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1. Elementos geométricos
Los contenidos de este tema están orientados a conocer, identificar y aprender a operar con los elementos más simples del dibujo, esto es, con los segmentos. Los ángulos se verán en el siguiente capítulo.
Además se detallan distintas construcciones que, aunque simples, conviene tenerlas siempre presentes ya que gran parte de los trabajos que se hagan posteriormente se basarán en ellas.
Distribución:
- Elementos geométricos y características generales.
- Designación.
- Representación.
1.1. Elementos geométricos y características generales
Los elementos geométricos básicos son: El punto. Es la intersección de dos rectas. La designación de los puntos se hace mediante una letra mayúscula, fundamentalmente las primeras de alfabeto. Así tendremos el punto A, el punto B, el punto C… En cuanto a su representación , se realiza mediante una cruz, un aspa, un círculo vacío o un círculo lleno. Punto P. . La recta. Se conoce a la recta como la sucesión infinita de puntos.
- Línea recta. Sucesión de puntos en una misma dirección. Para la designación se utilizan letras minúsculas, generalmente a partir de la letra r, por ejemplo, r, s, t,…. Recta r.
- Línea curva. Sucesión de puntos que no están en una misma dirección. Recta s.
- Línea quebrada. Sucesión de puntos formados por líneas rectas que cambian de dirección. Recta t. . Semirrecta. Es la parte de la línea recta limitada en un extremo. En el caso de la semirrecta, la designación se hace a partir del punto y la recta, esto es con una letra mayúscula y una minúscula. Semirrecta Ar. . Segmento. Es la parte de recta limitada en sus dos extremos. La designación del segmento es mediante los puntos que definen el segmento, esto es,
dos letras mayúsculas. Segmento AB. . Plano. Se designan mediante las primeras letras del alfabeto griego (α, β, γ, etc) y es la superficie formada por:
- Tres puntos no alineados, o
- Dos rectas que se cortan, o
- Dos rectas paralelas, o
- Una recta y un punto exterior a ella. .
1.1. Segmentos: operaciones
Tanto matemáticamente como gráficamente podemos realizar una serie de operaciones con los segmentos. Podemos sumar un segmento (o varios) con otro y también podemos restar un segmento menor de otro mayor. En cambio, no es posible multiplicar un segmento por otro, aunque sí se puede multiplicar, y también dividir, un segmento por un número cualquiera. A continuación veremos cómo se realizan las operaciones siguientes:
- Sumar los segmentos AB , CD y EF.
- Restar al segmento AB , el segmento CD.
- Multiplicar el segmento AB x 4.
- Dividir el segmento AB en dos partes iguales. MEDIATRIZ.
- Dividir el segmento AB en 5 partes iguales.
1.1.1. Sumar los segmentos AB, CD y EF
Sumar segmentos es llevarlos uno a continuación de otro sobre una recta cualquiera.
OPERACIONES:
- Trazar una recta cualquiera donde se colocará la suma de los tres segmentos. Indicamos el inicio ( O ) del segmento suma, por ejemplo el punto O.
- Con ayuda del compás (no de la regla milimetrada) se coge la medida del segmento AB y se lleva a continuación del punto O.
- De la misma forma, llevamos los segmentos CD y EF.
- Obtenemos el último punto, el punto O’. El segmento resultante de sumar AB+CD+EF , es el segmento OO’.
1.1.4. Dividir el segmento AB en dos partes iguales. MEDIATRIZ
La MEDIATRIZ es la recta que divide al segmento en dos partes iguales. Esta característica hace que el trazado de la Mediatriz sea muy importante a la hora de buscar soluciones gráficas. Según esto, podremos dividir un segmento entre 2, 4, 8, etc. Para poder dividir un segmento en un número distinto, por ejemplo 5 habrá que utilizar otro método, descrito en el siguiente punto.
OPERACIONES:
- Se traza una recta r cualquiera, y a partir del punto ( O ), se coloca el segmento AB.
- Con una abertura cualquiera del compás, algo mayor a la mitad del segmento, se traza un arco desde A.
- Con la misma medida del compás, se traza otro arco desde el punto B.
- Los dos arcos se cortan en los puntos 1 y 2. Uniendo estos dos puntos obtenemos la MEDIATRIZ. Donde la Mediatriz corta al segmento, se encuentra el punto medio del segmento.
1.1.5. Dividir un segmento en un número de
partes iguales (Teorema de Thales).
Esta operación es muy importante ya que permite poder dividir un segmento en un número de partes que se desee. Vamos a ver, como ejemplo, la división del segmento AB en 5 partes iguales. OPERACIONES:
- Desde un extremo del segmento AB , por ejemplo el A , se traza una recta cualquiera, por ejemplo la s.
- Con una abertura cualquiera en el compás, se lleva 5 veces la misma medida sobre la recta s.
- El último punto que se obtiene (en nuestro caso el 5) se une con el otro extremo del segmento, el B.
- Por el resto de las divisiones, se trazan paralelas a la última línea trazada (la formada entre los puntos 5 y B ) y todos los cortes en el segmento AB serán las divisiones del segmento.
1.2. Paralelas/perpendiculares
El concepto de paralelismo y perpendicularidad es básico para un sin fin de operaciones en dibujo. Por este motivo nos detendremos en conocer bien sus características y la forma de construcción.
A continuación veremos los siguientes apartados:
Paralelas. Perpendiculares. Características de la escuadra y el cartabón. Manejo de la escuadra y el cartabón. Trazado de paralelas y perpendiculares.
1. 2 .1. Paralelas
Son rectas paralelas aquellas que están separadas por una misma distancia hasta el infinito, es decir, no se tocan nunca. La recta r es paralela a la recta s. Las dos rectas son paralelas entre sí.
1. 2 .2. Perpendiculares
Se trata de dos rectas que se cortan en un punto, es decir, tienen un punto en común. En este punto que se cortan forman un ángulo recto (ángulo de 90º). También se dice que dos rectas son perpendiculares cuando en el punto en que se cortan, dividen al espacio en 4 partes iguales, formando 4 ángulos de 90º.
La recta r es perpendicular a la recta s. De la misma forma, la recta s es perpendicular a la recta r (carácter recíproco de la perpendicularidad). Entre las dos rectas se forma un ángulo de 90º. Para indicar que dos rectas son perpendiculares entre sí, se pone un arco o un ángulo recto pequeño, con un punto dentro.
En el caso de que quisiéramos construir paralelas, deberíamos utilizar el cartabón como apoyo. El cartabón quedará fijado en un sitio y no se moverá. La escuadra, apoyada por uno de sus tramos cortos ( cateto a o cateto b ) sobre el cartabón, se deslizará sobre el tramo largo del cartabón ( hipotenusa ), que en el dibujo anterior hemos llamado: lado c. El tramo largo de la escuadra se utilizará para trazar las paralelas. Para construir perpendiculares a las rectas anteriormente trazadas, habrá que girar la escuadra y volverla a apoyar sobre el cartabón. Nuevamente apoyamos el tramo corte de la escuadra (cateto) y utilizamos el tramo largo (hipotenusa) para trazar las líneas perpendiculares.
1.3. Trazados: regla/compás
En el siguiente tema se expone la realización de unos trazados básicos y fundamentales. Los trazados que se ven a continuación son muy sencillos cuando trabajamos con escuadra y cartabón, pero esto no es siempre posible y es necesario conocer cómo se realizan estos trazados con el uso de una regla y un compás.
A continuación veremos cómo se realizan las operaciones siguientes:
Trazar una recta perpendicular en el extremo de una semirrecta. Trazar una recta perpendicular a otra que pase por un punto exterior a la recta. Trazar una recta paralela a otra recta que pase por un punto.
1. 3 .1. Trazar una recta perpendicular en el extremo de una
semirrecta
Para realizar este trabajo bastaría utilizar adecuadamente la escuadra y el cartabón. En este caso veremos cómo se puede hacer este trazado con el uso de una regla y un compás.
OPERACIONES
- Desde el punto O de la semirrecta Or , utilizando el compás, se traza un arco con un radio cualquiera. El arco corta a la semirrecta Or en el punto 1.
- Desde el punto 1 , con la misma abertura del compás , se traza un arco, obteniendo el punto 2. De igual manera obtengo el punto 3.
- Utilizando los puntos 2 y 3 , realizo otro arco con la misma abertura del compás , obteniendo el punto 4.
- Al unir el punto 4 con el punto O , consigo la recta perpendicular a la semirrecta Or en el extremo de la semirrecta.
1. 3 .2. Trazar una recta perpendicular a otra que pase por un punto exterior a la recta
En este caso tenemos un punto externo a una recta y tenemos que trazar una recta que pase por el punto y sea perpendicular a la recta dada. Nuevamente este ejercicio se puede realizar sencillamente con el uso adecuado de la escuadra y cartabón. En este caso veremos cómo se resuelve mediante una regla y un compás.
OPERACIONES:
- Desde el punto P dado, con una abertura del compás cualquiera, se traza un arco que corte a la recta r dada. Se obtienen los puntos 1 y 2.
- Desde los puntos 1 y 2 se trazan dos arcos con una abertura del compás algo mayor a la mitad. Se podría utilizar la misma medida utilizada en la operación 1. Se obtiene el punto 3.
- Se unen los puntos 3 y P , y obtenemos la recta que es perpendicular a r y a su vez pasa por el punto 3.
