el plano geométrico , Ejercicios de Geometria Analitica

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3 Tema 6: El Plano. El plano se denota con la letra griega 7. Sus Elementos Notables sor: P(x,y,z) representa a todos los puntos del plano. PoGoYo,20) es un punto cualquiera del plano (conocido). Á= (a,,4,,2,) un vector cualquiera paralelo al plano. B= (b,,b,,b,) un vector paralelo al plano, no paralelo al vector A. Ñ=(A,B,O) esla normal del plano (un vector cualquiera L a 10). El Plano y sas clementos Notables. Ecuaciones 1) Ecuación Vectorial Paramétrica: 2) Ecuación Escalar: 1: (P- P, Jo Ñ= au P=P,+AA+d¿B r a o 3) Ecuación General: 7 sabe BC D=0 donde Ar, 42 ER son los parámetros AN 0 ae ak Nota: Para determinar un vector cualquiera paralelo al plano (perpendicular a la normaf), podemos aplicar el isuiente procedimiento: tomamos a la normal y hacemos una de las tres coordenadas igual a cero, y las otras dos las intercambiamos de lugar y le cambiamos el signo a una de cllas (se debe tener cuidado de que el vector no résulto nulo). Así pues, conocida la normal Ñ =(A,B,C), el vector Á= (0,C,-B), por ejemplo, es paralelo al plano, (y perpendicular a la normal, lo cual se puede verificar mediante un producto escalar). Además, el vector Axk es paralelo al plano y perpendicular al vector Á. Dist acia y vector dista: cia minima de un plano 1: Ax + By +€z ED aun punto MGnx my 22): a Al B + +2] AM, > | Me O, _ la (max) + (my) + C(mz) ll d(x, M)= (e MoÚz Posición Relativa entre dos Planos: dos planos pueden ser perpendiculares, paralelos u oblicuos. + Si N¡oN2=0, entonces los planos 1, y 1, son perpendicularos. Si N¡xN2= 0, es decir, las normales son proporcionales, entonces los planos 1, y 12 son paralelos. + Silos planos no son perpendiculares ni paralelos, entonces son oblicuos, Angulo entre dos planos oblicuos: el ángulo que forman dos planos es el mismo que forman sus normales, Por lo tanto, para detérminar el ángulo agudo 0 que forman dos planos oblicuos x, y x se aplica la siguiente formula: Cos0 =|Un > Un2 «y luego sc aplica arcocoseno para determinar el ángulo 8. El ángulo obtuso «x, se calcula así a = 1800. Posición Relativa entre un Plano y un Punto: el punto puede pertenecer o no al plano. Si lamamos q al valor que se obtiene al sustituir las coordenadas del punto en la ecuación general del plano, entonces: * Si 4=0, el punto pertenece al plano. * Si f0, el punto no pertenece al plano. Además, si el valor ( es positivo la normal se dirige del plano hacia el punto, y si el valor $ es negativo la normal se dirige desde el plano alejándose del punto, os paralelos: rf. Ar +Bp+Cz2+14=0 donde AeR es el parámetro