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Alumno:
Sedes Ciudad y Campus, Area Ingenier´^ ´ ıa Mec´anica, EII Univ.Vigo, 36310 Spain
Abstract
Este examen es com´un e id´entico para las sedes Ciudad y Campus. La evaluaci´on del mismo sin embargo corresponde a los respectivos profesores de cada sede.
Keywords: Mecanismos, Din´amica, Regularidad (Volantes de Inercia), Engranes, Correas y Poleas.
- Problema Mecanismos.
En el mecanismo indicado en la figura 1 el cuerpo 5 es un solenoide que se desplaza horizontalmente en su junta prism´atica con una velocidad de 2 m s , hace contacto^ con deslizamiento^ en el punto medio del eslab´on 2 del mecanismo de cuatro barras, punto A en la figura 1. Considerar el ancho de los eslabones no significativo frente a su longitud, se asume en este contexto que el marco de referencia fijo es el eslab´on 1. Para la posici´on indicada en la figura.
Datos: L 2 = 3.46, −→v (^) A 5 / 1 = 2ms ̂i.
- Realizar/Dibujar el esqueleto cinem´atico del mecanismo vectorialmente, escribir la ecuaci´on vectorial de cierre correspondiente y coherente con la definicion de los vectores (0.5 ptos).
- Estimar L 3 y L 1. (1 pto)
- Estimar −→ω (^2) / 1 y la velocidad relativa del punto A 2 respecto al cuerpo 5 −→v (^) A 2 / 5 (2.5 ptos).
- Estimar −→ω (^3) / 1 y la velocidad del punto C,−→v (^) C 4 / 1 (2.5 ptos).
Preprint submitted to Dept. Ingenier´ıa Mec´anica M´aquinas y Motores T´ermicos y de Fluidos.January 18, 2012
Figure 1: Mecanismo Biela-Manivela accionado por solenoide (el dibujo est´a a escala).
- El mecanismo evoluciona hacia la posici´on indicada en la figura 2. Sobre la cruzeta act´ua en el instante indicado la fuerza Fp = 10[N ] con la l´ınea de acci´on y sent´ıdo que se muestran en la figura 2. Se quiere determinar la fuerza Fs que ha de aplicar el solenoide a la manivela en su punto X situado a una distancia LX = 1.497 [u] de la articulaci´on O 2 , para detener el mecanismo en esta posici´on al establecerse el equilibrio. (3. ptos). Sugerencia: emplear el m´etodo de potencias virtuales. Nota.- las superficies son suaves y el contacto extremo del solenoide-eslab´on 2 es en la direcci´on normal a ambas superficies.
Seg´un los datos del problema en la ecuaci´on (4) se conocen L 2 , θ 2 y θ 3. Despejando L 3 de forma asequible se tiene
L 3 = L 2 ·
sinθ 2 sinθ 3
sin 120 sin 150
= 5. 99 ' 6 [u] (5)
Reemplazando este valor en la ecuaci´on escalar (3) y despejando L 1 se tiene
L 1 = L 2 · cosθ 2 − L 3 · cosθ 3 = 3.466 [u] (6)
Figure 3: Esqueleto cinem´atico vectorial del mecanismo (el dibujo est´a a escala).
En este punto el an´alisis de posici´on esta resuelto pues se conocen todas las longitudes de los eslabones, m´odulos de los vectores, y los ´angulos asoci- ados de forma coherente a esos vectores.
An´alisis de velocidad:
Relacionamos las velocidades de A en los cuerpos 2 y 5 mediante:
−v−A→ 2 / 1 =^
−vA−→ 2 / 5 +^
−v−A→ 5 / 1 (7) a partir de la cual, de acuerdo con la figura 4 es asequible escribir
−ω 2 / 1 ̂k × O 2 A = vA 2 / 5 · (− cos(60)̂i + sin(60)̂ j) + vA 5 / 1 ̂ i (8)
al realizar el producto vectorial, teniendo en cuenta que
O 2 A = L 2 /2 esta ecuaci´on vectorial se puede expresar como
ω 2 / 1 ·
L 2
·sin(60)̂i+ω 2 / 1 ·
L 2
·cos(60)̂j = −vA 2 / 5 ·cos(60)̂i+vA 2 / 5 ·sin(60)·̂ j+vA 5 / 1 ̂ i (9) las dos ecuaciones escalares que contiene son
̂ i : ω 2 / 1 · L^2 2
· sin(60) = −vA 2 / 5 · cos(60) + vA 5 / 1 (10)
̂ j : ω 2 / 1 · L^2 2
· cos(60) = vA 2 / 5 · sin(60) (11)
Es un sistema de ecuaciones compatible determinado resolvi´endolo se obtienen los valores para las inc´ognitas ω 2 / 1 = 1
[rad s
]
y vA 2 / 5 = 1
[u s
]
Las magnitudes vectoriales correspondientes valen −→ω (^2) / 1 = − 1 · ̂k ·
[rad s
]
y −→v (^) A 2 / 5 = 1^120 o
[u s
]
= − 0. 5 · ̂i + 0. 866 · ̂j.
Para progresar en el an´alisis de velocidad en lo que sigue se emplear´a el m´etodo de Raven. Con esta finalidad se deriva la ecuaci´on (1) que se repite a continuaci´on por facilidad de la exposici´on.
L 2 · ejθ^2 = L 1 + L 3 · ejθ^3 ; (12) realizando la derivada temporal de (1) es asequible obtener:
L 2 · j θ˙ 2 · ejθ^2 = L˙ 1 + L 3 · j θ˙ 3 · ejθ^3 ; (13)
que desarrollada resulta
−L 2 · θ˙ 2 ·sin(θ 2 )+j ·L 2 · θ˙ 2 ·cos(θ 2 ) = L˙ 1 −L 3 · θ˙ 3 sin(θ 3 )+j ·L 3 · θ˙ 3 ·cos(θ 3 ) (14)
a partir de (14) se obtienen las dos ecuaciones escalares
Real : −L 2 · θ˙ 2 · sin(θ 2 ) = L˙ 1 − L 3 · θ˙ 3 · sin(θ 3 ) (15)
Img : L 2 · θ˙ 2 · cos(θ 2 ) = L 3 · θ˙ 3 · cos(θ 3 ) (16) Es un sistema de ecuaciones compatible determinado resolvi´endolo se ob- tienen los valores para las inc´ognitas anal´ıticas θ˙ 3 = − 0 .33329 y L˙ 1 = 1.99. Los valores de las correspondientes magnitudes vectoriales cinem´aticas aso- ciadas son −→ω (^3) / 1 = − 0. 333 · ̂k y −→v (^) c 4 / 1 ' 2 [u/s] · ˆi.
Finalmente, para estimar la fuerza que debe aplicar el solenoide en las condi- ciones del mecanismo indicadas en la figura 2, es decir para detenerlo, se considera que el sistema se encuentra en equilibrio; por tanto, las fuerzas de inercia de d’Alembert son nulas. Con referencia a la figura 5, se asumen como velocidades virtuales coherentes las velocidades reales si la manivela girase en este instante virtual con la velocidad angular ω∗^ , si este es el caso de nuestra aproximaci´on, es asequible estimar vX 2 / 1 = ω∗^ · LX y vC 4 / 1 = ω∗^ · L 2 , pues la rotacin ω∗ 3 = 0 en esta posici´on del mecanismo, tal como se indica en la figura 5. Por lo tanto la ecuaci´on de potencias virtuales se puede escribir de forma coherente como
Fs · ω∗^ · LX − Fp · ω∗^ · L 2 = 0 (17) extrayendo factor com´un ω∗^ la Ec.(17) se reescribe como
ω∗^ · (Fs · LX − Fp · L 2 ) = 0 (18) su soluci´on no trivial necesariamente conlleva que
Fs · LX − Fp · L 2 = 0 (19) y por lo tanto
Fs =
L 2
LX
· Fp = 23.11 [N ] (20)
Figure 5: Velocidades virtuales de A y las articulaciones B y C.
Table 1: Resumen Soluciones Anal´ıticas.
Variable Valor L 3 6 [u] L 1 3.466 [u] −→v (^) A 2 / 5 1120 o^
u s −→ω (^2) / 1 -1 rad s ·^ kˆ −→ω (^3) / 1 - 0.333 ·rad s ·^ kˆ −→v (^) c 4 / 1 2 [
u s ] Fs 23.11 [N]
- Cuestiones segundo bloque tem´atico.
- Una m´aquina realiza una operaci´on que consume 3 kJ en cada giro de la manivela principal, y se desea que realice 30 veces por minuto. Se acciona con un motor elctrico a trav´es de una reductora de relacin de transmisin i=1/20 y un rendimiento del 80. Determinar los valores medios de la potencia y el par que entrega el motor.
- Equilibrar una flecha, rotor o ´arbol mec´anico, consiste en:
- a) Decrementar los productos de inercia de sus etapas inerciales.
- b) Decrementar el momento de inercia axial del conjunto rotor- etapas inerciales.
- c) Mitigar las reacciones s´ıncronas en los descansos provocadas por la rotaci´on.
- d) Disminuir el numero de revoluciones del rotor.
- e) Deslocalizar la posici´on del centro de masas.
- f) Hacer nulo el momento de inercia axial del rotor. Ser´ıa necesario equilibrar un rotor fuera de un campo gravitatorio?
- Se aplica un par T en la rueda 1 del tren de engranajes de ejes fijos de la figura. determinar el momento de inercia reducido al eje de la rueda 1 y la aceleracin angular de la rueda 4. Se conocen los momentos de inercia de las ruedas: I1, I2, I3, I4. Se desprecian los momentos de los dems elementos.
Figure 8: Tren de engranajes de ejes fijos.
- Croquiza un tren de engranes epicicloidal: alzado y vista lateral izquierda. N´umero de variables linealmente independientes que posee? Qu´e f´ormula permite el an´alisis cinem´atico de forma m´as ´agil? Expr´esala anal´ıticamente.
- Una m´aquina se acciona mediante un par constante en la manivela principal, que gira a n rpm, y realiza una operaci´on durante 30 de giro de esa manivela principal que consume una energa W; Determinar la inercia necesaria para un grado de irregularidad del 1%.
- Obt´en la expresi´on anal´ıtica de la relaci´on de transmisi´on en el sistema de poleas de la figura 9. Cu´al de ellas es la que condiciona el rendimiento mec´anico de la transmisi´on?
Figure 9: Esquema de la transmisi´on mec´anica mediante correas y poleas.
