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Tema
MATE M ÁTICA Delta 3 - G eoMetría 45
En general, dos figuras son congruentes cuando al colocar una sobre otra (superposición) coinciden todos sus elementos.
Dos triángulos son congruentes, si tienen sus tres lados congruentes y sus tres ángulos congruentes respectivamente.
¿Por qué no es correcto decir «son iguales» al referirnos a dos triángulos cuyas medidas son las mismas?
Todas las medidas son iguales, pero para formar al triángulo se han utilizado diferentes conjuntos de puntos como se puede apreciar en los vértices.
Para llegar a la conclusión de que hay congruencia, se analizan ciertos criterios que permiten concluir que dos triángulos son congruentes, y a partir de tal conclusión se pueden igualar todos los valores de los elementos de los triángulos.
Criterios para determinar la congruencia en triángulos
Lado – Ángulo – Lado (L – A – L)
Si: AB = PQ BC = QR AC = PR
m A = m P m B = m Q m C = m R ⇒ ABC ≅ PQR
y además:
B
A C
Q
P R
B
A C
α°
Q
P R
α°
β
α α (^) q
β
q
¿Sa bía s qu e...?
B
A k C
α
β
q
m n
Q
P R
α
β
q
m n
k
Triángulos II
Ángulo – Lado – Ángulo (A – L – A)
B
A C
α° (^) β°
Q
P R
α° (^) β°
Congruencia de triángulos
Not a
¿Sa bía s qu e...?
Lado – Lado – Lado (L – L – L)
Lado – Lado – Ángulo mayor (L – L – A (^) mayor )
α°: Opuesto al mayor lado
Si P ∈ a la bisectriz AM
P R
B Q
A C
α°
P R
Q
α°
B
A C
Aplicaciones de la congruencia A partir de los teoremas antes mencionados, surgen una serie de observaciones, en las cuales se aplican estos.
Teorema de la bisectriz: Todo punto situado sobre la bisectriz de un ángulo equidista de sus lados.
PQ ≅ PR
AQ ≅ AR
Existen muchos más criterios para determinar la congruencia. Por ejemplo:
- Lado – Altura – Lado
- Lado – Bisectriz – Lado Y muchos más; pero siempre se debe conocer al menos la longitud de un lado.
≅
≅
≅
Corolarios
α α
α α
Q
P M
R
A
α° α°
Not a
Teorema de la mediatriz: Todo punto situado en la mediatriz de un segmento, equidista de sus extremos.
En un triángulo isósceles el mejor trazo auxiliar es la altura relativa a la base, porque también se comporta como bisectriz, mediana y mediatriz. α° (^) α°
N
A B
M
L
L : mediatriz de AB
NA ≅ NB
ANB ⇒ isósceles
N ∈ L
Su ge re n cia
Triángulos rectángulos notables
Son todos aquellos triángulos rectángulos donde la medida de sus lados y ángulos se conocen de manera exacta o muy cercana a un valor exacto. Por ello es necesario, en primer lugar, diferenciarlos:
Triángulos rectángulos notables exactos
- 30° y 60°
Si en un triángulo rectángulo sus ángulos internos no son notables, el mejor trazo auxiliar es la mediana relativa a la hipotenusa.
Se traza BM.
Observación
Observación
30° n
n 2n
60°
3
45° n
n n
45° 2
n
30°
60° n 3 3
2n 3 3
45°
n
45° n 2 2
n 2 2
A
B
M C
¿Sa bía s qu e...?
R e cu e rda
En el triángulo de 15° y 75° también se tiene:
Aunque esos valores son más usados en trigonometría.
75° 4
15°
6 – 2 6 +^2
Son los denominados triángulos pitagóricos.
5k 13k
12k
8k 17k
15k
9k 41k
40k
De 37° y 53°
De
De 14° y 76°
De
De 16° y 74°
De 8° y 82°
Triángulos rectángulos notables aproximados
5a
37°
53° 3a
4a
2a
a
53° 2
127° 2
5 a
24a
16°
74° 25a 7a
7a
8°
82° a 5 2 a
14°
17 76° a
4a
a
3a
a a^10
37°/ 2
143° 2
MATE M ÁTICA Delta 3 - G eoMetría 49
1 De los triángulos que se muestran, calcula el valor de x.
2 En la figura, AB // CQ; halla el valor de x.
3 En la figura, determina el valor de QP.
Not a s Los criterios clásicos para encontrar la congruencia son: L – A – L A – L – A L – L – L
R e cu e rda
Teorema de la bisectriz
a q q a
Resolución:
Resolución:
Resolución:
De las figuras podemos notar que cumplen el criterio A – L – A, por ende: ABC ≅ QPR
Entonces: AB = PQ ⇒ 8 = x + 4 ∴ x = 4 u
Como AB // CQ, entonces: m BAC = m PCQ = q
Luego: ABC ≅ CPQ (L – A – L) ⇒ x + 4 = 7 ⇒ x = 3 u
Se observa en la figura que PR = RQ (propiedad de la bisectriz), entonces: m POR = m ROQ = 30°
Por ende: m POQ = 60° y PO = QO = QP (Triángulo equilátero). ∴ QP = 3 u
Rpta. 4 u
Rpta. 3 u
Rpta. 3 u
α (^) β A
B
8 u 10 u
C β
α
P
Q
x + 4
2x + 2
R
q A P C
Q
B
6 u
6 u
7 u
x + 4 9 u
3 u
1 u
3 u
1 u
R O
Q
P
Ejercicios resueltos
MATE M ÁTICA Delta 3 - G eoMetría 51
7 Si se sabe que CD = 5 u, halla el valor de DA.
Resolución:
Resolución:
Resolución:
Rpta. 3 2 u
Rpta. 60°
Rpta. 8 u
Trazamos DH AC. CHD notable de 37° y 53° DH = 3
AHD notable de 45° AH = 3 ⇒ x = 3 2 u
Por propiedad: BQ = QD ⇒ m BAQ = m QAD
⇒ Por ser isósceles ABD: m BDA = 2m QAD = 60°
Por lo tanto, x = 60°.
- AEC: Por base media: AC = 2(PQ) = 16u
- ABC: Por base media: MN =
AC
2 ⇒^ MN = 8 u
C D B
A
H
x
C D B
A
8 Si en la figura, AB = BD, determina el valor de x.
9 Si en la figura, PQ = 8 u, además AP = PE y EQ = QC. Encuentra el valor de la base media MN.
A D
C
Q
B
20°
20°
x
A
Q
D
C
B
x
α 2 α α
A
C
E
M N
P Q
B
R e cu e rda
3k
4k
53° 5k
37°
I mport a nte
Not a
Teorema de la base media.
AH = HC
2k
k
k
k
k 2
45°
45°
H
B
A C
α α
