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ÍNDICE
3 5(6(17$&,Ï1
&$3Ë78/2 (48,/,%5,2*(1(5$/&203(7,7,92
,1752'8&&,Ï1
3UREOHPD
6ROXFLyQSUREOHPD 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD
&$3Ë78/2 )$//26'(0(5&$'2
,1752'8&&,Ï1 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD 3UREOHPD 6ROXFLyQSUREOHPD
Problema 2. ............................................................................................. Solución problema 2. ........................................................................ Problema 2. ............................................................................................. Solución problema 2. ........................................................................ Problema 2. ............................................................................................. Solución problema 2. ........................................................................ Problema 2. ............................................................................................. Solución problema 2. ........................................................................ Problema 2. ............................................................................................. Solución problema 2. ........................................................................ Problema 2. ............................................................................................. Solución problema 2. ........................................................................ Problema 2. ............................................................................................. Solución problema 2. ........................................................................ Problema 2. ........................................................................................... Solución problema 2. ......................................................................
CAPÍTULO 3. COMPETENCIA PERFECTA Y MONOPOLIO ........
INTRODUCCIÓN ...........................................................................................
Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ............................................................................................. Solución problema 3. ........................................................................ Problema 3. ........................................................................................... Solución problema 3. ...................................................................... Problema 3. ........................................................................................... Solución problema 3. ...................................................................... Problema 3. ........................................................................................... Solución problema 3. ......................................................................
8 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV
Capítulo 1
EQUILIBRIO GENERAL
COMPETITIVO
INTRODUCCIÓN
(QHVWHFDStWXORVHSUHVHQWDQRFKRSUREOHPDVUHODFLRQDGRVFRQHOHTXLOLEULRJHQH UDO QRUPDOPHQWHHQFRQGLFLRQHVGHFRPSHWHQFLDSHUIHFWD(VGHFLU ORVDJHQWHVQR WLHQHQQLQJXQDLQIOXHQFLDVREUHORVSUHFLRV QRH[LVWHQFRVWHVGHWUDQVDFFLyQGHORV ELHQHVQLGHLQIRUPDFLyQ SRVH\HQGRWRGRVORVDJHQWHVXQFRQRFLPLHQWRFRPSOHWR GHOPHUFDGR6yORXQSUREOHPD HOFXDUWR SUHVHQWDXQHMHPSORHQHOTXHXQRGHORV FRQVXPLGRUHVQRVHFRPSRUWDGHIRUPDSDUDPpWULFDUHVSHFWRGHORVSUHFLRV WHQLHQ GRFLHUWDFDSDFLGDGSDUDGHWHUPLQDUORVPLVPRV
/RVSULPHURVSUREOHPDVUHVROYHUiQVLWXDFLRQHVGHLQWHUFDPELRSXUR FRQHOILQ GHIDPLOLDUL]DUDODOXPQRFRQHOPpWRGRHQHOTXHVHUHVXHOYHQHVWHWLSRGHHMHUFLFLRV 'HVSXpVVHSODQWHDQ\VROXFLRQDQDOJXQRVHMHUFLFLRVGHHFRQRPtDVGHLQWHUFDPELR
SURGXFFLyQ
(O 3UREOHPD^ VHHQPDUFDHQXQDHFRQRPtDGHLQWHUFDPELRSXURFRQGRVFRQ VXPLGRUHVGRQGHVHSURSRUFLRQDQVXVIXQFLRQHVGHXWLOLGDG\ODVGRWDFLRQHVLQLFLD OHVGHFDGDXQRGHORVELHQHV6HREWLHQHQODVIXQFLRQHVGHGHPDQGD\GHH[FHVRGH GHPDQGD8QDYH]REWHQLGDVpVWDVVHFDOFXODQORVSUHFLRV ODVFDQWLGDGHVGHHTXLOL EULR\ORVQLYHOHVGHXWLOLGDGDOFDQ]DGRV
(O 3UREOHPD HVFRQWLQXDFLyQGHOSUREOHPDDQWHULRU6HREWLHQHQ SDUDORV PLVPRVGDWRV ODFXUYDGHFRQWUDWR\ODUHSUHVHQWDFLyQJUiILFDGHOHTXLOLEULR3RU~OWL PRVHMXVWLILFDSRUTXpHQHVWDVFRQGLFLRQHVODDVLJQDFLyQGHHTXLOLEULRJHQHUDOFRP SHWLWLYRHVySWLPRSDUHWLDQD
(O 3UREOHPD HVRWURHMHUFLFLRGHHTXLOLEULRHQXQDHFRQRPtDGHLQWHUFDPELR SXURFRQGRVFRQVXPLGRUHVGHORVFXDOHVVHSURSRUFLRQDODIRUPDFRQFUHWDGHVXVIXQ FLRQHVGHXWLOLGDG3ULPHURVHREWLHQHODFXUYDGHFRQWUDWR\HOSUHFLRGHHTXLOLEULRHQ IXQFLyQGHXQDVGRWDFLRQHVLQLFLDOHVJHQpULFDV SDUD HQXQDSDUWDGRSRVWHULRU FDOFX ODUODDVLJQDFLyQGHHTXLOLEULRFRQXQRVYDORUHVFRQFUHWRVGHODVPLVPDV(QHO~OWL PRDSDUWDGRVHHMHPSOLILFDFyPRXQDDVLJQDFLyQySWLPRSDUHWLDQDFRQFUHWDVHSXHGH DOFDQ]DUFRQXQUHSDUWRDGHFXDGRGHODULTXH]DLQLFLDOHQWUHORVFRQVXPLGRUHV
(O 3UREOHPD YXHOYHDVHUXQHMHUFLFLRGHHTXLOLEULRHQXQDHFRQRPtDGHLQWHU FDPELRSXURFRQGRVFRQVXPLGRUHVSHURDKRUD\DQRHVWDPRVHQXQPDUFRGHFRP
Problema 1.
&RQVLGHUHXQDHFRQRPtDGHLQWHUFDPELRSXURFRQGRVFRQVXPLGRUHV \ SUH FLRDFHSWDQWHV\GRV~QLFRVELHQHV [ \ [ /DVSUHIHUHQFLDVGHDPERVFRQVXPLGRUHV VRQLGpQWLFDV\YLHQHQUHSUHVHQWDGDVSRUODVVLJXLHQWHVIXQFLRQHVGHXWLOLGDG
GRQGH [ ^ L^ \ [ ^ L^ VRQODVFDQWLGDGHVGHORVELHQHV [ \ [ GHOFRQVXPLGRULpVLPR/DV GRWDFLRQHVLQLFLDOHVGHFDGDFRQVXPLGRUVRQ UHVSHFWLYDPHQWH [ $^ \ [ $ ^ 6XSRQJDWDPELpQTXH S HVLJXDOD6HSLGH
D &DOFXOHODVIXQFLRQHVGHGHPDQGDGHFDGDFRQVXPLGRUSDUDDPERVELHQHV E 2EWHQJDODVIXQFLRQHVGHH[FHVRGHGHPDQGDGHFDGDFRQVXPLGRU F &DOFXOHHOHTXLOLEULRGHHVWDHFRQRPtD SUHFLR FDQWLGDGHV\QLYHOHVGHXWL OLGDG
Solución problema 1.
D 3DUDREWHQHUODVIXQFLRQHVGHGHPDQGDGHORVFRQVXPLGRUHVGHEHPRVUHVROYHU
VXVSUREOHPDVGHRSWLPL]DFLyQFRQGLFLRQDGD(OFRQVXPLGRUVHHQIUHQWDDOSUR EOHPDGHPD[LPL]DUVXXWLOLGDGGDGDVXUHVWULFFLyQSUHVXSXHVWDULD HVWRHV
(VWHSUREOHPDSXHGHUHVROYHUVHXWLOL]DQGRODIXQFLyQDX[LOLDUGH/DJUDQJH TXHHQHVWHFDVRHV
0D[
VD
8 [ [
[ S [ S
[ = OQ +OQ
8 L^ [ L^ [ L^ = OQ [ L^ + OQ [ L L =
Las condiciones de primer orden (c.p.o.) de este problema de maximización condicionada son:
Operando con las c.p.o. (1) y (2) se tiene la siguiente relación:
Sustituyendo esta expresión en la restricción presupuestaria (o, lo que es lo mismo, en la tercera c.p.o.) se tiene:
de donde operando se obtiene la función de demanda del consumidor 1 del bien, que es:
Y, por tanto, la función de demanda del consumidor 1 del bien x 2 será:
Por su parte, el consumidor 2 se enfrenta a un problema simétrico de maxi- mización condicionada que es el siguiente:
Max s.a:
U x x x p x p
2 2 1
2 2
2
1
2 2 2
2 (^32)
( x ) = ln +ln
x p 2
1 2
x (^) 11 = 0 5, +1 5, p 2
x (^) 11 + x (^) 11 – 1 – 3 p 2 = 0
x (^) 11 = p x 2 21
∂ ∂λ
L
x p x p
∂ ∂
λ
L
x x
p
2
1 2
1 2
∂ ∂
λ
L
x x
1
1 1
1
L ( x^1 , λ) = ln x (^) 11 + ln x (^) 21 – λ( x 1^1 + p x 2 (^) 21 – 1 – 3 p 2 )
18 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV
Con una de estas dos ecuaciones es suficiente para calcular el precio de equi- librio ya que, por la ley de Walras se sabe que en una economía con dos bienes cuando el mercado de uno de ellos está en equilibrio, el otro también lo estará. Por tanto, para calcular el precio de equilibrio operamos con cualquiera de estas ecuaciones. Por ejemplo, a partir de la ecuación (4) se tiene que:
de donde se obtiene que p* 2 =1. Con este precio de equilibrio ya podemos calcu- lar los demás datos que se piden en el enunciado. Las cantidades de equilibrio se calculan sustituyendo p 2 por su valor de equilibrio. A partir de las cantidades de equilibrio así calculadas, obtenemos el nivel de utilidad de equilibrio de los con- sumidores por una simple sustitución. Los resultados son:
Problema 1.
Considere una economía de intercambio puro con dos consumidores (1 y 2) pre- cio-aceptantes y dos únicos bienes x 1 y x 2. Las preferencias de ambos consumidores son idénticas y vienen representadas por las siguientes funciones de utilidad:
donde x 1 i y x i 2 son las cantidades de los bienes x 1 y x 2 y del consumidor i-ésimo. Las dotaciones iniciales de cada consumidor son, respectivamente, x $^1 = (1, 3) y x $^2 = (3, 1). Se pide:
a) Obtenga la expresión de la curva de contrato. b) Represéntela gráficamente en una caja de Edgeworth. c) ¿La asignación de equilibrio del ejercicio anterior es una asignación óptimo paretiana (OP)? Justifique su respuesta.
Solucion problema 1.
a) La curva de contrato, o conjunto de asignaciones Pareto eficientes, es el lugar geométrico de los puntos en los que la situación de un consumidor no puede mejo- rarse sin empeorar la situación del otro. Por tanto, en dichos puntos se produce la tangencia de las curvas de utilidad de ambos consumidores. Para que dicha tangencia se cumpla se debe cumplir que:
RMS 1^2 ( ) 1 = RMS 12 ( ) 2
U i^ ( x 1 i^ , x i 2^ ) = ln x 1 i^ + ln x i 2 i =1 2,
( x (^) 11 ) *^ = ( x (^) 21 ) *^ = ( x (^) 12 ) *^ = ( x (^) 22 ) *^ = 2 ; ( U^1 )^ *^ = ( U^2 ) *=1 386,
2 p 2 − 2 = 0
20 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV
Es decir:
lo que aplicado a los datos del problema resulta en la siguiente condición:
Para calcular los puntos interiores de la caja de Edgeworth de la curva de con- trato (es decir, cantidades estrictamente positivas de ambos bienes para ambos consumidores), lo único que hay que tener en cuenta son las dotaciones iniciales o cantidades existentes de ambos bienes. Esto es, sabemos que:
Por lo que:
y sustituyendo estas expresiones en (1), se obtiene la expresión de la curva de contrato:
Es decir,
o lo que es lo mismo:
Es relevante darse cuenta de que para obtener la curva de contrato sólo se requiere información de las preferencias de los consumidores y de las dotacio- nes iniciales totales de cada bien. La curva de contrato no depende de la distri- bución inicial de la riqueza.
x (^) 11 = x (^) 21 y x (^) 12 = x 22
x (^) 11 ( 4 − x (^) 21 ) = x (^) 21 ( 4 − x 11 )
x x
x x
1
1
2
1
1
1
2
1
x x
x x
1
2 1
1
2
2 2
1
x x
x x
1
1 1
2
2
1 2
2
x x
x x
1
1
2
1
1
2
2
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
U
x U x
U
x U x
1 1
1
1 1 1
2
1
2 2
1
2 2 2
2
2
x
x
x
x
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 21
c) Suponga que las dotaciones iniciales son: x $^1 = (3, 4) y x $^2 = (3, 2). Calcule la expresión de las asignaciones óptimo paretianas y la asignación de equili- brio competitivo (precio, cantidades y niveles de utilidad).
d) Suponga que existe un criterio por el cual la sociedad determinase que uno de los óptimos paretianos es el «mejor», por ejemplo, la asignación x^1 = (2, 2) y x^2 = (4, 4). Explicite una distribución inicial de la riqueza que conduzca a que dicha asignación pueda alcanzarse como equilibrio competitivo de esta economía.
Solución problema 1.
a) La curva de contrato, como es sabido, es el lugar geométrico de los puntos don- de se produce la tangencia de las curvas de utilidad de ambos consumidores. Por tanto se debe cumplir que:
Esta expresión, para los datos del problema, resulta:
Para calcular los puntos interiores de la caja de Edgeworth de la curva de con- trato se debe tener en cuenta las dotaciones iniciales de ambos bienes. Por los datos del enunciado sabemos que:
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación anterior, obtenemos la expre- sión de la curva de contrato:
x x
x x x x
2
1
1
1
2 2
1
1 1
x x x x x x
x x x x x x
1
1 1
2 1 1
2 1 1
1
2
1 2
2 2 2
2 2 2
1
x x
x x
2
1
1
1
2
2
1
RMS
U
x U x
U
x U x
12 RMS
1 1
1
1 1 1
2
1
2 2
1
2 2 2
2
2
1
∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
x
x
x
x
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 23
La curva de contrato se podría igualmente haber expresado en términos del consumidor 2. En este caso quedaría:
b) Para calcular la asignación de equilibrio competitivo debemos resolver los pro- blemas de optimización de ambos consumidores. El consumidor 1 maximizará su utilidad dada su restricción presupuestaria, esto es:
Cuya función auxiliar de Lagrange es:
Las condiciones de primer orden de este problema de maximización condi- cionada son:
Operando con las c.p.o. (1) y (2) obtenemos la siguiente relación:
Sustituyendo esta condición en la c.p.o.(3) tenemos:
y, operando, resulta la función de demanda del consumidor 1 del bien, que es:
x x p 11 11 x 1
2
p x 1 (^) 11 + p x 1 (^) 11 = p x 1 (^) 11 + x 21
x (^) 21 = p x 1 11
∂ ∂λ
L
p x x p x x
∂ ∂
λ
L
x
x
2
1 1
∂ ∂
λ
L
x
x p
1
1 2
1 1 0
L ( )⋅ = x x 11 (^) 21 – λ( p x 1 (^) 11 + x (^) 21 – p x 1 (^) 11 – x 21 )
Max s.a:
U x x p x x p x x
( x^1 ) 11 21 1 1
1 2
1 1 1
1 2
1
x x
x x x x
2
2
1
2
2 2
2
1 1
24 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV
c) Ahora se nos dan nuevos datos en el problema, en concreto, datos sobre los valo- res de las dotaciones iniciales x $^1 = (3, 4) y x $^2 = (3, 2). En los apartados a) y b) se ha calculado todo lo que se pide para el caso general. Por tanto, para responder a este apartado, basta con sustituir las dotaciones iniciales por los valores fija- dos. En concreto, se tendrán que hacer las siguientes sustituciones: ( x $ 11 , x $ 21 ) = (3, 4), ( x $ 12 , x $ 22 ) = (3, 2) y ( x $ 1 , x $ 2 ) = (6, 6). Los resultados son los siguientes:
Esta es la expresión de la curva de contrato expresada en términos de las can- tidades del consumidor 1. La expresión de dicha curva en términos del consu- midor 2 sería:
Obsérvese que en este caso la curva de contrato es la diagonal principal de la caja de Edgeworth. El precio de equilibrio será:
Con lo que las cantidades de equilibrio quedan:
y sustituyendo en las funciones de utilidad se obtienen los niveles de utilidad de equilibrio de ambos consumidores:
La curva de contrato y el equilibrio alcanzado puede verse en el Gráfico 1.3.a.
d) Se supone ahora que esta sociedad determina que uno de los óptimos paretianos es el «mejor», la asignación x^1 = (2, 2) y x^2 = (4, 4), y se quiere alcanzar dicha asignación como equilibrio competitivo. En principio cabe preguntarse si esto es posible. La respuesta es sí. Ello se debe a la existencia de una relación impor- tante entre el equilibrio y los óptimos. Cualquier asignación óptimo paretiana se puede alcanzar como equilibrio competitivo si se puede elegir la distribución ini-
U
U
1
2
x x
x x
1
1 2
1
1
2 2
2
p
x (^1) x
2 1
x (^) 22 = x 12
x x
x x
(^2) x x x x x x
1
1
1
2
1
1
1 2
1 1
1 1
1 2
1 2
1 1
26 PROBLEMAS RESUELTOS DE MICROECONOMÍA IV
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 27
cial de la riqueza entre los consumidores. Para dar respuesta a este apartado sola- mente hay que tener presentes los resultados anteriores. En primer lugar hay que darse cuenta de que la curva de contrato será la misma, ya que, como se ha dicho, la expresión de la curva de contrato sólo depende de las preferencias de los indi- viduos y de las dotaciones iniciales totales de la economía (no de su distribución). Por tanto, se busca situarse en el punto x^1 = (2, 2) de la curva de contrato x^12 = x^11 , o lo que es lo mismo, sobre el punto x^2 = (4, 4) de la curva de contrato. También es fácil percibir que el precio de equilibrio será el mismo, ya que dicho precio sólo depende de las dotaciones totales de bienes:
Con lo que la familia de las rectas de balance de este caso viene representa- do por la función:
y como queremos alcanzar como asignación competitiva el punto x^1 = (2, 2) habrá que distribuir la riqueza inicial de tal modo que los consumidores puedan alcan- zar ese punto como equilibrio general competitivo. En términos gráficos (véase el Gráfico 1.3.a), estamos buscando la expresión de aquella recta de balance que,
p x 1 (^) 11 + x (^) 21 = y^1 ⇒ x (^) 11 + x (^) 21 = y^1 ⇒ x (^) 21 = y^1 – x 11
p x (^1) x
2 1
4
O^1
O^2
3
(1,3)
(2,2)
(3,5;3,5)
(3,4)
2
1
0 0 1
Curva de contrato
Equilibrio c)
Equilibrio d)
2 3 4
x^2
6
5
x 1
“b”
“a”
5 6
Gráfico 1.3.a
Solución problema 1.
a) Cuando uno de los consumidores es precio-determinante el mecanismo es el siguiente. El consumidor 2 (precio-aceptante), ante cualquier precio relativo que determine el consumidor 1, se situará en su punto correspondiente de su curva de oferta-demanda. Por lo tanto, el consumidor precio-determinante tomará este hecho como un dato y fijará el precio que le permita, situándose sobre la curva de oferta-demanda del consumidor 2, colocarse en la curva de indiferencia más alejada del origen. Es decir, el consumidor 1 maximizará su utilidad sujeto a la curva de oferta-demanda del consumidor 2. Por lo tanto, lo primero que hay que calcular es la curva de oferta-demanda del consumidor 2. Ésta se calcula a par- tir de su problema de maximización condicionada:
La función auxiliar de Lagrange es, en este caso:
Las dos primeras condiciones de primer orden son:
lo que proporciona:
Para calcular la curva de oferta-demanda de este consumidor basta con sus- tituir esta expresión de los precios en la restricción presupuestaria. Si se dividen ambos miembros de la restricción entre p 2 :
p p
x x p p
p p
(^1) x x 2
1
2 2
(^2 ) 2
1 2
1
2 2
+ = 240 + 120 → ( – 240 ) = 120 –^2
p p
x x
1 2
2
2
1
∂ ∂
λ
∂ ∂
λ
L
x
x p
L
x
x x p
1
1 2
2 2 1
2
1 1
2 2
2 2
L ( )⋅ = x (^) 12 ( x (^) 22 ) 2 – λ( p x 1 (^) 12 + p x 2 (^) 22 – 240 p 1 (^) – 120 p 2 )
Max s.a:
U x x p x p x p p
( x^2 ) 12 ( 22 )^2 1 1
2 2 2
2 (^240 1 )
EQUILIBRIO GENERAL COMPETITIVO 29
