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El p´endulo simple
Jos´e Guillermo Fern´andez Blanco* Escuela de F´ısica, Universidad de Costa Rica (Dated: 08 de septiembre de 2020)
Este documento est´a realizado con el prop´osito de estudiar el comportamieno de un p´endulo sim- ple; mediante la elaboraci´on de un sistema casero del p´endulo simple, para la medici´on de distintos per´ıodos T con los que analizar su dependencia con otras variables como la longitud de la cuerda L y el ´angulo de oscilaci´on θ, y asimismo, la determinaci´on de la aceleraci´on de la gravedad g. Con ello se obtuvo que T vsL cuenta con una forma potencial (T = 1, 7524 L^0 ,^5408 ), que T 2 vsL de la forma lineal (T 2 = 3, 1104 L − 0 , 0647), y como resultado de la gravedad g = (12, 5 ± 0 , 3) (^) sm 2. Concluyendo que, al menos las tendencias que poseen los resultados experimentales, concuerdan con los te´oricos.
- INTRODUCCI ´ON
En mec´anica cl´asica uno de los problemas m´as estu- diados y conocidos es el del p´endulo simple. La din´ami- ca de un p´endulo simple para amplitudes peque˜nas es probablemente el ejemplo con mayor uso para ilustrar el movimiento arm´onico simple, ya que tanto el experi- mento como la teor´ıa, son conocimientos accesibles para estudiantes universitarios [1]. Dicho movimiento peri´odico exhibido por un p´endulo simple es arm´onico solo para ´angulos de oscilaci´on pe- que˜nos, ya que m´as all´a de este l´ımite, la ecuaci´on del movimiento ya no se comporta linealmente. La ecuaci´on lineal tiene una soluci´on simple y exacta; no obstante, la restricci´on a las oscilaciones de ´angulos peque˜nos di- ficulta la comprensi´on del comportamiento en el mundo real porque el isocronismo del p´endulo observado en esos ´angulos desaparece durante amplitudes mayores [2]. Como objetivos de este trabajo se tienen estudiar el comportamiento de un p´endulo simple; estudiar la rela- ci´on que existe entre longitud del p´endulo y su per´ıodo; estudiar la relaci´on que existe entre el per´ıodo y la am- plitud de oscilaci´on; y determinar experimentalmente el valor de g junto con su incertidumbre a partir del per´ıodo de oscilaci´on del p´endulo.
- MARCO TE ´ORICO
Antes de hablar propiamente del p´endulo simple, se debe conocer un tipo de movimiento el cual este cumple si se cuenta con ciertas condiciones, dicho movimiento es el arm´onico simple, que se distingue por diversas magni- tudes [3]. La amplitud es la m´axima elongaci´on del objeto que oscila con respecto a la posici´on de equilibrio [4]. Un ciclo es denominado como una oscilaci´on completa hacia al frente y hacia atr´as, que regresa el sistema al esta- do de origen; el per´ıodo T es la cantidad de tiempo que se emple´o para trazar un ciclo completo [3]. Por ´ultimo, la frecuencia f es la cantidad de ciclos realizados en la
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unidad de tiempo [5]. Un p´endulo simple es un sistema mec´anico que presen- ta un movimiento peri´odico. Este se constituye de una pesa peque˜na de masa m que se encuentra suspendida de una cuerda delgada de longitud L con masa despreciable sujeta fijamente en el extremo superior (vea Figura 3). Una vez que esta se deja libre, la masa comienza a ba- lancearse de un lado a otro sobre la misma trayectoria; no obstante, para que el movimiento sea arm´onico simple el ´angulo θ debe ser peque˜no, al rededor de 15◦^ [6].
Figura 1: Diagrama de fuerza actuando sobre la masa de un p´endulo simple. Adaptado de [6].
Esto se debe a que, si la fuerza de restituci´on que act´ua sobre el p´endulo es proporcional al desplazamiento, s, entonces dicha fuerza cumple con la Ley de Hooke (vea Ecuaci´on (1), y por ende el movimiento ser´ıa arm´onico simple [6] y el p´endulo se comportar´a como en la Ecua- ci´on (2) [7].
F^ ~ = −ks (1)
T = 2π
L
g
T 2 =
4 π^2 g
L (3)
- EXPERIMENTO
El equipo experimental consiste de un p´endulo simple elaborado con una varilla de madera, una hoja de papel, un transportador, un gancho para colgar la cuerda y una moneda, tal y como se muestra en la Figura 2. Adem´as, se hizo uso de una cinta m´etrica para medir las longitudes de la cuerda (L) y el cron´ometro del celular para la medici´on de los periodos (T ).
Figura 2: Sistema y equipo utilizado para el experimento.
Inicialmente, una vez que se construy´o el p´endulo, el procedimiento se repiti´o para cinco longitudes distintas de cuerda: 40 cm, 60 cm, 80 cm, 100 cm y 120 cm, se midi´o el per´ıodo T para cada longitud de cuerda 10 veces, manteniendo un ´angulo θ igual a 5◦^ para que la Ecuaci´on (4) fuese aproximadamente correcta. Luego se calcul´o el promedio y δT. Y por ´ultimo, se observ´o c´omo los datos cambian con la longitud de la cuerda de acuerdo con la Ecuaci´on (4), para finalmente realizar un gr´afico de T vs. L y otro de T 2 vs L el cual se compar´o con la Ecuaci´on (3).
T = 2π
I
mgx
En segundo lugar, se utiliz´o un hilo de 100 cm de longi- tud, con el cual se midi´o el per´ıodo T en funci´on del ´angu- lo m´aximo θ 0. Con un trasportador se midi´o θ 0. Luego se procedi´o a medir el periodo T para 7 ´angulos, comenzan- do en 5◦^ hasta los 65◦^ en intervalos de 10◦. Se tomaron 10 medidas para cada ´angulo y se obtuvo el promedio y la desviaci´on est´andar. Por ´ultimo, se convirtieron los ´angulos a radianes y se realiz´o un gr´afico de T (θ 0 ) vs. θ 0 (en radianes) compar´andolo a su vez con la Ecuaci´on (5):
T = 2π
L
g
θ^20 +
θ^40 + ...
En tercer y ´ultimo lugar, se utilizaron las mediciones del periodo T de la longitud de la cuerda de 100 cm y
´angulo θ igual a 5◦^ mencionadas anteriormente, para por ´ultimo, calcular g despejando el valor de la Ecuaci´on (4) y la incertidumbre en la aceleraci´on de la gravedad δg, con la ecuaci´on:
δg g
δL L
δT T
- DATOS Y RESULTADOS
En esta secci´on, inicialmente se muestran los datos to- mados del periodo T con un ´angulo fijo y variando la longitud de la cuerda respectivamente L 1 = 0, 4000 m, L 2 = 0 , 6000 m, L 3 = 0 , 8000 m, L 4 = 1 , 0000 m y L 5 = 1, 2000 m todas con incertidumbre de ± 0 , 0005 m, como se observa en el Cuadro I.
Cuadro I: Periodo T para distintas longitudes de cuerda L con un ´angulo θ = 5◦, junto con el promedio T¯ y la desviaci´on est´andar σT de las medidas. Repetici´on TL 1 TL 2 TL 3 TL 4 TL 5 (± 0 , 005s) (± 0 , 005s) (± 0 , 005s) (± 0 , 005s) (± 0 , 005s) 1 0,960 1,400 1,500 1,670 1, 2 1,020 1,440 1,510 1,740 1, 3 0,950 1,400 1,550 1,750 1, 4 1,080 1,380 1,580 1,800 2, 5 1,130 1,430 1,620 1,860 1, 6 1,140 1,380 1,560 1,800 1, 7 1,100 1,330 1,530 1,770 1, 8 1,010 1,480 1,470 1,750 2, 9 1,000 1,450 1,450 1,760 1, 10 0,980 1,300 1,540 1,860 1, Promedio T¯ 1,04 1,40 1,53 1,78 1, (± 0 , 02s) Desviaci´on 0,07008725 0,05486347 0,05087020 0,05719363 0, est´andar σT (s)
La incertidumbre asociada al promedio del periodo T¯ en los Cuadros I y IV, fueron calaculadas mediante el m´etodo de propagaci´on de errores. A continuaci´on, en el Cuadro II se muestran ´unicamen- te los resultados promedios de los periodos T¯ y los datos de las longitudes de la cuerda L respectivas que se men- cionaron con anterioridad. Con dichos valores, se realiz´o el gr´afico que se observa en la Figura 3.
Cuadro II: Promedio de los periodos T¯ con base en las distin- tas longitudes de la cuerda (L). L (± 0 , 0005 m) T¯ (± 0 , 02 s) 0,4000 1, 0,6000 1, 0,8000 1, 1,0000 1, 1,2000 1,
- AN ´ALISIS DE RESULTADOS
Para la parte de an´alisis de los resultados, se comen- zar´a estudiando la tendencia que sigue experimentalmen- te el periodo T en funci´on de la longitud de la cuerda L y compar´andolo de manera te´orica con la Ecuaci´on (2), para ello se har´a referencia a la Figura 3. En dicha figura se puede observar la curva de mejor ajuste; la cual fue determinada con la hoja de c´alculo Excel, en ella se observa la presencia de una tendencia potencial como tambi´en lo indica la ecuaci´on ah´ı presente (T = 1, 7524 L^0 ,^5408 ); esta tendencia concuerda con cierta exactitud a la Ecuaci´on (2), ya que si analizamos bien su forma, esta igualmente cuenta con una forma potencial (y = Axn), en este caso siendo y = T , A = √^2 πg ≈ 2, x = L
y n = 12 , donde si se compara en detalle los exponentes (n) y las constantes (A), de la manera experimental con la te´orica estas poseen congruencias, ya que el n y la A experimentales se acercan a las valores te´oricos. Lo mismo ocurre si analizados nuevamente a ambas, pero en su forma lineal como se muestra en la Ecuaci´on (3) y en la Figura 4. En este caso, la forma de la curva de mejor ajuste es lineal (y = mx + b), aplicando esto en
la Ecuaci´on (3) y = T 2 , m = 4 π
2 g ≈^ 4,^ x^ =^ L^ y^ b^ = 0, comparando la ecuaci´on que se observa en la Figura 4 (T 2 = 3, 1104 L − 0 , 0647) con esta, vemos nuevamente que estas concuerdan, pero con menor exactitud que la potencial, ya que en el caso del par´ametro b, estas var´ıan entre s´ı por casi 1 unidad completa. Ahora, estudiando la dependencia que posee T con res- pecto a θ, nos encontramos con la Figura 5, en la cual se compara la dependecia del periodo experimental TE y el te´orico TT con el ´angulo de oscilaci´on. Si se observa con detalle la figura, en ella se encuentran las ecuaciones las cuales describen la curva de mejor ajuste, que en este caso es una curva polin´omica de grado 4, ya que la Ecua- ci´on (5) te´orica con la que se estan comparando los datos experimentales es de dicho grado, por lo que, para deter- minar si difieren entre s´ı o experimentalmente se genera una buena aproximaci´on, se debe realizar de este mmo- do. Analizando ´unicamente las ecuaciones de tendencia, se puede notar que sus parametro difieren en buena me- dida, no obstante, si solo se observan los pares ordenados en la gr´afica, estos comienzan a coincidir cuando mayor sea el valor de θ, pero en general no es una aproximaci´on tan exacta.
Por ´ultimo, en la determinaci´on de la gravedad, expe- rimentalmente se obtuvo un valor de g = (12, 5 ± 0 , 3) (^) sm 2 , calculando un ∆g con un valor de g conocido y de ma- yor precisi´on (gconocido = 9, (^77906) sm 2 ) [7], se tiene que ∆g = 2, 7, valor el cual se aleja en gran medida a la incertiumbre calculada (± 0 , 3), es decir que, el valor ob- tenido a partir del experimento no es muy exacto, de hecho este posee un % de error = 27, 82 %, el cual es sumamente elevado. Esto y el resto de diferencias que se obtuvieron a lo largo del experimento al compararlo con la teoria pueden deberse a varios factores que generon in- certidumbres, como por ejemplo el cuerpo con masa con el que se hac´ıa oscilar el p´endulo, quz´as hubiese sido una mejor opci´on hacer oscilar a un objeto esf´erico, ya que su momento de inercia hubiese sido el mismo en todas direcciones, adem´as de que el sistema estaba al aire li- bre, por lo que, es otro error en el que se pudo haber generado resistencia por parte del aire, o bien una fuente de incertidumbre muy presente muy presente, es la del tiempo de reacci´on de una persona al tomar el tiempo en los instantes adecuados para reportar una medida co- rrecta, estos son algunos de los errores que m´as presente se pod´ıan estar en el experimento y fueron causa de error en el momento del an´alisis. Para corregir estos errores, es posible proponer el uso de softwares de an´alisis de video, con los cuales el tiem- po del periodo T fuese m´as preciso y exacto de obtener, adem´as de poder montar el sistema en un lugar con po- cas corrientes de aire y con masas m´as adecuadas para la oscilaci´on.
- CONCLUSIONES
Se logr´o determinar de manera experimental que, la de- pendencia o relaci´on que posee el periodo de un p´endulo simple T con la longitud de la cuerda L es de la forma potencial (T = AL^0 ,^5 ), y la del cuadro del periodo T 2 vs L es de forma lineal (T 2 = mL + b). Se logro conocer que la dependencia de T con θ, abarca una mayor complejidad para que la determinaci´on de la dependencia de T vs L o T 2 vs L. Se detemin´o el valor de g y su incertidumbre a partir del per´ıodo de oscilaci´on del p´endulo con un valor de: g = 12, 5 ± 0 , 3) (^) sm 2.
[1] R. Parwani, An Approximate Expression for the Large An- gle Period of a Simple Pendulum (2003). [2] A. Bel´endez, C. Pascual, D. I. M´endez, T. Bel´endez, and C. Neipp, Revista Brasileira de Ensino de F´ısica 29 , 645 (2007). [3] J. Kane and M. Sternheim, F´ısica (Revert´e, Barcelona, 2000), 2nd ed. [4] F. Cabrero, Imagen Radiol´ogica: Principios F´ısicos E Ins-
trumentaci´on (MASSON, Barcelona, 2004), 1st ed. [5] H. Young and R. Freedman, F´ısica universitaria, vol. 1 (Pearson Educaci´on, 2013), 13th ed. [6] R. Serway and J. Faughn, F´ısica (Pearson Educaci´on, 2001), 5th ed. [7] F. Mu˜noz, Gu´ıa de Laboratorio FS0328 F´ısica General pa- ra F´ısicos II (ESCUELA DE F´ISICA, UNIVERSIDAD DE COSTA RICA, 2017), 1st ed.
