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ECONOMÍA DE LA INFORMACIÓN Y LA INCERTIDUMBRE. Prof. Raúl López
La metodología docente a seguir en esta asignatura busca (i) reducir al máximo la
recepción pasiva de conocimientos por parte de los alumnos, (ii) favorecer e incentivar
el aprendizaje autónomo de las herramientas y conceptos clave de la asignatura, (iii)
incentivar el estudio continuado a lo largo del semestre, (iv) fomentar la creatividad
de los alumnos a la hora de aplicar estas herramientas y construir modelos con los que
explicar la realidad, y (v) enfatizar la utilidad de estas herramientas para el desarrollo
profesional de los alumnos.
Para todo ello, (a) se minimizará el tiempo dedicado a la exposición de
contenidos por parte del profesor y toma de apuntes por el alumnado (clase
magistral), (b) se facilitarán al principio del curso los apuntes básicos con los que
adquirir los conceptos clave y la bibliografía con la que complementar estos apuntes,
(c) se entregará asimismo una lista de ejercicios que los alumnos deberán realizar
mayormente por su cuenta para profundizar en la asignatura; las soluciones de la
mayoría de estos ejercicios también se entregarán, y (d) a lo largo del curso, iré
indicando cada semana las actividades a realizar por los alumnos durante la siguiente
semana. Tanto los ejercicios como los apuntes aparecerán en mi página web, mientras
que las referencias bibliográficas que se indiquen aparecen todas en la guía docente,
salvo excepciones que se harán conocer en su momento.
Las clases estarán destinadas en buena parte a la resolución pública de los
ejercicios de esa semana, a veces por parte de los alumnos (ver más abajo). Con esto
último se pretende aprender de posibles errores y favorecer el aprendizaje autónomo.
Asimismo, las clases también deben servir como escenario para que los alumnos
planteen dudas que hayan surgido durante el estudio previo de la teoría y la resolución
de los ejercicios. Aunque dedicaré algo de tiempo en clase a presentar la teoría
correspondiente a esa semana (a muy grandes rasgos), el alumno debe ser consciente
de que la asistencia a clase será menos útil si previamente no se ha preparado por su
cuenta la teoría y los ejercicios. Asimismo, hay que evitar venir a las clases a tomar
apuntes de modo continuo. Por el contrario, el objetivo principal es complementar el
trabajo previamente realizado en casa, y resolver las dudas surgidas
Ejercicios a resolver por los alumnos
A tener en cuenta:
1. Al final de cada semana, el profesor indicará los contenidos teóricos que los
alumnos deberán preparar para la siguiente semana, indicando asimismo los
ejercicios que deben resolver. Es fundamental que todos los alumnos respeten
este calendario de trabajo.
2. Durante la siguiente semana, además, cualquier alumno puede ser requerido
por el profesor para corregir alguno de los ejercicios correspondientes en
público. Nota: El profesor no exigirá las entregas de ejercicios corregidos.
¿cuántos huevos llegarían con cada lotería?, (c) suponga que las utilidades de las consecuencias ‘llegan 0, 6 , 12 huevos a casa’ son respectivamente 6, 10 y 12, y que las preferencias del individuo satisfacen las hipótesis del modelo de von Neumann-Morgenstern, ¿preferirá hacer 1 o 2 viajes?, (d) suponga que también puede hacer 3 viajes, llevando 4 huevos en cada uno, y que la utilidad de las consecuencias ‘llegan 4, 8 huevos a casa’ son respectivamente 9 y 10,8; ¿preferiría hacer 3 viajes?, (e) suponga ahora que cada viaje le redujera su utilidad en c útiles, ¿cuánto tendría que valer c para que prefiriese llevarlo todo en un único viaje?
Ejercicio 5 (S) El señor Z tiene riqueza inicial igual a 5000 euros, y va a apostar 20 euros a que el Atlético de Madrid ganará la liga — en tal caso, Z recibiría un premio de 200 euros. Z tiene una función de utilidad del dinero logarítmica
, donde w indica riqueza final. Teniendo en cuenta todo esto, ¿con al
menos cuánta probabilidad debe pensar Z que el Atlético ganará? ¿Y si el premio fuera igual a 400 euros? ¿Y si fuera 40? ¿Si usted trabajara para una empresa de apuestas, qué conclusión general sacaría de este análisis?
Ejercicio 6 (S) Considere un agricultor con función de utilidad del dinero
logarítmica , donde w representa su nivel de riqueza final. La riqueza
inicial del agricultor es de 25 euros. El agricultor proyecta comprar semillas modificadas genéticamente para resistir a las plagas. Los ingresos serán de 80 euros si llueve y de 5 euros si no llueve. La probabilidad de lluvia es del 50% y el coste de la inversión en semillas asciende a 20 euros. Si no invierte en semillas, los ingresos serán de 40 euros si llueve y de 5 si no llueve. Responda: (a) ¿Le interesa llevar el proyecto adelante?, (b) ¿A partir de qué probabilidad de lluvia invertir es preferible a no invertir?
Ejercicio 7 (S) Supongamos que el ayuntamiento de una gran ciudad se plantea controlar el aparcamiento en su área central. Para ello puede implementar una de estas dos políticas: aumentar la vigilancia policial en un 10% y por tanto la probabilidad de multar el aparcamiento indebido, o aumentar la cuantía de las multas en un 10%. Responda: (a) Tras la implementación de cada una de las políticas, ¿cuál es el valor esperado de un conductor si decide aparcar en zona prohibida? (b) ¿Qué política será la más disuasoria si los conductores son aversos al riesgo? ¿Y si son amantes del riesgo? ¿Y si son neutrales ante el riesgo? Explique sus respuestas gráficamente. (c) Si el objetivo del ayuntamiento fuera meramente recaudatorio, ¿qué política sería más beneficiosa para las arcas municipales?
u ( w ) Ln ( w )
u ( w ) Ln ( w )
Ejercicio 8 (S) Suponga w1 > w2 > w3 > w4, y que u(w1) + u(w4) = u(w2) + u(w3); donde las w denotan niveles de riqueza, y u es la función de utilidad de dinero de un individuo. Si es averso al riesgo y maximiza la utilidad esperada, preferirá una lotería que le ofrezca ganar w2 y w3 con probabilidades respectivas del 50% frente a ganar w1 y w4 con probabilidades respectivas del 50%, ya que esta última opción implica una varianza (riesgo) de resultados más elevada. ¿Cierto o falso?
Ejercicio 9 (S) Un agricultor de secano está considerando qué cultivar la próxima temporada. Tiene dos alternativas posibles (trigo y girasol), y su riqueza final con cada cultivo variará según haya suficientes precipitaciones (probabilidad 50%) o sequía (probabilidad 50%), de acuerdo con la siguiente tabla:
Cultivo Lluvia suficiente Sequía Trigo 28.000 euros 10.000 euros Girasol 19.000 euros 15.000 euros
Suponga que su función de utilidad del dinero es u(w) = Lnw. a. Si sólo puede plantar un cultivo, ¿cuál elegirá? b. Si puede plantar 1/2 de parcela con trigo y el resto con girasol, ¿preferirá esta opción a especializarse en un cultivo? (Nota: Si planta un porcentaje μ de la parcela con un cultivo, los ingresos correspondientes a ese cultivo serán iguales a μ% de los que obtendría si plantara toda la parcela, en cualquier contingencia ). c. ¿Cuál es el porcentaje óptimo μo^ que debería plantar de trigo? Pista: Resuelva asumiendo solución interior y aplicando técnicas de optimización matemática. d. En el caso c), suponga que una aseguradora ofrece un contrato de seguro sólo para los agricultores que cultiven exclusivamente trigo. Cuesta 4000 euros y da una indemnización de 8000 euros en caso de sequía. ¿Contrataría el agricultor este seguro o preferiría plantar la combinación óptima hallada en c)?
Ejercicio 10 (S) Considere un agricultor con 1000 kg de trigo. Debe decidir qué cantidad C 0 de esos 1000 Kg consumir ahora. El resto se plantará para obtener más trigo al año siguiente y consumirlo entonces. La cosecha futura depende del clima: Si llueve obtendrá 10kg de trigo por cada kg que plante, mientras que obtendrá 5 kg de trigo por cada kg plantado si no llueve. La probabilidad de que llueva es 0,5.
Considere un inversor con función de utilidad del dinero u(x) = Lnx , una riqueza
inicial de 500 euros, y que quiere invertir 100 de estos euros en X y Z. Si la ‘cartera θ’ invierte un porcentaje θ de los 100 euros en el activo X y el restante 1- θ en Z, responda lo siguiente: (a) indique los posibles niveles de riqueza final que pueden alcanzarse con la lotería ‘cartera θ’, así como sus probabilidades respectivas; (b) ¿Qué lotería tiene mayor valor esperado (es decir, para qué valor de θ se maximiza el valor esperado de la correspondiente lotería ‘cartera θ’)?; (c) ¿qué lotería maximiza la utilidad esperada? (Aplique técnicas básicas de maximización matemática, indicando finalmente el porcentaje θ óptimo); (d) explique intuitivamente por qué la respuesta a (b) y (c) no coinciden.
Ejercicio 16 (S ) Gómez es propietario de un inmueble que quiere vender. A día de hoy puede obtener 10.000 euros, pero también puede esperar un año, por si el mercado mejora. Gómez piensa que, con un 25% de probabilidad, el mercado inmobiliario irá a peor y que sólo venderá por 8.000 euros, mientras que el mercado mejorará con un 75% y entonces vendería por Y euros. La función de
utilidad del dinero de Gómez es , y su riqueza inicial sin contar el
inmueble es de 1.000 euros. Por simplificar, suponga que a Gómez le da igual obtener M euros ahora que dentro de un año. Responda razonadamente :
a) Si el tipo de interés a un año es cero (y no hay inflación), ¿a cuánto tiene que ascender Y para que Gómez esté indiferente entre vender ahora o esperar un año? ¿Y si el tipo de interés fuera del 10%?
b) Suponga ahora Y = 13.000 e interés cero. Si la probabilidad de que el mercado mejore el año que viene se reduce hasta el p % por la crisis económica, ¿qué probabilidad p le dejaría indiferente a Gómez entre vender ahora y no vender?
Ejercicio 17 (S) Un banco tiene unos fondos de 1000 euros y dos maneras de invertirlos: (i) Bonos del Estado al 3% o (ii) prestarlos a una PYME al 5%. El problema con los préstamos es que a veces no se devuelven (los bonos, por el
u ( x ) x
Activo Liberal Intervencionista X 12,5% -5% Z 3% 9%
contrario, son totalmente seguros). Inicialmente, el banco estima en un 1% la tasa de morosidad. Suponemos que el banco no tiene costes, con lo cual su beneficio final coincide con los intereses obtenidos con la inversión (para el caso en el que el préstamo no se devuelve, no obstante, el banco incurre en unas pérdidas iguales al importe del préstamo). El banco realizará aquella inversión con mayor beneficio esperado. Responda razonadamente :
a) ¿Qué hará el banco: Invertir los 1000 € en (i) bonos o (ii) en el préstamo?
b) Suponga ahora que, por efecto de una crisis, la tasa de morosidad sube al 2% ¿cambia su respuesta a la pregunta anterior? ¿Qué nombre recibe en economía la desaparición de un mercado como en este ejemplo?
c) Como medida de choque para evitar este fenómeno, el gobierno se plantea variar el tipo de interés de los bonos. Si la tasa de morosidad es del 2%, ¿hasta qué tipo deberá llegar?
Ejercicio 18 (se resolverá en clase) Demuestre con un ejemplo gráfico sencillo que un individuo averso al riesgo preferirá un activo seguro a otro con cierta volatilidad si el segundo tiene una menor rentabilidad esperada. Demuestre que lo anterior no tiene por qué ser cierto para un individuo amante del riesgo.
Ejercicio 19 (se resolverá en clase) Considere dos activos 1 y 2 cuyas rentabilidades están negativamente correladas (1 da altos rendimientos cuando 2 da bajos, y viceversa). Con un ejemplo gráfico lo más sencillo posible, demuestre que todo individuo averso al riesgo que quiera invertir cierto dinero y tenga estos dos activos como opciones preferirá diversificar (invertir parte del dinero en 1 y parte en 2) que invertir todo en uno sólo, al menos bajo ciertas condiciones (explicítelas).
Ejercicio 20 (S) García tiene 20000 euros y quiere comprarse una televisión. Conoce una tienda donde puede comprarla por 2000 euros seguro, y otra tienda Z donde tal vez podrían hacerle una rebaja de 300 euros (el precio sería entonces de
1700 euros). Su función de utilidad del dinero es u(x) = √x , donde x indica la
riqueza después de comprar el televisor. Confirmar que le hacen rebaja en la tienda Z le costaría 100 euros por costes de desplazamiento, etc. ¿Con cuánta probabilidad p debe creer que le harán rebaja para que le valga ir a Z?
que el programa no valga nada, un 30% de que sea un programa mediano que le reporte unos beneficios de 5.000, y un 50% de que sea realmente bueno y le reporte 10.000. Estas ganancias puede obtenerlas un individuo tan avispado como usted. Por el contrario, el informático sólo obtendría la mitad de lo que usted ganase en cada caso, pues es mucho peor gestor y comercializador. Por lo tanto: El informático, que conoce la calidad real del programa, aceptará como mínimo un cheque por la mitad de lo que usted ganaría realmente. Suponga que usted es neutral al riesgo, con utilidad de la riqueza U(x) = x, donde x indica la riqueza final. Utilizando la teoría de la utilidad esperada, responda razonadamente: (a) ¿Qué precio escribirá usted? (b) Si pudiera obtener información fehaciente sobre la calidad del programa, ¿cuánto pagaría por ella como máximo?
Ejercicio 24 (A resolver por el alumno) Para el modelo de búsqueda simultánea de los apuntes, con dos resultados posibles (A y B) y probabilidades respectivas π y 1-π, responda lo siguiente: (i) Halle una expresión para la utilidad esperada de hacer n búsquedas, así como para el incremento de utilidad esperada por pasar de n-1 a n búsquedas; (ii) teniendo en cuenta su respuesta al apartado anterior, determine el número óptimo de búsquedas, no^ , en función de los parámetros del modelo; (iii) compare las respuestas a los anteriores apartados con las correspondientes al modelo de búsqueda secuencial, y explique las diferencias.
Ejercicio 25 (A resolver por el alumno) A continuación, se presenta información sobre la curva de utilidad de un individuo:
Utilidad total (unidades) Riqueza (miles) 100 5. 80 2. 60 1. 40 1. 20 0. 0 0.
¿Es el individuo amante, neutral o averso al riesgo?
Ejercicio 26 (A resolver por el alumno) Suponga que a un individuo con función
de utilidad del dinero u(x) = √x le ofrecen un empleo como vendedor, donde tiene
una probabilidad del 50% de obtener 4.000 euros al mes y otra del 50% de no obtener ingreso alguno. Su riqueza inicial es de 0 euros. Responda: (a) ¿Cuál sería el ingreso esperado si el individuo toma ese empleo? ¿Cuál sería su utilidad esperada?, (b) si otra empresa le ofreciera un empleo con un sueldo seguro de x
euros, ¿cuánto tendría que ser x como mínimo para convencerle de tomar este empleo en vez del otro? Explique y grafique su respuesta
Ejercicio 27 (A resolver por el alumno) Un individuo con función de utilidad del
dinero u(x) = √x tiene una pequeña cabaña valorada en 5000 euros, además de
otros 5000 euros en efectivo. La cabaña está en un terreno inestable por lo que hay una probabilidad del 75% de que la casa se desplome y pierda todo su valor. ¿Cuánto estará dispuesto a pagar como máximo por una póliza de seguros que le pague 5.000 si la casa se desploma? Explique de manera tanto analítica como gráfica su respuesta.
Ejercicio 28 (S) Una universidad quiere implementar un sistema de incentivos para sus profesores, premiándoles cuando las notas de un alumno promedio suban (desde un 5 hasta un 7). Esas notas son las que el alumno obtendría en un examen externo, realizado por un organismo independiente. Si suben las notas el profesor recibe una remuneración de P Euros, mientras que si no suben las notas el salario es el normal (500 Euros). Se sabe que la probabilidad de que el alumno saque un 5 o un 7 depende del esfuerzo (horas de tutorías) del profesor, según la siguiente tabla:
Esfuerzo (horas) 2 1 Probabilidad Nota = 7 0.99 0. Probabilidad Nota = 5 0.01 0.
Suponga que la utilidad del profesor viene dada por U(w,e)=ln(W) – v·e, donde v es el coste del mayor esfuerzo (suponga que v=1 ) y W es el salario percibido por el profesor. Asimismo, si el profesor no participa en el programa de incentivos su salario será igual al salario normal (500 Euros) con independencia de las calificaciones que obtengan sus alumnos (suponga que las horas de tutorías en este caso son 1). Si el objetivo de la universidad es minimizar el coste salarial del sistema de incentivos P, se pide: (a) Plantee las condiciones que deben cumplirse para que un profesor decida participar en el programa de incentivos, (b) plantee las condiciones que deben cumplirse para que el profesor participe y la nota media del alumno (valor esperado) suba por encima de 6, (c) plantee y obtenga el valor óptimo de P, (d) ¿Considera que un sistema de incentivos que incremente el salario a los participantes con independencia de las calificaciones mejoraría la nota media? (e) ¿Cómo considera que se modificarían las respuestas si la prueba de calificación que justifica el pago del incentivo la realizará el propio profesor?
de un jugador cualquiera, (b) considere el caso n = 4, k = 10, así como un vector de estrategias cualquiera, ¿cuáles serían las utilidades de los jugadores si jugasen de acuerdo a ese vector de estrategias? Repita con otro vector de estrategias para confirmar que entiende los pagos del juego; (c) considere ahora el caso n = 2, k = 10, m = 0,75, y suponga por simplicidad que cada jugador sólo tiene 3 estrategias posibles: poner todas las fichas en el fondo 1, poner la mitad en 1, o poner cero en
- Indique la matriz de pagos para este caso sencillo y aplique el concepto de estrategia estrictamente dominada, ¿qué estrategia elegirá cada jugador?; (d) para cualquier valor de n, k, y m, demuestre que hay una única estrategia que sobrevive a la eliminación de estrategias estrictamente dominadas si m < 1.
Ejercicio 43 (S) ¿Cuáles son los equilibrios de Nash respectivos de los siguientes 2 juegos en forma estratégica? Mencione sólo los equilibrios en estrategias puras. Razone su respuesta.
Ejercicio 44 (S). Dos jugadores (A y B) están negociando cómo repartir 100 euros. El juego, una variante del denominado Nash Bargaining Game , procede del siguiente modo: Cada uno escribe simultáneamente una cantidad entre 0 y 100 (ambas incluidas), y si estas cantidades suman 100, entonces cada uno se lleva la cantidad que escribió. En caso contrario, ambos se llevan 0 euros. Suponga que a cada jugador sólo le interesa el dinero que él gane. (a) ¿Si A piensa que B va a escribir 57, qué debería escribir A? ¿Y si pensase que B va a escribir 0? ¿Y si pensase 100? (b) Teniendo lo anterior en cuenta, ¿cuáles son los equilibrios de Nash en puras de este juego? Razone su respuesta. (c) ¿Qué cantidad cree usted más probable que escriba cada jugador?
Ejercicio 45 (S) Dos individuos (A y B) tienen que escribir por separado una lista con algunas de estas 7 ciudades: Bilbao, Córdoba, Jaén, Lugo, Murcia, Oviedo y Sevilla. Pueden poner las que quieran, con sólo dos condiciones: La lista de A tiene que contener ‘Sevilla’, y la de B debe incluir ‘Oviedo’. Cada uno gana 1000 euros si sus listas son exhaustivas y no se ‘solapan’ (es decir, si todas las ciudades
L R
U 0,0 2,
D 10,11 -1,
A B
D 0,1 5,
E 3,6 -1,
aparecen, y cada ciudad aparece en una sola lista), y 0 euros en caso contrario. Suponga que a A y B sólo les importa su propia ganancia. (a) Si B piensa que A va a escribir todas las ciudades menos Oviedo, ¿qué debería escribir B? ¿Y si B pensara que A sólo escribirá Sevilla? (b) Basándose en lo anterior, deduzca cuáles son los equilibrios de Nash (en estrategias puras) de este juego. Razone su respuesta. (c) Si el jugador A le pidiese consejo, ¿qué lista le recomendaría escribir?
Ejercicio 46 (S) En la película ‘Rebelde sin causa’, James Dean participa en el ‘juego del gallina’ con otro adolescente: Cada uno conduce a toda velocidad un coche hacia un acantilado; el primero que salta de su coche es un ‘gallina’. Suponga que los dos prefieren ser el último en saltar, pero también saltar primero a no saltar, para así evitar despeñarse. En tal caso, podemos representar el juego en forma estratégica como (nota: Que los dos salten ‘los últimos’ se interpreta como que ninguno salta; que los dos salten ‘los primeros’ significa que los dos saltan al mismo tiempo):
Halle los equilibrios de Nash en estrategias puras y mixtas. ¿Cuál es la interpretación intuitiva del equilibrio en mixtas? ¿Debemos entenderlo al pie de la letra, como que los jugadores eligen de un modo totalmente aleatorio?
Ejercicio 47 (S) En 1944, el alto mando aliado planeaba el desembarco en el continente, que tendría lugar finalmente el 6 de Junio. Entre otras muchas cosas, era clave decidir el lugar donde desembarcar el grueso de las tropas. Vamos a modelar este problema como un juego. Supongamos que hay dos opciones (Normandía o Bretaña) y que tanto los aliados como los alemanes deben decidir simultáneamente en cuál de estos dos sitios posicionan sus tropas. Los alemanes pierden si ambos ejércitos posicionan sus tropas en distinto lugar, y ganan en caso contrario. Para los aliados es al revés. Por otro lado, los aliados prefieren ganar en Normandía (que está más cercana a París y la frontera alemana) que en Bretaña. La siguiente matriz de pagos busca resumir lo anterior (los aliados son el jugador Fila, y su pago el izquierdo en cada celda):
Saltar el último Saltar el primero Saltar el último 0,0 3, Saltar el primero 1,3 2,
Ejercicio 49 (S) Cinco jugadores (1, 2, 3, 4, y 5) deben votar simultáneamente por un partido. Hay tres partidos (IU, PP, y PSOE) y la abstención no está permitida. Gana el partido con más votos; en caso de empate se elige por orden alfabético entre los empatados. El jugador 1 prefiere que gane IU, luego el PSOE y
finalmente el PP; es decir, sus preferencias son IU ^ PSOE ^ PP. Los jugadores 2
y 3 tienen preferencias PSOE ^ IU ^ PP, y los jugadores 4 y 5 preferencias PP
PSOE ^ IU. Responda razonadamente :
a) ¿Es el vector de votos (IU, PSOE, PSOE, PP, PP) un equilibrio de Nash? Nota: El primer voto en el vector es el del jugador 1, el siguiente el de 2, etc. b) ¿Es el vector de votos (PSOE, PSOE, PSOE, PP, PP) un equilibrio de Nash? c) ¿Es el vector de votos (IU, IU, IU, PP, PP) un equilibrio de Nash? d) ¿Es el vector de votos (IU, IU, PSOE, PSOE, PP) un equilibrio de Nash? e) ¿Es el vector de votos (PP, PP, PP, PP, PP) un equilibrio de Nash? f) ¿Es posible en equilibrio que un partido gane con sólo dos votos? Si su respuesta es sí, dé un ejemplo de tal equilibrio. Si es negativa, explique por qué. g) Mencione cinco equilibrios adicionales a todos los mencionados anteriormente. h) ¿Hay algún equilibrio que le parezca focal o más razonable que todos los demás? ¿Por qué?
Ejercicio 50 (S) Dos ganaderos llevan a pastar sus vacas a un terreno comunal de área 100. Las vacas se reparten el pasto de la parcela de manera uniforme. Por simplificar, suponemos que cada uno puede llevar 1, 3, o 5 vacas, y que sus
decisiones son simultáneas. Los beneficios del ganadero i si lleva n i vacas son
ni N c n i
100 , donde N denota el número total de vacas que lleven los ganaderos
al terreno y c es el coste por vaca. Cada ganadero busca maximizar su beneficio.
(a) Represente la matriz de pagos para un coste por vaca c = 5 y halle el equilibrio
o equilibrios de Nash. (b) ¿Cree que en equilibrio se alcanza una situación socialmente óptima? Explique de manera intuitiva por qué los ganaderos son capaces (o no) de alcanzar un óptimo social.
Ejercicio 51 (S) Cuatro jugadores con números de identificación (ID) 1, 2, 3 y 4 deben pujar simultáneamente por un objeto que todos ellos valoran en 1000 euros. Pueden pujar cualquier cantidad de euros, siempre que sea un número entero. El jugador que haga la mayor puja se lleva el objeto (en caso de empate, asumimos
que se lo lleva el jugador de menor ID). Suponemos que la utilidad del jugador que obtenga el bien es igual a 1000 - p (donde p denota la puja de ese jugador) y la de cualquier otro es 0. Explique su respuesta a las siguientes preguntas: a) ¿Es el vector de pujas (1200, 1200, 1200, 1200) un equilibrio de Nash? b) ¿Es el vector de pujas (998, 998, 998, 998) un equilibrio de Nash? c) ¿Es el vector de pujas (600, 0, 1000, 0) un equilibrio de Nash? d) ¿Es el vector de pujas (0, 1000, 1000, 0) un equilibrio de Nash? e) ¿Es el vector de pujas (999, 999, 999, 0) un equilibrio de Nash? f) Indique todos los equilibrios de Nash de este juego. g) Repita el apartado (f) suponiendo que hay sólo dos jugadores 1 y 2, que valoran el bien respectivamente en V 1 , V 2 (V 2 > V 1 ).
Ejercicio 52 (S) Considere un local cuya capacidad es de 2 personas y que 4 personas (con índices 1, 2, 3 y 4) quieren entrar. El local abre a determinada hora y cada persona debe decidir con qué antelación llegar y esperar cola. Sólo pasarán los dos primeros en la cola, cuyo orden se decidirá por riguroso orden de llegada. Si varias personas llegan a la vez, entonces su orden en la cola se determina por su índice (las personas con índice menor van las primeras). Para el jugador con índice i, la utilidad de entrar habiendo esperado ti minutos es vi – ti (por tanto, vi representa la utilidad de entrar esperando 0 minutos). Asuma v1 > v2 > v3 > v4. Además, si una persona llega con una antelación de t y ya hay 2 o más personas en la cola (con lo cual no puede entrar), su pago es -t. Responda razonadamente: (a) ¿Puede ocurrir en equilibrio que algún jugador espere más de v4 minutos?, (b) ¿Puede ocurrir en equilibrio que el jugador 3 o el 4 entren en el local?; (c) ¿Puede ocurrir en equilibrio que el jugador que llegue primero lo haga más de un minuto por delante de los demás?; (d) teniendo en cuenta lo anterior, indique los equilibrios de Nash en puras de este juego (si los hubiera).
Ejercicio 53 ( S ) Considere el siguiente juego dinámico de dos jugadores: El jugador 1 escoge primero entre Ayudar (A) o No Ayudar (NA), y luego el jugador 2 decide a su vez si ayuda (A) o no (NA), conociendo la elección de 1. Cada jugador recibe una utilidad de 10 si ambos se ayudan y de 1 si nadie se ayuda. Asimismo, si un jugador ayuda y el otro no, el ‘ayudante’ obtiene 0 de utilidad y el ‘no ayudante’
a) Represente este juego en forma extensiva. b) Represéntelo asimismo en forma estratégica (es decir, indique su matriz de pagos). c) Indique el equilibrio (o equilibrios) de Nash en estrategias puras.
Lista
a b
c
d e
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(b
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(e
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s de
Hay
o es, mplo.
(f) Mencione todos los subjuegos de este juego (pista: Hay más de dos). (g) Halle el único equilibrio perfecto de este juego usando un argumento de inducción hacia atrás. Compare su respuesta aquí con la del apartado (a).
Ejercicio 58 (a resolver por el alumno) Tres personas eligen independientemente un número entero entre dos y nueve. Si los tres eligen lo mismo, cada persona recibe la cantidad elegida. Si no, cada persona pierde la cantidad que ella eligió. Suponga que la utilidad de cada jugador coincide con su pago monetario. (a) ¿Cuáles son los equilibrios de Nash en estrategias puras de este juego estático? (b) ¿cómo cree que la gente jugará realmente este juego? (c) suponga ahora que los jugadores pueden comunicarse entre ellos antes de tomar sus decisiones. Modele esta interacción como un juego dinámico, representando el árbol de decisión del juego (obviamente, debe simplificar y quedarse con los aspectos de la comunicación que considere más relevantes, pero argumentando por qué piensa que eso es lo más relevante), (d) halle el equilibrio o equilibrios perfectos del juego con comunicación; ¿en la realidad, cómo cree usted que la comunicación afectará al comportamiento de los jugadores? ¿predice esto su modelo?
Ejercicio 59 (a resolver por el alumno) Considere un juego con dos jugadores (Kennedy y Kruschev). Kruschev elige primero entre estacionar misiles (EM) en suelo cubano (con el beneplácito del gobierno de La Habana) o no hacerlo (NEM). Si Kruschev elige NEM, el juego se acaba y ambos jugadores obtienen una utilidad de
- Si elige EM, Kennedy puede ahora elegir entre atacar Moscú con bombas nucleares (AN) o no hacerlo (NAN). Si Kennedy escoge NAN, Kruschev obtiene una utilidad de 5 y Kennedy de -5. Si Kennedy ataca Moscú, Kruschev puede ahora elegir entre contraatacar y bombardear Washington (CAN) o no hacerlo (NCAN); la opción CAN da una utilidad de -25 a ambos jugadores, mientras que NCAN da una utilidad de -30 a Kruschev y de -3 a Kennedy. Responda concisamente las siguientes preguntas:
(i) Represente el árbol del juego (indique claramente a quién corresponde cada pago). (ii) Indique todas las estrategias de Kruschev. Escoja una cualquiera y explique lo que quiere decir. (iii) Razonando por inducción hacia atrás, determine el/los equilibrio/s perfecto.
