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TABLA DE DERIVADAS
Potencias
y = u
n
( n ∈ R )
y ' = n ⋅ u
n − 1
⋅ u '
Exponenciales
y = e
u
y ' = e
u
⋅ u '
y = a
u
y ' = a
u
⋅ La ⋅ u '
Logarítmicas
y = L u
y ' =
u '
u
- y =lg
a
u
y ' =
u '
u
⋅lg
a
e
y = k ⋅ u y ' = k ⋅ u '
y = u + v y ' = u ' + v '
y = u ⋅ v y ' = u ' ⋅ v + u ⋅ v '
y =
u
v
y ' =
v ⋅ u ' − u ⋅ v '
v
y = u
v
y ' = v ⋅ u
v − 1
⋅ u ' + u
v
⋅ L u ⋅ v '
y =
m
√
u
n
= u
n / m
y ´ =
n
m
u
n
m
− 1
f
x
= 2 x
2
lim
h→ 0
2 ( x + h )
2
2
h
) reemplazando la función en la definición de límite.
Expandir, aplicando propiedad del binomio cuadrado.
lim
h→ 0
2 ( x
2
2
x + h
−( 2 x
2
h
Aplicando la regla de productos notables y eliminando paréntesis
lim
h→ 0
2 x
2
2
2
− 3 x
h
simplificar términos semejantes
lim
h→ 0
4 xh + 2 h
2
h
factorizando
lim
h→ 0
h ( 4 x + 2 h + 3 )
h
) simplificando
lim
h→ 0
( 4 x + 2 h + 3 )
evaluando el limite
¿ 4 x + 2 ( 0 )+ 3 evaluando el limite
¿ 4 x + 3
f
x
=( 2 x
2
- 3 )(√ x − 2 ) aplicando la derivada del producto
d
dx
( 2 x
2
√
x − 2 ) +( 2 x
2
d
dx
√
x − 2 )
derivando
( 4 x + 0 ) (
√
x − 2 )+( 2 x
2
d
dx
√
x )−
d
dx
4 x ( √ x − 2 ) +( 2 x
2
(
d
dx
x
1
2
)
4 x √
x − 8 x +( 2 x
2
x
1
2
− 1
derivada de un radical
4 x √ x − 8 x +( 2 x
2
x
− 1
2
4 x √
x − 8 x +( 2 x
2
x
1
2
4 x √
x − 8 x +( 2 x
2
2 ∗ x
1
2
( 4 x √ x − 8 x )∗ 2 √ x
√
x
2 x
2
√
x
√
x − 2 )
2
igualando el denominador
8 x
2
− 16 x √ x
√
x
2 x
2
√
x
√
x − 2 )
2
aplicando propiedad de denominadores iguales
8 x
2
− 2 x
2
− 16 x √ x − 3
√
x
√
x − 2 )
2
6 x
2
− 16 x √ x − 3
√
x
√
x − 2 )
2
aplicando propiedad de medios y extremos “ley de la
oreja”
6 x
2
− 16 x √ x − 3
2 √ x
√ x − 2
2
f ( x )=( 2 x
2
x
∗( 3 x )
2 x
aplicando la derivada del producto
d
dx
(( 2 x
2
x
) ( 3 x )
2 x
+( 2 x
2
x d
dx
( 3 x )
2 x
Por propiedades
ln
2 x
2
4 x
2
2 x
2
2 x
2
( 3 x )
2 x
2 x
2
x
x
x
2 x
(ln ( 3 x ) + 1 )
x
x
2 x
ln( 2 x
2
4 x
2
2 x
2
( 2 x
2
x
x
x
2 x
( ln ( 3 x ) + 1 ) ( 2 x
2
x
ln
xy
√
x + y = 2 aplicando la derivada de una suma
d
dx
ln ( xy ) + √
x + y
d
dx
derivando ln y radicales
y + x
d
dx
( y )
xy
d
dx
( y )
√
x + y
convirtiendo
d
dx
( y )= y ´
y + xy ´
xy
1 + y ´
√
x + y
simplificando
− 2 y
2
− 2 xy − xy √ x + y
x ( 2 y + 2 x + y √
y + x )
= y ´ reemplazando a y ´
d
dx
y
− 2 y
2
− 2 xy − xy √ x + y
x ( 2 y + 2 x + y √
y + x )
f ( x )= x
4
x
3
− 3 x
2
- 6 x aplicando la derivada de una suma o diferencia
d
dx
( x
4
x
3
− 3 x
2
¿ 4 x
3
3 x
2
− 6 x + 6
¿ 4 x
3
x
2
− 6 x + 6
d
2
d x
2
( x
4
x
3
− 3 x
2
d
dx
( 4 x
3
x
2
− 6 x + 6 ) derivando nuevamente la primera derivada
¿ 12 x
2
2 x − 6
¿ 12 x
2
x − 6
2. GRÁFICAS EN GEOGEBRA
√
x
- Calcular máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función
a ¿ f
x
x
3
Para hallar los puntos críticos se calcula la primera derivada y se iguala a cero.
f ( x )=
x
3
d
dx
(
x
3
)
d
dx
(
x
3
)
d
dx
3 x
d
dx
x
2
despejando x
x
2
x
2
despejando
3 x
2
3 x
2
3 x
2
x
2
x
2
x =√− 4
indeterminado
No tiene puntos críticos ya que x es indeterminado
Para hallar el punto de inflexión se iguala a cero la segunda derivada
d
dx
(
x
2
)
sacando la segunda derivada
d
dx
(
x
2
)
d
dx
x + 0
x
C ´ ( x )=0.04 x
3
+0.04 x
2
C ´ ( x )= 3 ∗0.04 x
2
C ´ ( x )=0. 12 x
2
Si sustituimos en la variable x de la expresión anterior por 350 unidades a producir,
obtendremos el valor del costo marginal para las unidades:
C ´
x
2
C ´
x
2
C ´ ( x )=0. 12 ∗ 122500 + 0 .08 ( 350 )
C ´ ( x )= 14700 + 28
C ´ ( x )= 14728
