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ENSEMBLES DE NOMBRES
I. Définitions et notations Non exigible
- Nombres entiers naturels
Un nombre entier naturel est un nombre entier qui est positif.
L'ensemble des nombres entiers naturels est noté ℕ.
Exemples :
- Nombres entiers relatifs
Un nombre entier relatif est un nombre entier qui est positif ou négatif.
L'ensemble des nombres entiers relatifs est noté ℤ.
Exemples :
- Nombres décimaux
Un nombre décimal peut s'écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule.
L'ensemble des nombres décimaux est noté ⅅ.
Exemples :
ⅅ mais
- Nombres rationnels
Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient
a
b
avec
a
un entier et
b un
entier non nul.
L'ensemble des nombres rationnels est noté ℚ.
Exemples :
- Nombres réels
L'ensemble des nombres réels est noté ℝ.
C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.
Exemples :
, 3 ou
p
appartiennent à ℝ.
- Ensemble vide
Un ensemble qui ne contient pas de nombre s’appelle l’ ensemble vide et se note Æ.
- Symbole d’exclusion
Le signe * exclu le nombre 0 d'un ensemble.
Par exemple, ℝ * est l'ensemble des nombres réels privé de 0.
- Inclusions
Tous les nombres de l’ensemble des entiers naturels ℕ appartiennent à l’ensemble des
entiers relatifs ℤ.
On dit que l’ensemble ℕ est inclus dans l’ensemble ℤ.
On note : ℕ ⊂ ℤ.
On a également les inclusions suivantes :
Exemple :
L’ensemble de tous les nombres réels x tels que -2 ≤ x ≤ 7 se note : [-2 ; 7].
On a par exemple :
[-2 ; 7]
[-2 ; 7]
[-2 ; 7]
Vidéo https://youtu.be/9MtAK7Xzrls
Nombres réels x Notation Représentation
2 ≤ x ≤ 4 [ 2 ; 4 ]
-1 < x ≤ 3 ] -1 ; 3 ]
0 ≤ x < 2 [ 0 ; 2 [
2 < x < 4 ] 2 ; 4 [
x ≥ 2
[ 2 ; +∞ [
∞ désigne l’infini
x > -1 ] -1 ; +∞ [
x ≤ 3 ] -∞ ; 3 ]
x < 2 ] -∞ ; 2 [
Remarque :
L’ensemble des nombres réels ℝ est un intervalle qui peut se noter ] -∞ ; +∞ [.
Méthode : Donner les solutions d’une inéquation
Vidéo https://youtu.be/p93oVqzvog
Résoudre l’inéquation et donner les solutions sous forme d’un intervalle : 2 x - 3 < 4
x
x
x
x
L’ensemble des solutions est l’intervalle
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p37 n°37, 38
Ex 3, 4 (page8)
p38 n°
Ex 2 (page8) p43 n°14, 15
p48 n°
Ex 3, 4 (page8)
Ex 2 (page8)
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
- Intervalle ouvert et intervalle fermé :
Définitions :
On dit qu'un intervalle est fermé si ses extrémités appartiennent à l'intervalle.
On dit qu’il ouvert dans le cas contraire.
Exemples :
- L’intervalle [-2 ; 5] est un intervalle fermé.
On a : -
[-2 ; 5] et 5
[-2 ; 5]
- L’intervalle ]2 ; 6[ est un intervalle ouvert.
On a : 2
]2 ; 6[ et 6
]2 ; 6[
est également un intervalle ouvert.
- Intersections et unions d’intervalles :
Définitions :
- L'intersection de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui
appartiennent à A et à B et se note A ∩ B.
- La réunion de deux ensembles A et B est l'ensemble des éléments qui
appartiennent à A ou à B et se note A ∪ B.
I ∩ J = ∅, car les ensembles I et J n’ont pas de zone en commun.
I ∪ J = ] -∞ ; -1] ∪ [1 ; 4]
Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir
p38 n°53 et 54
p37 n°
p38 n°
Ex 5, 6 (page8)
p37 n°
p37 n°40 p17 n°17, 18
p48 n°
p43 n°
Ex 5 (page8)
Ex 6 (page8)
ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2010 ODYSSÉE 2de HATIER Edition 2014
Exercice 1
I
J
Hors du cadre de la classe, aucune reproduction, même partielle, autres que celles prévues à l'article L 122-5 du code de
la propriété intellectuelle, ne peut être faite de ce site sans l'autorisation expresse de l'auteur.
www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales
- Effectuer : A =
B =
C =
1
3
( )
3
2
D = 1 6
( )
( )
E = 3 1
( )
2
F = 3 2 2
( )
2
G = 7 3 2 12 3 27 H = 18 2 2 20
- Déterminer la nature de chacun des nombres précédents.
Exercice 2
Dans chaque cas, écrire les inégalités sous forme d’un intervalle.
a) 2 £ x £ 7 b) 2 £ x < 0 c) 2 < x £ 6 d) x £ 9
e) 2 > x f) 9 < x < 11 g) 9 < x h) 13 ³ x
Exercice 3
Résoudre chacune des inéquations suivantes et donner le résultat sous forme d’un intervalle.
a) 3 x 4 < 8 b)
9 x 5 > 5 x 1
c)
6 x 7 £ 7 x 5
d) 5 ( 2 x 3 ) ³ 5 x 3 e) ( x 4 ) < 2 x f) 4 ( x 5 ) £ 7 2 x
g) 5 x 1 > 4 ( x 1 ) h) 7 ( x 6 ) £ 8 x 4
Exercice 4
1) Inventer une inéquation du type ax b £ cx d (avec a , b , c et d réels non nuls) dont la solution
est l’intervalle
.
- Même question avec l’intervalle
.
Exercice 5
Dans chaque cas, commencer par écrire les inégalités sous forme d’intervalles puis déterminer l’intersection
des intervalles.
a)
0 £ x £ 5
et 4 £ x £ 9 b)
5 < x < 1
et 3 < x < 0
c)
7 £ x < 9
et
2 < x < 8
d)
x < 9
et
1 < x £ 2
e)
x ³ 1
et
x £ 4
f)
x > 3
et
x < 0
Exercice 6
Dans chaque cas, commencer par écrire les inégalités sous forme d’intervalles puis déterminer la réunion
des intervalles.
a)
0 £ x £ 5
ou
4 £ x £ 9
b)
5 < x < 1
ou
3 < x < 0
c) 7 £ x < 9 ou 2 < x < 8 d) x < 9 ou 1 < x £ 2
e) x ³ 1 ou x £ 4 f) x > 3 ou x < 0
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