo le adivino el número

exacto de ovejas que hay en su rebaño, y si acierto,

me regala usted una. ¿Qué le parece?

• Trato hecho.

El matemático pasa su vista por encima de las

cabezas del ganado, murmurando cosas, y en unos

segundos anuncia:

• 586 ovejas.

El pastor, admirado, confirma que ése es el número

preciso de ovejas del rebaño. Se cumple en efecto el

trato acordado, y el matemático comienza a alejarse

con la oveja escogida por él mismo.

• Espere un momento, señor. ¿Me permitirá una

oportunidad de revancha?

• Hombre, naturalmente.
• Pues ¿qué le parece, que si yo le acierto su

profesión, me devuelva usted la oveja?

• De acuerdo.

El pastor sonríe, porque sabe que ha ganado, y

sentencia:

• Usted es matemático.
• ¡Caramba! Ha acertado. Pero no acierto a

comprender cómo, cualquiera con buen ojo para

los números podría haber contado sus ovejas.

• Sí, sí, pero sólo un matemático hubiera sido capaz,

entre 586 ovejas, de llevarse el perro.

¿No nos pasa a veces algo parecido que al

matemático? En el examen, resolvemos la parte más

difícil del problema, y por distraídos, por apurados, o

por no haber leído bien, nos equivocamos en lo más

fácil. ¡A poner más atención!

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.)

Es el mayor de todos los divisores comunes de un

grupo de números.

Ejemplo:

Dados los números 8 ; 12 y 20 , ¿cuál es su máximo

común divisor?

Divisores de 8  1 ; 2 ; 4 ; 8

Divisores de 12  1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12

Divisores de 20  1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20

Como ves, los divisores comunes de 8 ; 12 y 20

son: 1 ; 2 y 4 , y de ellos, el mayor de todos es 4 , por

eso decimos que 4 es el Máximo Común Divisor de 8 ;

12 y 20. Esto se representa así:

M.C.D.( 8 ; 12 ; 20 ) = 4

Ojo: El MCD debe ser entero positivo.

Propiedades

1. El MCD nunca es mayor que el menor de los

números.

2. Si uno de los números es divisor de los otros,

entonces es el MCD de todos ellos.

3. Si los números son PESI entonces el MCD de todos

ellos es la unidad.

Métodos para hallar el MCD

Existen varios métodos, pero ahora vamos a

trabajar con el método de DESCOMPOSICIÓN

CANÓNICA y su forma abreviada. Veámoslo con un

ejemplo:

• Halle el MCD de 60 ; 24 y 36
  • Primero hagamos la descomposición

canónica de los números mencionados:

2

x 3 x 5

3

x 3

2

2

x 3

2

• Ahora tomemos los factores primos que

aparezcan a la vez en todos los números, y

pondremos el menor exponente que tengan.

Propiedades

1. El mcm de un grupo de números nunca es menor

que el mayor de los números.

2. Si uno de los números es múltiplo de todos los

otros, entonces es mcm de todos ellos.

3. Si los números son PESI dos a dos, entonces el

mcm de todos ellos es su producto.

Métodos para hallar el mcm

2

2 x 3 x 5

3

x 3

2 2

x 3

2

x

Éste es el

MCD(60; 24; 36 )

Tal como en el MCD, trabajaremos con el método de

DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA y su forma abreviada.

Ejemplo:

Halle el mcm de 12 ; 20 y 30

• Descomposición canónica:
• Podemos hacer lo mismo en forma abreviada,

si descomponemos todos los números a la vez,

pero solo tomando los factores que sean

comunes a todos; así:

2

x 3

2

2 x

2

x 5

MCD(60; 24; 36) 1

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (m.c.m.)

Es el menor de todos los múltiplos comunes de un

grupo de números.

30 = 2 x 3 x 5

Ejemplo:

Dados los números 3 ; 4 y 6 , ¿cuál es su mínimo

común múltiplo?

• Ahora pondremos todos los factores primos que

aparezcan aunque sea sólo una vez, y les

pondremos el mayor exponente que tengan.

• Múltiplos de 3

• Múltiplos de 4

2

2 x 3

2

x

2 x

x

x

x

Éste es el

• Múltiplos de 6

Múltiplos comunes de 3 ; 4 y 6 

mcm( 12 ; 20 ; 30 )

• Podemos hacer lo mismo en forma abreviada,

esta vez tomando todos los factores, así:

12 es el mínimo común múltiplo de 3 ; 4 y 6

2

x

x

Se representa de la siguiente manera:

mcm( 3 ; 4 ; 6 ) = 12

mcm( 12 ; 20 ; 30 )

Ojo: El mcm debe ser entero positivo.

a) 6 b) 12 c) 4

d) 3 e) 2

a) 3 528 b) 3 582 c) 5 832

d) 2 538 e) 2 358

a) 244 b) 242 c) 84

d) 82 e) 241

11 .¿Cuál es el menor número entero positivo tal que

al dividirlo entre 24 ; 40 y 30 se obtiene siempre

una división exacta?

a) 2 b) 4 c) 120

d) 240 e) 60

12 .Hallar el MCD de los siguientes números:

i. 195 y 130

ii. 240 y 400

iii. 350 y 560

13 .Hallar el MCM de los siguientes números:

i. 385 y 245

ii. 288 y 168

iii. 527 y 374

14 .Hallar el MCD de 48 ; 84 ; 90 y 108.

Rpta.:

15 .Hallar el MCM de 18 ; 40 ; 56 y 30.

Rpta.:

16 .¿Cuántos divisores tiene el MCD de 504 ; 693 y 315?

Rpta.:

17. Juan posee tres varillas cuyas medidas son: 360 ;

480 y 560 cm, se quieren dividir en pedazos iguales

que tengan la mayor longitud posible.

i. ¿Cuál es la longitud de cada pedazo?

ii. ¿Cuántos pedazos se obtienen en total?

iii. ¿Cuántos cortes se hacen para hacer esta

división?

20 .El menor número de losetas de 34. 18 cm

necesarias para construir un cuadrado es:

a) 135 b) 184 c) 306

d) 153 e) 148

AUTOEVALUACIÓN

1. Señala las afirmaciones falsas:

I. El M.C.D. de un grupo de números puede ser

mayor que el mayor de los números.

II. El m.c.m. de dos números siempre es igual al

producto de los números.

III. Si dos números son PESI, su M.C.D. es uno.

a) Sólo III b) I y II c) Sólo I

d) I y III e) Todas

2. Señala las afirmaciones verdaderas:

I. Si un número de un grupo de números es divisor

de todos ellos, entonces será el M.C.D. de dicho

grupo de números.

II. Si un número de un grupo de números es

múltiplo de todos ellos, entonces será el m.c.m.

de dicho grupo de números.

III. Si dos números son PESI, su m.c.m. es su

producto.

a) Sólo III b) I y II c) Sólo I

d) I y III e) Todas

3. Halla el M.C.D. de 204 ; 192 y 108.

Rpta.:

18 .En un accidente de avión donde viajaban 200

personas, los sobrevivientes se pueden agrupar de

5 en 5 ; de 6 en 6 ó de 8 en 8. ¿Cuántos fueron los

muertos?

Rpta.:

18 .Hallar el M.C.D de 400 ; 620 y 240 , indicar la suma

de sus cifras.

4. Halla el m.c.m. de 49 ; 63 y 72.

5. Halla "A + B" (Sugerencia: ¡Usa las propiedades!)

A = M.C.D.( 90 ; 30 ; 32 ; 8 )

B = m.c.m.( 80 ; 4 ; 16 ; 3 )

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

19 .Dar la mayor cifra del M.C.M. de 720 ; 180 y 900.

a) 6 b) 7 c) 8

d) 9 e) 5

OPERACIONES CON FRACCIONES

Pepe el generoso

Pepe sale de casa con un montón de cromos y vuelve

a casa sin ninguno. Su madre le pregunta qué ha

hecho con los cromos.

• A cada amigo con el que me encontré le di la mitad

de los cromos que llevaba más uno.

• ¿Con cuántos amigos te encontraste?
• Con seis

¿Podrías averiguar cuántos cromos llevaba Pepe?

ADICIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS

a. De igual denominador

Para efectuar la suma o adición de dos o más

fracciones con igual denominador, se suman los

numeradores y se escribe el mismo denominador.

Veamos en forma gráfica:

=

4 2 1 7

• • =

8 8 8 8

b. 1. Método del mínimo común múltiplo

(m.c.m.)

1



3



7

4 8 20

Hallamos el m.c.m. de los denominadores y lo

escribimos como DENOMINADOR del resultado.

1 - 2 - 5 | 2 m.c.m. = 2 x 2 x 2 x 5=4 0

Entonces:

1



3



7





• =

3 2 5

6 6 6

Dividimos el m.c.m. por cada denominador y el

resultado lo multiplicamos por el respectivo

numerador.

Ejemplo:

Luego:

1



3



7



10  15  14



39

3



5



2

17 17 17



10

17

4 8 20 40 40

b. De diferente denominador

Para efectuar la suma o adición de fracciones de

diferente denominador, buscamos transformar las

fracciones a otras equivalentes, de tal forma que

todas tengan ahora el mismo denominador.

b. 2. Regla de productos cruzados

a c ad  cb

 

b d bd

Ejemplo:

Veamos un ejemplo gráfico:

3



7





4 11

33  28



61



17

44 44

44

SUSTRACCIÓN EN NÚMEROS FRACCIONARIOS

Efectuar la SUSTRACCIÓN de números racionales

equivale a efectuar la ADICIÓN de uno de ellos con el

opuesto del otro.

Ejemplo: 2 3

Reducción a común denominador:





5 11