Círculo de Mohr y su aplicación en la mecánica de sólidos, Esquemas y mapas conceptuales de Electrónica Digital y Analógica

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Círculo de Mohr

(Método Gráfico)

2 Existe una interpretación gráfica de las ecuaciones anteriores (transformación de esfuerzos) hecha por el ingeniero alemán Otto Mohr ( 1882 ) a partir del uso de un círculo, por lo que se ha llamado Círculo de Mohr.

y x c R 𝑥 − 𝐶 2

• 𝑦 2 = 𝑅 2 Fórmula de un Círculo

′ = ( 𝜎 𝑥 +𝜎 y 2

𝜎 𝑥 −𝜎 y 2 )cos 2 θ + 𝜏 𝑦𝑥 sen 2 θ Ecuación 1 1 ) 𝜎𝑥 ′ − ( 𝜎 𝑥 +𝜎 y 2

𝜎 𝑥 −𝜎 y 2 )cos 2 θ + 𝜏 𝑦𝑥 sen 2 θ

Sumatoria 1 ) (𝜎𝑥 ′ − ( 𝜎𝑥+𝜎y 2 )) = ( 𝜎𝑥−𝜎y 2 )cos 2 θ + 𝜏𝑦𝑥sen 2 θ 2 ) 𝜏 𝑥𝑦 ′ (^) = −( 𝜎 𝑥 −𝜎 y 2 )𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 3 ) (𝜎𝑥 ′ − ( 𝜎𝑥+𝜎y 2 )) + 𝜏𝑥𝑦′ = ( 𝜎𝑥−𝜎y 2 )cos 2 θ + 𝜏𝑦𝑥sen 2 θ − ( 𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2 )𝑠𝑒𝑛2𝜃 +𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃

3 ) (𝜎𝑥 ′ − ( 𝜎𝑥+𝜎y 2 ))^2 + (𝜏𝑥𝑦′ )^2 = (( 𝜎𝑥−𝜎y 2 )cos 2 θ +𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃)^2 + (−( 𝜎𝑥−𝜎y 2 )𝑠𝑒𝑛2𝜃 + 𝜏𝑦𝑥sen 2 θ) 2 3 ) (𝜎𝑥 ′ − ( 𝜎𝑥+𝜎y 2 )) 2

• (𝜏 𝑥𝑦 ′ ) 2 = ( 𝜎𝑥−𝜎y 2 ) 2
• (𝜏 𝑥𝑦 ) 2 Elevar al cuadrado todos los términos

Ejemplo 1 10𝐾𝑠𝑖 5 𝐾𝑠𝑖 4 𝐾𝑠𝑖 5 𝐾𝑠𝑖 4 𝐾𝑠𝑖 10𝐾𝑠𝑖 𝑪 = ( 𝝈𝒙+𝝈𝒚 𝟐 ) = ( 𝟏𝟎 𝑲𝒔𝒊−𝟒 𝑲𝒊𝒔 𝟐 ) = 3 𝑲𝒔𝒊 𝑹 = ( 𝝈𝒙−𝝈𝒚 𝟐 ) 2

• (𝝉𝒙𝒚) 2 = 8.602 𝑲𝒔𝒊

𝝈 (+) 𝝉 10 , 5 − 4 , − 5 R R C = 3

𝑚𝑎𝑥 σ 1 σ 2

𝝈 (+)

10 , 5 − 4 , − 5 R R C = 3

σ 1 σ 2

8. 6 Ksi 5 Ksi 2 𝜃 𝜎 2 𝜃𝜎 = 𝑆𝑒𝑛 − 1 5
9. 6 = 35 .548° 𝜽𝝈 = 𝟑𝟓. 𝟓𝟒𝟖° / 2 = 𝟏𝟕. 𝟕𝟕𝟒°

𝝈 (+)

10 , 5 − 4 , − 5 R R C = 3

σ 1 σ 2 𝟐𝜽𝝈 = 35 .548° 𝟐𝜽𝝉 = 90° − 35 .548° 𝟐𝜽𝝉 =54.452 ° 𝜽𝝉 =54.452 °/𝟐 = 27.226°

Esfuerzo Cortante Máximo 3 𝐾𝑠𝑖 3 𝐾𝑠𝑖 3 𝐾𝑠𝑖 3 𝐾𝑠𝑖

8. 6 𝐾𝑠𝑖
9. 6 𝐾𝑠𝑖
10. 226 °

Ejemplo 2 10𝐾𝑠𝑖 4 𝐾𝑠𝑖 4 𝐾𝑠𝑖 4 𝐾𝑠𝑖 4 𝐾𝑠𝑖 10𝐾𝑠𝑖 𝑪 = ( 𝝈𝒙+𝝈𝒚 𝟐 ) = ( 𝟒 𝑲𝒔𝒊−𝟏𝟎 𝑲𝒊𝒔 𝟐 ) = - 3 𝑲𝒔𝒊 𝑹 = ( 𝝈𝒙−𝝈𝒚 𝟐 ) 2

• (𝝉𝒙𝒚) 2 = 8.06 𝑲𝒔𝒊

σ 1 = C + R = − 3 + 8. 06 = 5. 06 Ksi σ 2 = C − R = − 3 − 8. 6 = − 11. 6 Ksi

𝑚𝑎𝑥 = R = 8. 06 Ksi

𝝈 (+) 𝝉 4 , 4 − 10 , − 4 R R C = - 3

σ 1 σ 2

8. 06 Ksi 2 𝜃 𝜎 2 𝜃𝜎 = 𝑆𝑒𝑛 − 1 4
9. 06 = 29 .754° 𝜽𝝈 = 𝟐𝟗. 𝟕𝟓𝟒° / 2 = 𝟏𝟒. 𝟖𝟕𝟕° 4 Ksi