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placas delgadas analisis y diseño de losas
Tipo: Apuntes
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Facultad de Ingenier´ıa Ingenier´ıa Civil
Concepci´on, Mayo del 2011
Se sabe que Chile es uno de los pa´ıses s´ısmicos del mundo. Debido a esto se hace necesario considerar los efectos que produce un sismo en las estructuras. Durante el terremoto del 27 de Febrero de 2010, las estructuras de algunas ciudades de Chile fueron solicitadas fuertemente debido a la aceleraci´on horizontal, sin embargo, la componente de aceleraci´on vertical tambi´en fue muy importante. Por esta caracter´ıstica, este trabajo tiene por objetivo estudiar el efecto que produce la componente vertical de aceleraci´on provocada por un sismo, sobre losas de hormig´on armado, teniendo en cuenta que la aceleraci´on se aplica sobre el borde de la losa. La metodolog´ıa que ha sido utilizada, es la elaboraci´on de un programa computacional escrito en lenguaje MATLAB, el cual utiliza el M´etodo de los Elementos Finitos para calcular tanto las tensiones como deformaciones que aparecen sobre la losa. Para evaluar el efecto de la aceleraci´on vertical sobre una losa producida por un sismo, se ha realizado un an´alisis est´atico y din´amico de la misma. El an´alisis est´atico consiste en obtener las distribuciones de tensiones que genera una carga est´atica uniformemente distribuida, la cual ha sido obtenida de la norma chilena: NCh 1537.Of86, Dise˜no estructural de edificios, cargas permanentes y sobrecargas de uso. El an´alisis din´amico consiste en obtener las envolventes de tensiones que genera la aplicaci´on del registro vertical de aceleraciones del terremoto del 27 de Febrero del
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Dedicado a mis padres Rub´en y Mirta, y mis hermanos Carola, Cristian y Rodrigo.
Durante todo el proceso de formaci´on profesional que he vivido, han aparecido un sinn´umero de personas que de alguna u otra forma me han ayudado con este proceso, a trav´es de un consejo o simplemente, con una palabra de apoyo, por lo tanto, ser´ıa necesario tener una gran cantidad de p´aginas disponibles para agradecerles, pero por motivos pr´acticos no se puede, en todo caso, muchas gracias a cada uno de ellos. Sin embargo, de aquel conjunto anterior de personas, siempre hay algunas que son m´as importantes, ya que tienen relaci´on directa con el momento en el que me encuentro, porque su apoyo fu´e incondicional durante todo este proceso. Estas son mi familia, partiendo con mis padres, Rub´en y Mirta, que me apoyaron en las buenas y en las malas, y tambi´en a mis hermanos: Carola y su esposo, Cristi´an y Rodrigo, que fueron fundamentales en que este proyecto haya llegado a buen fin, al igual que mi polola Andy, que me apoy´o demasiado. Las personas nombradas anteriormente forman parte de una dimensi´on emocional, sin embargo este proceso, tambi´en, consta de una dimensi´on t´ecnica, en la cual debo agradecer a los profesores que tuve durante la carrera, y especialmente a mi profesor gu´ıa, Dr. Edwin Marcelo Behrens Rinc´on, que sin su ayuda y astucia, este proyecto no hubiese llegado a buen puerto.
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A.2. Funciones de forma del elemento DKT y sus derivadas............ 105
B. Espectro de aceleraciones para el registro vertical 110 B.1. Espectro de aceleraciones del registro vertical del terremoto del 27/ 02 / 2010. 111
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1.1. a) Edificio Alto R´ıo, Concepci´on. Fuente: http://www.farm3.static.flickr.com. b) Torre O’Higgins, Concepci´on. Fuente: http://www.miradas.com........... 2 1.2. Da˜nos en losa a nivel de esquinas de muro. Fuente: Inspecci´on Post Sismo del 27 de Febrero del 2010 Edificio Don Manuel, realizada por Idiem............. 3 1.3. Da˜nos en losa cercana a muros. Fuente: http://www.reclamos.cl........... 3 1.4. Da˜nos en losa cercana a muros. Fuente: Universidad Cat´olica de la Sant´ısima Concepci´on.................................... 4 1.5. Da˜nos en losa cercana a muros. Fuente: Universidad Cat´olica de la Sant´ısima Concepci´on.................................... 4 2.1. Ejemplos de estructuras modeladas con un solo grado de libertad.......... 8 2.2. Modelo matem´atico para un sistema con un grado de libertad............ 8 2.3. a) Esquema de un edificio simple. b) Deformada de un edificio simple........ 10 2.4. Modelo de un edificio simple............................ 10 2.5. Modelo de edificio simple excitado en su base.................... 15 2.6. Modelo de edificio simple con amortiguaci´on excitado en su base.......... 18 2.7. Diagrama de cuerpo libre de la placa........................ 23 3.1. Definici´on geom´etrica de una placa y convenio de signos para desplazamientos y giros. 29 3.2. Deformaci´on del plano medio de una placa delgada y giro de la normal........ 30 3.3. Convenio de signos para tensiones y momentos en una placa............. 32 3.4. Elemento de placa rectangular de cuatro nodos no conforme MZC.......... 35
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- la base 2.3.4. Respuesta de un edificio simple con amortiguaci´on al movimiento de - 2.3.4.1. M´etodo de Newmark a : Longitud del lado de una placa cuadrada, en m. α : Angulo de fase, en´ rad. A : Matriz de coeficientes del polinomio de interpolaci´on del elemento MZC. Ae : Area elemental del elemento MZC y´ /o DKT, en m^2. {a} : Vector de formas modales. b : Longitud del lado de una placa cuadrada, en m. Bf : Matriz de flexi´on. C : Amortiguaci´on del oscilador de un grado de libertad, en N sm. [C] : Matriz de amortiguaci´on, en N sm. cn : Coeficiente de amortiguaci´on, en N sm. Dˆf : Matriz constitutiva, en (^) mN 2. D¯f : Rigidez flexural de una placa, en (^) mN 2. E : M´odulo de elasticidad, en (^) mN 2. εc : Deformaci´on provocada por esfuerzos de corte. εf : Deformaci´on provocada por esfuerzos de flexi´on. εx : Deformaci´on en el eje x. εy : Deformaci´on en el eje y. εz : Deformaci´on en el eje z. {ε} : Vector de deformaciones. F(t) : Fuerza de magnitud variable en el tiempo, en N. φi j : Coeficientes de la matriz modal. φx : Giro adicional de la normal (Teor´ıa de Reissner-Mindlin), en rad.
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φy : Giro adicional de la normal (Teor´ıa de Reissner-Mindlin), en rad. {F(t)} : Vector de fuerzas de magnitud variable en el tiempo, en N. [φ] : Matriz modal. g : Aceleraci´on de gravedad, en ms 2. g¨ : Segunda derivada del desplazamiento modal, en ms 2. Γi : Factor de participaci´on modal, en kg. γxy : Deformaci´on por corte en los planos xy. γxz : Deformaci´on por corte en los planos xz. γyz : Deformaci´on por corte en los planos yz. [I] : Matriz identidad. K : Rigidez del oscilador de un grado de libertad, en (^) mN 2. K dkt(e) : Matriz de rigidez elemental del elemento DKT. K mzc(e) : Matriz de rigidez elemental del elemento MZC. λ : Par´ametro del M´etodo de Newmark. M : Masa del oscilador de un grado de libertad, en kg. M dkt(e) : Matriz de masa elemental del elemento DKT. M mzc(e) : Matriz de masa elemental del elemento MZC. Mx : Momento con respecto al eje y, en Nm. Mxy : Momento sobre el plano xy, en Nm. My : Momento con respecto al eje x, en Nm. μ : Par´ametro del M´etodo de Newmark. [N] : Matriz de las funciones de forma. ν : Modulo de Poisson. P(t) : Fuerza modal, en N. q : Fuerza vertical uniforme sobre la losa o placa, en (^) mN 2. Qx : Fuerza vertical repartida sobre la losa, en Nm. Qy : Fuerza vertical repartida sobre la losa, en Nm. θx : Angulo de giro de la normal con respecto al eje´ x, en rad. θy : Angulo de giro de la normal con respecto al eje´ y, en rad.
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A lo largo de la Historia, Chile se ha caracterizado por ser uno de los pa´ıses con mayor frecuencia de episodios s´ısmicos, prueba de ello, se cuenta con un nutrido historial de terremotos. S´olo en el siglo pasado se contabilizaron 13 de ellos, entre los que se encuentra el terremoto de Chill´an en Enero de 1939, el cual tuvo una magnitud de 8.3o^ Richter, Valdivia en Mayo de 1960 con una magnitud de 9.5o^ Richter y finalmente San Antonio, en Marzo de 1985 que en cual se registraron 8.0o^ Richter. En la madrugada del pasado 27 de Febrero del 2010, el centro sur de Chile fue sacudido, nuevamente, por un fuerte terremoto de magnitud 8.8o^ Richter, el cual vino acompa˜nado de un tsunami que afect´o la costa desde Pichilemu hasta la Pen´ınsula de Arauco. Dentro de las ciudades afectadas por el sismo, se encuentran Santiago, Rancagua, Talca y Concepci´on, siendo esta ´ultima una de las m´as afectadas. Algunos edificios que colapsaron en esta ciudad se pueden ver en las siguientes im´agenes:
(a) (b)
Figura 1.1: a) Edificio Alto R´ıo, Concepci´on. Fuente: http://www.farm3.static.flickr.com. b) Torre O’Higgins, Concepci´on. Fuente: http://www.miradas.com.
De las im´agenes anteriores, se puede inferir que estas estructuras estuvieron sometidas a grandes deformaciones durante el terremoto, las cuales soprepasaron el l´ımite el´astico, originando la falla de importantes elementos estructurales y por lo tanto el colapso de la estructura. Dentro de los elementos estructurales que fallaron por la acci´on de este terremoto se encuentran las losas de hormig´on armado, en las cuales se presentaron fisuras, algunas de estas fallas se muestran en las siguientes fotograf´ıas: